2024年 九年级数学中考二轮 复习 几何最值问题 选择题专题提升训练

2024年春九年级数学中考二轮复习《几何最值问题》选择题专题提升训练（附答案）1．如图，某公司有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工10人，15人，45人，且这三个区在一条大道上(A，B，C三点共线)，已知AB＝150m，BC＝90m．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在()A．点A B．点B C．点A，B之间 D．点C2．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水.某同学用直线（虚线）l表示小河，P,Q两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（）.A．

B．

C．

D．

3．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（）cm．A．25 B．20 C．24 D．1054．如图，圆柱形容器中的高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为（

）A．1.3m B．1.4m C．1.5m D．1.2m5．如图，BC是圆锥底面圆的直径，底面圆的半径为3m，母线长6m，若一只小虫从点B沿圆锥的侧面爬行到母线AC的中点P．则小虫爬行的最短路径是()A．3 B．35 C．336．在平面直角坐标系中，A(-3，0)，B(3A．3 B．5 C．8 D．107．如图．在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（

）A．84° B．88° C．90° D．96°8．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°9．如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的定点，且OP＝3．若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（

）

A．12 B．9 C．6 D．310．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=6，DC=2，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）A．8 B．10 C．12 D．1411．如图，在正方形ABCD中，AB=2,P是正方形ABCD内一点，若∠APB=90°,则PC的最小值是（）A．1 B．5 C．5−1 D．12．如图,在菱形ABCD中,AD=6,∠BAD=60°,点P是对角线AC上的动点，点E是AB的中点，连结PB、PE，则PE+PB的最小值为（

）

A．23 B．33 C．3213．如图所示，已知A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y=2x图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大值时，点P的坐标是（A．（3，0） B．（72，0） C．（53，0） D．（14．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为3,4，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值（）A．3 B．4 C．5 D．615．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF=4，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为（

）A．6 B．8 C．45 D．1016．在边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为DC、BC上的点，且DE=CF，连接DF，BE，求DF+BE的最小值为（

）A．22 B．25 C．4 17．如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为（

）A．1 B．2 C．2 D．无法计算18．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，P，Q为BC上两点，且PQ=1，则四边形APQD周长的最小值为（

）A．9 B．10 C．11 D．1219．如图，抛物线y=12x2+bx-2与x轴交于A、B两点，与y交于C点，且A（-1，0），点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，mA．58 B．2441 C．234020．如图1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a＋b的值为（

）A．73 B．23+4 C．参考答案：1．解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=150×15+45×240=13050（米）；②以点B为停靠点，则所有人的路程的和=10×150+90×45=5550（米）；③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=10×240+15×90=3750（米）；④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜150），则所有人的路程的和是：10m+15（150﹣m）+45（240﹣m）=13050－50m＞5550；⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜90），则总路程为10（150+n）+15n+45（90﹣n）=5550－20n＞3750，∴该停靠点的位置应设在点C．故选D．2．解：根据题意，所需管道最短，应过点P或点Q作对称点，再连接另一点，与直线l的交点即为水泵站M，故选项A、B、D均错误，选项C正确，故选：C.3．解：把左侧面展开到水平面上，连结AB，如图1AB=把右侧面展开到正面上，连结AB，如图2AB=把向上的面展开到正面上，连结AB，如图3AB=∵925∴537∴需要爬行的最短距离为25cm故选：A．4．解：如图，将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，∴A′D＝0.5m，BD＝1.2−0.3+AE＝1.2mA′B=A′D故选A．5．解：∵圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形的圆心角为n°，则：nπr180＝6π，其中r∴n＝180，如图所示：由题意可知，AB⊥AC，且点P为AC的中点，在Rt△ABP中，AB＝6，AP＝3，∴BP＝AB2+AP2故蚂蚁沿线段BP爬行，路程最短，最短的路程是35故选：B．6．解：如图所示，连接OC、OP、PC∵PA⊥PB，∴点P在以O为圆心，AB长为直径的圆上，∵△COP∴CP≤OP+OC，∴当点P，O，C在同一直线上，且点P在CO延长线上时，CP的最大值为OP+OC的长，又∵A（-3，0），B（3，0），C（3，4），∴AB=6，OC=5，OP=12∴线段PC的最大值为OP+OC=3+5=8，故答案为C．7．解：如图示，作A关于BC和ED的对称点A′，A′′，连接A′A′′，交BC于M，交ED于N，则A′A′′即为ΔAMN的周长最小值．延长AE，作A'H⊥AE于H点，∵∠BAE=136°，∴∠HAA′=44°，∴∠A′+∠A′′=∠HAA′=44°，∵∠A′=∠MAA′，∠NAE=∠A′′，且∠A′+∠MAA′=∠AMN，∠NAE+∠A′′=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠A′+∠MAA′+∠NAE+∠A′′=2(∠A′+∠A′′)=2×44°=88°，故选：B．8．解：过点P作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C+∠EPF＝180°，∵∠C＝50°，∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，∴∠D+∠G＝50°，由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，∴∠GPN+∠DPM＝50°，∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，故选：D．9．解：如图：作点P关于OA、OB的对称点E、D，连接DE，与OA相交于点M，与OB相交于点N，则此时△PMN周长的最小值是线段DE的长度，连接OD、OE，

由垂直平分线的性质，得DN=PN，MP=ME，OD=OE=OP=3，∴△PMN周长的最小值是：PN+PM+MN=DN+MN+ME=DE，由垂直平分线的性质，得∠DON=∠PON，∠POM=∠EOM，∴∠DOE=∠DOP+∠EOP=2（∠PON+∠POM）=2∠MON=60°，∴△ODE是等边三角形，∴DE=OD=OE=3，∴△PMN周长的最小值是：PN+PM+MN=DE=3；故选：D．10．解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．∵DC＝2，BD＝6，∴BC＝8，连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，∴∠CBC′＝90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，∴BC＝BC′＝8，根据勾股定理可得DC′＝BC′故选：B．11．解：根据题意，要取PC的长度最小，则如图：取AB的中点E，以点E为圆心，AB长为直径作圆，连接CE，与圆E相交于点P，则点P为所求点；∵在正方形ABCD中，AB=2，∴BE=1，BC=2，∠ABC=90°，由勾股定理，则CE=1∵AE=BE=PE=1，∴PC的最小值是：PC=5故选：C．12．解：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，∴点B与点D关于直线AC对称，AB=AD，连接DE交AC于一点即为点P，此时PE+PB=DE的值最小，如图，连接BD，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∵点E是AB的中点，∴DE⊥AB，即∠AED=90°，∴DE=AD⋅sin60∘∴PE+PB=33故选：B.

13．解：∵把A（1，y1），B（2，y2）代入反比例函数y=2x得：y1＝2，y2＝1，∴A（1，2），B（2，1），∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大，设直线AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐标代入得：k+b=22k+b=1解得：k＝﹣1，b＝3，∴直线AB的解析式是y＝﹣x+3，当y＝0时，x＝3，即P（3，0）．故选：A．14．解：连接OP，∵PA⊥PB，∴∠APB=90°，∵AO=BO，∴AB=2PO，要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P'，当P位于P'位置时，OP'取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ=3,MQ=4，∴OM=32又MP'=2，∴OP'=3，∴AB=2OP'=6，故选D．15．解：∵EF=4，点G为EF的中点，∴DG=2，∴G点的轨迹是以D为圆心，以2为半径的圆弧（一部分），作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，当G点刚好在直线A′D上时，此时PA∵AB=4，AD=6，∴AA∴在Rt△AA′D∴A′∴PA+PG的最小值为8，故选：B．16．解：延长AB至G，使BG=AB=2，连接DG交BC于F'，连接GF，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=BC=AB=BG，∠C=∠ABC=90°=∠GBF，∵DE=CF，∴CD-DE=BC-CF，即CE=BF，∴△BCE≌△GBF（SAS），∴BE=GF，∴BE+DF=GF+DF，∵DG≤DF+GF，∴DG≤BE+DF，即当F运动到F'，即D、F、G共线时，GF+DF最小，即BE+DF最小，最小值为DG的长，在Rt△ADG中，DG=AD2+AG2∴BE+DF最小值是25．故选：B．17．解：如图，作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点D，连接OC，则弧BN=弧∵A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，∴∠AON=13×180°=60°∴∠AOC=∠AON+∠CON=90°；∵AP+BP=AP+PC≥AC，∴当点P与D重合时，AP+BP最小，最小值为线段AC的长；在Rt△AOC中，OA=OC=1由勾股定理得：AC=O即AP+BP的最小值为2；故选：B．18．解：如图，作QM//AP交AD于M，作M关于BC的对称点M′，连接M′D∴MQ=M在矩形ABCD中，AD//BC，∴四边形APQM为平行四边形，∴M′∵AD=2AB=4，PQ=1，∴C四边形APQD若使其周长最小，即M′Q+QD最小，即：∵M′M⊥AD，∴DM=AD−AM=4−1=3，M′∴在Rt△M′故C四边形APQD最小值为：5+5=10故选B．19．解：∵点A（-1，0）在抛物线y=12x2+bx∴12×（-1）2+b∴b=-32∴抛物线的解析式为y=12x2-32∴顶点D的坐标为（32，-25作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．设抛物线的对称轴交x轴于点E．∵