专题3-2立体几何中的最值问题

专题32立体几何中的最值，范围问题三元均值不等式：，应用：（1）若，求的最小值；（2）求的最小值（1）；（2）可以跳过求导的操作得出最值2022新高考1卷第8题1．已知正四棱锥的侧棱长为l，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】∵球的体积为，所以球的半径,[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.[方法二]：基本不等式法（3元）由方法一故所以当且仅当取到，当时，得，则当时，球心在正四棱锥高线上，此时，，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是2022年全国乙卷·文12·理92．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为，则（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为又设四棱锥的高为，则，当且仅当即时等号成立.故选：C[方法二]：统一变量＋基本不等式由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，(当且仅当，即时，等号成立)所以该四棱锥的体积最大时，其高.故选：C．[方法三]：利用导数求最值由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则，，，单调递增，，，单调递减，所以当时，最大，此时．故选：C.【点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．重点题型·归类精讲重点题型·归类精讲题型一利用基本不等式求最值2024届·江苏省南京外国语学校阶段测（10月）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其外接球半径为2，则的最大值为．【答案】8【分析】由长方体模型得出，再由基本不等式得出最值.【详解】设，因为三棱锥的三条侧棱两两垂直，所以由长方体模型可知，，即.，当且仅当时，取等号.即的最大值为已知矩形的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为_____．【答案】【详解】试题分析：设正六棱柱的底面边长为，高为，则，正六棱柱的体积，当且仅当时，等号成立，此时，可知正六棱柱的外接球的球心在是其上下点中心的连线的中点，则半径为，所以外接球的表面积为．广东省六校2023届高三上学期第一次联考数学试题足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点，满足面ABC，，若，则该“鞠”的体积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三棱锥的外接球的球心到所有顶点距离相等，且都为球半径，即可找到球心的位置，然后在直角三角形中，根据基本不等式即可求解最小值，进而可得球半径的最小值.【详解】取中点为,过作,且,因为平面ABC,所以平面.由于,故,进而可知,所以是球心,为球的半径.由,又,当且仅当,等号成立,故此时,所以球半径,故,体积最小值为故选:C已知长方体的外接球O的体积为，其中，则三棱锥的体积的最大值为（

）A．1 B．3 C．2 D．4【答案】A【分析】设，根据长方体的外接球O的体积和，可求得外接球的半径，根据基本不等式求得的最大值，再代入三棱锥的体积公式，即可得到答案；【详解】设，∵长方体的外接球O的体积为，，∴外接球O的半径，∴，∴，∴，∵O到平面的距离，，∴三棱锥的体积．∴三棱锥的体积的最大值为1．将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设圆柱的底面半径为，高为，利用三角形相似求得与的关系式，写出圆柱的体积，利用不等式，即可求解.【详解】解：设圆柱的底面半径为，高为，体积为，由与相似，可得，则，所以圆柱的体积为，所以圆柱的最大体积为，此时.已知三棱锥各顶点均在以为直径的球面上，，是以为斜边的直角三角形，则当面积最大时，该三棱锥体积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由基本不等式，面积最大时的外接圆半径为，中边上的高为，的最大值等于，可求三棱锥体积的最大值.【详解】如图，设为的外心，则为的中点，又设，中边上的高为.由已知，，，当且仅当等号成立，即当时，面积取得最大值4.此时，.显然，的最大值等于，故，即三棱锥体积的最大值为.题型二由几何性质得出最值已知三棱锥的顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为，，，，则当三棱锥的体积最大时，（

）A．4 B． C．5 D．【答案】D【分析】设是的外心，即可得到，再根据球的表面积求出球的半径，即可得，当且仅当、、三点共线且平面和点位于点异侧时，三棱锥的体积最大，再由勾股定理计算可得.【详解】在中，根据正弦定理，可得，所以．如图，设为的外心，则为AC的中点，且，由于球O的表面积为，所以球O的半径，当，，三点共线且平面CAB和点S位于点O的异侧时，三棱锥的体积最大．此时三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝2，底面ABC是边长为的正三角形，M为AC的中点，球O是三棱锥P－ABM的外接球．若D是球0上一点，则三棱锥D－PAC的体积的最大值是（

）A．2 B．C． D．【答案】C【分析】设的中点为，则的外接圆的直径为，圆心为，半径为，设三棱锥的外接球的半径为，球心为，利用勾股定理求出，再求出到平面的距离，即可求出到平面的距离最大值，最后算出，即可求出；【详解】解：因为为等边三角形，为的中点，所以，即为直角三角形，设的中点为，则的外接圆的直径为，圆心为，半径为，设三棱锥的外接球的半径为，球心为，则，解得，又平面，平面，所以，所以的外接圆是以为直径的圆，设的中点为，则，所以，即到平面的距离为，所以到平面的距离最大值为，又，所以；已知圆锥，底面的面积为，母线与底面所成角的余弦值为，点在底面圆周上，当三棱锥的体积最大时，圆锥的外接球的球心到平面的距离为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可得要使三棱锥的体积最大，则点到的距离最大，由余弦定理可得，再由正弦定理可得的外接圆半径，再由勾股定理即可得到结果.【详解】

因为圆的面积为，所以圆的半径，因为母线与底面所成角的余弦值为，所以，所以圆锥的高，因为点在底面圆周上，所以，要使三棱锥的体积最大，则点到的距离最大，即，此时.在中，由余弦定理得，所以，由正弦定理得的外接圆半径，设的外接圆的圆心为，即，设圆锥的外接球的球心为，半径为，连接，依题意，在上，在中，，解得，即，在中，，所以，所以当三棱锥的体积最大时，圆锥的外接球的球心到平面的距离为.设A，B，C，D是同一个直径为8的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设点M为三角形ABC的中心，为球心，当为MO与球的交点，判断出当平面，此时三棱锥体积最大，然后进行计算可得.【详解】如图所示，设点M为三角形ABC的中心，为球心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大此时，则，所以,所以点M为三角形ABC的中心，所以，中，有，，.题型三结合导数求最值（2023·深圳·高二期末）如图，已知一个圆锥的底面半径为，高为，它的内部有一个正三棱柱，且该正三棱柱的下底面在圆锥的底面上，则这个正三棱柱的体积的最大值为.【答案】【分析】设正三棱柱上底面三角形的外接圆半径为，高为，利用相似关系可知，由此可将正三棱柱体积表示为关于的函数的形式，利用导数可求得体积的最大值.【详解】过三棱柱的上底面的平面平行于圆锥的底面，则该平面截圆锥所得的截面为一个小圆；要使正三棱柱体积最大，则正三棱柱的上底面三角形内接于该小圆；设小圆的半径为，正三棱柱的高为，，解得：；又正三棱柱的底面三角形面积，正三棱柱的体积，则；当时，；当时，；当时，.2023届·广东省汕头市三模将一个体积为的铁球切割成正三棱锥的机床零件，则该零件体积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设正三棱锥的底面边长为，高为，球半径为，由球体积求得球半径，根据边长、高、外接球半径关系及棱锥体积公式得到零件体积关于的函数，利用导数求体积最大值.【详解】设正三棱锥的底面边长为，高为，球半径为，由球的体积为，则，解得，，即，故，正三棱锥的体积为：，，由得：，此时函数单调递增，由得：，此时函数单调递减，当时，取得最大值，且最大值为.盐田高级中学2023届高三上学期11月月考已知正四棱锥的高为，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的最大值是（

）A． B．18 C． D．27【答案】C【分析】根据正四棱锥的几何特征可知外接球的球心在其高上，利用勾股定理即可得，进而由体积公式转化为关于的函数，利用导数求函数的最值..【详解】如图，设正四棱锥的底面边长，高为h，外接球的球心为,则，∵球的体积为，所以球的半径，在中，，所以正四棱锥的体积，整理为，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，.已知某圆锥的母线长为3，则当该圆锥的体积最大时，其侧面展开图的圆心角的弧度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】表达出圆锥的体积，通过求导得出其单调性，即可求出当该圆锥的体积最大时，其侧面展开图的圆心角的弧度数.【详解】由题意，圆锥的母线长为3，设圆锥的底面半径为，高为，则，，∴体积：，∴，∴当时，单调递增，当时，单调递减，当时，取得最大值，此时，侧面展开图的圆心角.2023届·湖北省高中名校联盟（圆创）高三下学期第三次联合测试已知正三棱锥的各顶点都在表面积为球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为.【答案】【分析】根据球的性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式、球的表面积公式进行求解即可.【详解】因为，所以正三棱锥外接球半径，如图所示，设外接球圆心为O，过向底面作垂线垂足为D，，要使正三棱锥体积最大，则底面与在圆心的异侧，因为是正三棱锥，所以D是的中心，所以，又因为，所以，，所以，令，解得或，当，；当，，所以在递增，在递减，故当时，正三棱锥的体积最大，此时正三棱锥的高为，故正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为.云南三校2023届高三高考备考实用性联考卷（八）已知正四棱锥的高为，其顶点都在同一球面上，若该球的体积为，且，则当该正四棱锥体积最大时，高的值为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】根据题意列出体积与高之间的函数关系式，利用导数讨论单调性和最值求解.【详解】

如图，设高为，底边长为，则，又，∴，又，，,所以当时，，当时，，所以函数在单调递增，单调递减，故2023届·南京师范大学附属中学5月模拟在三棱锥中，，，圆柱体在三棱锥内部（包含边界），且该圆柱体的底面圆在平面内，则当该圆柱体的体积最大时，圆柱体的高为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设内接圆柱的底面半径为r，高为h，由轴截面中相似三角形把用表示，求出体积后利用导数求最大值及取最值时高的条件．【详解】

设内接圆柱的底面半径为r，圆柱体的高为h.是圆柱上底面与三棱锥侧面的切点,是连接直线与棱锥下底面的交点，是圆柱上底面所在平面与的交点，，，则由与相似，可得,可得，可得.内接圆柱体积.因为，单调递增,单调递减,所以有最大值，此时.已知某几何体由两个有公共底面的圆锥组成，两个圆锥的顶点分别为，，底面半径为．若，则该几何体的体积最大时，以为半径的球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可知该几何体的体积为，令，求导得到当时取得最大值，从而利用球的体积公式即可求解.【详解】由题意可知该几何体的体积为，令，则，令，得（舍去），则时，，单调递增，时，，单调递减，故当时，取得最大值，此时该几何体的体积最大．则以2为半径的球的体积为．直六棱柱的底面是正六边形，其体积是，则该六棱柱的外接球的表面积的最小值是.【答案】【分析】设正六边形的边长为a,,表示出直六棱柱的体积建立方程,将a用x表示,该六棱柱的外接球的直径为BC,可求出外接球的表面积，利用导数研究函数的最值即可.【详解】如图，设正六边形的边长为a,则底面面积，设，(x>0)，则六棱柱的体积为即，故而该六棱柱的外接球的直径为，所以该六棱柱的外接球的表面积为，令，则,令,解得x=2，当时,,单调递减，当时,，单调递增,所以当时，取最小值，所以该六棱柱的外接球的表面积的最小值是设P､A､B､C､D是表面积为的球的球面上五点，四边形为正方形，则四棱锥体积的最大值为（

）A． B．18 C．20 D．【答案】D【分析】由球的表面积求得球的半径，设球心到四棱锥的底面距离为x，棱锥的高为，再把棱锥底面边长用x表示，写出棱锥体积，利用导数求最值.【详解】设球的半径为r，则，即.设球心到四棱锥的底面距离为x，则正方形的对角线长为，则正方形的边长为，则四棱锥的底面积为，当棱锥的高为时，四棱锥的体积最大，则四棱锥的体积，，由得，由得，所以在上递增，在上递减，所以当时，取得最大值为.某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥所有顶点都在半径为的球上，当该四棱锥的体积最大时，底面正方形所在平面截球的截面面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出图形，可知四棱锥为正四棱锥，由勾股定理可得出，分析得出，可设，，其中，可得出，令，，利用导数求出取最大值时对应的的值，求出的值，可得出的长，进而可求得结果.【详解】如下图所示，可知四棱锥为正四棱锥，设，则球心在直线上，设，，则，由勾股定理可得，即，当四棱锥的体积最大时，则点在线段上，则，可设，，其中，，令，，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，此时，，则，因此，当该四棱锥的体积最大时，底面正方形所在平面截球的截面面积是.如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据轴截面求出圆锥底面圆的半径，设出圆柱形冰块的底面半径，用含的式子表达出圆柱形冰块的高，从而得到圆柱形冰块的体积关于x的表达式，用导函数求解最大值.【详解】设圆锥底面圆的半径为，圆柱形冰块的底面圆半径为，高为，由题意可得，，解得:，，设圆柱形冰块的体积为，则.设，则，当时，；当时，，故在取得极大值，也是最大值，所以，故酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为2023届·湖南师范大学附属中学第一次月考在中，，点分别在边上移动，且，沿将折起来得到棱锥，则该棱锥的体积的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，可得的具体形状，由折叠，可得当面面时，此时的点到底面的距离最大，设，将四棱锥中底面积和高，都用表示出来，整理出体积的函数，利用导数求最值，可得答案.【详解】由得，由余弦定理得，则是直角三角形，为直角，对的任何位置，当面面时，此时的点到底面的距离最大，此时即为与底面所成的角，设，在中，，点到底面的距离，则，，令，解得，可得下表：极大值故当时，该棱锥的体积最大，为.已知球体的半径为3，当球内接正四棱锥的体积最大时，正四棱锥的高和底面边长的比值是（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】设球心到底面距离为，通过正四棱锥的对角面求出棱锥的高，与底面边长，计算出体积后，利用导数的知识求出最大值，得出结论．【详解】如图，是正四棱锥的对角面，其外接圆是四棱锥外接球的大圆，是圆心（球心），设正四棱锥底面边长为，则，，设，则由得，，，，，，当时，，递增，时，，递减，∴时，取得极大值也是最大值．此时高，，．故选：A．云南省昆明市2023届“三诊一模”高三质量检测某机床厂工人利用实心的圆锥旧零件改造成一个正四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，下底面在圆锥的底面内．已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为3cm，则该正四棱柱体积（单位：）的最大值为（

）A． B．8 C． D．9【答案】B【分析】设，借助于圆锥的轴截面分析可得，利用柱体体积公式可求得，求导，利用导数求最值.【详解】显然当正四棱柱的上底面顶点在圆锥表面时的体积较大，如图，借助于圆锥的轴截面，由题意可得：，设底面对角线，则，可得，故该正四棱柱体积，构建，则，∵，当时，；当时，；则在上单调递增，在上单调递减，∴，故该正四棱柱体积的最大值为8（）.故选：B.在外接球半径为4的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥的高A． B． C． D．【答案】D【解析】设正三棱锥底面的边长为，高为h，由勾股定理可得，则，三棱锥的体积，对其求导，分析其单调性与最值即可得解.【详解】解：设正三棱锥底面的边长为，高为h，根据图形可知，则.又正三棱锥的体积，则，令，则或（舍去），函数在上单调递增，在上单调递减，当时，V取得最大值河北省衡水市第二中学2023届高三上学期一模某正六棱锥外接球的表面积为，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长，则其体积的取值范围是（

）A． B．C． D．【