函数方程专题之函数方程思想（2）-沪教版（上海）高中数学2019-2020学年高三数学二轮复习教案（教育机构专用）

沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学二轮复习函数方程专题之函数与方程思想②教学目标理解函数思想与方程思想的含义，以及它们之间的联系，能熟练利用函数与方程的思想解题．知识梳理1．函数与方程思想的含义函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的练习。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，主要依据题意构造恰当的函数或建立相应的方程来解决问题，是历来高考的重点和热点．（1）函数思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题，即善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题．（2）方程思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察、处理问题．（3）方程的思想与函数的思想密切相关：方程的解就是函数的图像与轴的交点的横坐标（零点）；函数也可以看作二元方程；通过方程进行研究，方程有解，当且仅当属于函数的值域；与的图像的交点问题，就是研究方程的实数解的问题，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．2．函数与方程的思想在解题中的应用（1）函数与不等式的相互转化，对函数，当时，就化为不等式，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式；（2）数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要；（3）解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论；（4）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切．典例精讲例1．（★★）关于的方程恒有解，求的取值范围．解析：（法一）设原方程有解即方程有正根，即，解得（方法二）设①当；②.综上可得，。点评：对于多元方程（含参数）通常有两类办法：一是换元，将问题转化为二次方程，利用根与系数的关系或判别式，或者利用三角函数的有界性加以解决；二是分离变量构造函数，把方程有解转化为求函数的值域，再根据函数的图像和性质来解决。例2．（★★★）已知对任意都有意义，则的范围是（）．；．；．；．．答案：．例3．（★★★）关于的不等式的解集是，求实数的值。答案：，．例4．（★★★）设集合.（1）若A中仅有一个元素，求实数的取值集合B；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．答案：（1）（2）例5．（★★★）对任意，不等式恒成立，求的取值范围．解：令，则原问题转化为恒成立（）。当时，可得，不合题意。当时，应有解之得。故的取值范围为。【对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。】例6．（★★★★）已知定义在区间上的两个函数和，其中（），．（1）求函数的最小值；（2）若对任意，恒成立，求的取值范围．解：（1）由，得（2），当时，，又在区间上单调递增（证明略），故．由题设，得，故或解得为所求的范围．14分课堂检测1．（★★）方程sin2x＋cosx＋k＝0有解，则k的取值范围为（）．－1≤k≤eq\f(5,4)； ．－eq\f(5,4)≤k≤0；．0≤k≤eq\f(5,4) ．－eq\f(5,4)≤k≤1．解析由方程sin2x＋cosx＋k＝0，得k＝－sin2x－cosx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx－\f(1,2)))2－eq\f(5,4)，令t＝cosx，则t∈[－1,1]，∴k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2－eq\f(5,4)，求得－eq\f(5,4)≤k≤1.答案．2．（★★★）函数在上为增函数，则实数的取值范围为________．答案：．3．（★★★）已知关于的方程有解，则的取值范围是________．答案：．4．（★★★★）已知函数f(x)＝cosx，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，3π))，若方程f(x)＝a有三个不同的根，且从小到大依次成等比数列，则a＝________．解析设方程的3个根分别是x1、x2、x3，如图．因为y＝cosx的图象是轴对称图形，所以x1＋x2＝2π，x2＋x3＝4π，又因为x1、x2、x3成等比数列，解得x1＝eq\f(2π,3)，故a＝coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2).答案－eq\f(1,2)．5．（★★★）已知，对于值域内的所有实数，不等式恒成立，求的取值范围．解：∵，∴f(t)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，从而m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，原题可转化为m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立．当x＝2时，不等式不成立．∴x≠2，令g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2为m的一次函数．问题转化为g(m)在m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上恒大于0.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))>0，,g(3)>0.))解得x>2或x<－1.故x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)6．（★★★★）设（），试找出最大的实数，使得恒成立．7．（★★★★）已知函数，（），若任意，存在，使得，则实数的取值范围是________．答案：．8．（★★★★）是定义在上的以为周期的函数，对，用表示区间，已知当时，．（1）.求在上的解析式；（2）对自然数，求集合={|使方程在上有两个不相等的实根}．答案：（1）（）．（2）．9．（★★★★）已知是定义在上的奇函数，且，若，，有恒成立．（1）判断在上是增函数还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式；（3）若对所有，恒成立，求实数的取值范围．解：（1）设，且．由于，，有；又是奇函数，故，推得，即．所以在上是增函数．（2）利用在上是增函数，要研究的不等式转化为，另外须满足限制条件以及．不等式可表示为，即．上式左端三个因子的零点按从小到大顺序为，由这三个点划分出四个区间：，三因子在四个区间中的正负号情况分别为“---”，“+--”，“++-”和“+++”，故满足不等式的．又第一个限制条件相当于，此时，第二个限制条件只要考虑左半部分，即，所以，合并两限制条件相当于，综合和得到．（3）利用在上是增函数，对所有恒成立等价于，注意到问题转化为对所有恒成立．；或所有恒成立，；或所有恒成立，；综上，．回顾总结1．借助有关函数的