第6讲 等差数列与等比数列江西省赣州市厚德外国语学校2021年强基计划拔尖人才选拔培优数学讲义

一：等差数列1.判定一个数列为等差数列的常用方法①定义法：（常数）是等差数列；②中项公式法：是等差数列；③通项公式法：（p，q为常数）是等差数列；④前n项和公式法：（A，B为常数）是等差数列.对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性.2.等差数列的有关性质：（1）通项公式的推广：（2）若，则；特别，若，则（3）等差数列中，若（），则.（4）公差为d的等差数列中，连续k项和，…组成新的等差数列.（5）等差数列，前n项和为①当n为奇数时，；；；②当n为偶数时，；；.（6）等差数列，前n项和为，则（m、n∈N*，且m≠n）.（7）等差数列中，若m+n=p+q（m、n、p、q∈N*，且m≠n，p≠q），则.（8）等差数列中，公差d，依次每k项和：，，成等差数列，新公差.3.等差数列前n项和的最值问题：等差数列中=1\*GB3①若a1＞0，d＜0，有最大值，可由不等式组来确定n；=2\*GB3②若a1＜0，d＞0，有最小值，可由不等式组来确定n，也可由前n项和公式来确定n.等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法.要点二：等比数列1.判定一个数列是等比数列的常用方法（1）定义法：（q是不为0的常数，n∈N*）是等比数列；（2）通项公式法：（c、q均是不为0的常数n∈N*）是等比数列；（3）中项公式法：（，）是等比数列.2.等比数列的主要性质：（1）通项公式的推广：（2）若，则.特别，若，则（3）等比数列中，若（）成等比数列，则成等比数列.（4）公比为q的等比数列中，连续k项和，…组成新的等比数列.（5）等比数列，前n项和为，当n为偶数时，.（6）等比数列中，公比为q，依次每k项和：，，…成公比为qk的等比数列.（7）若为正项等比数列，则（a＞0且a≠1）为等差数列；反之，若为等差数列，则（a＞0且a≠1）为等比数列.（8）等比数列前n项积为，则3.等比数列的通项公式与函数：⑴方程观点：知二求一；⑵函数观点：①，时，是关于n的指数型函数；时，是常数函数；②当时，若，等比数列是递增数列；若，等比数列是递减数列；当时，若，等比数列是递减数列；若，等比数列是递增数列；当时，等比数列是摆动数列；当时，等比数列是非零常数列.要点三：等差等比数列综合问题1.公共项问题;（1）求两个等差数列的公共项常用整除讨论的方法；（2）求等差数列与等比数列的公共项常用到二项式定理．2.互相添减、穿插数问题3.分群数列问题4.最值问题例1.(2018北大自招)18.设三个实数组成等比数列，且，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.前三个答案都不对解析：记公比为，由，知，又得，即，得或。所以，故选B。例2.(2018清华)22.数列满足：，（），则下列正确的是（）A.B.C.D.解析：可得，得，所以是首项为，公比为的等比数列，所以可得。所以，，故AB错误；对CD，注意到，且，所以，所以，故C对，接着单调性，知，故D对。综上，选CD。例3.2019B8.设等差数列的各项均为整数，首项，且对任意正整数，总存在正整数，使得．这样的数列的个数为．◆答案：★解析：设的公差为．由条件知（是某个正整数），则，即，因此必有，且．这样就有，而此时对任意正整数，，确实为中的一项．因此，仅需考虑使成立的正整数k的个数．注意到，易知可取这个值，对应得到个满足条件的等差数列．例4.（2018年贵州预赛）已知等差数列及，设，，若对，有，则（）A．B．C．D．【解析】：为等差数列，且前n项和之比，故可设从而故选B例5.（2018上海交大）3.已知等差数列，满足，求的最大值。解析：由，令，，，则，则。例6.1996*2、等比数列的首项,公比是．用表示它的前项之积，则()最大的是____________A.B.C.D.◆答案：C★解析：由题意得，故．作商比较：又，．故选C．例7.在等差数列中，公差，是与的等比中项，已知数列成等比数列，求数列的通项．►分析与解答：依题设得，∴，整理得∵，∴,得[所以，由已知得是等比数列．由于，所以数列也是等比数列，首项为1，公比为，由此得等比数列的首项，公比，所以．即得到数列的通项为例8.若数列的通项公式为，数列的通项公式为．设集合，．若等差数列任一项是中的最大数，且，求的通项公式．对任意，，∴，∴ ∵是中的最大数，∴，设等差数列的公差为，则∴，即，又是一个以为公差等差数列， ∴，∴，∴．例9.已知数列{}的通项公式为，数列{}的通项公式为．若将数列{}，{}中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{}，（1）求的值；（2）求数列的通项公式.解：（1）961；（2）设，考察模7的余数问题；若时经验证可得：当时，存在满足条件的存在故{}中的项目依次为：可求得数列{}的通项公式为：例10.已知数列和的通项公式分别为，.将与中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为.（1）试写出，，，的值，并由此归纳数列的通项公式；（2）证明你在（1）所猜想的结论.解：（1），，，，由此归纳：.（2）由，得，，由二项式定理得，当为奇数时，有整数解，.例11.已知数列，.（1）求证：数列为等比数列；（2）数列中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；（3）设，其中为常数，且，，求.解：⑴∵=，∴，∵∴为常数∴数列为等比数列⑵取数列的连续三项，∵，，∴，即，∴数列中不存在连续三项构成等比数列；⑶当时，，此时；当时，为偶数；而为奇数，此时；当时，，此时；当时，，发现符合要求，下面证明唯一性（即只有符合要求）。由得，设，则是上的减函数，∴的解只有一个从而当且仅当时，即，此时；当时，，发现符合要求，下面同理可证明唯一性（即只有符合要求）从而当且仅当时，即，此时；综上，当，或时，；当时，，当时，。例12.设数列的前项和为，且满足（1）求数列的通项公式；（2）在数列的每两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列，在两项之间插入个数，使这个数构成等差数列，求的值；（3）对于（2）中的数列，若，并求（用表示）．19．解：（1）当时，由.又与相减得：，故数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以；…………4分（2）设和两项之间插入个数后，这个数构成的等差数列的公差为，则，又，故（3）依题意，，考虑到，令，则，所以例13.设数列是等差数列，数列满足，（1）证明：数列也是等差数列；（2）设数列、的公差均是，并且存在正整数，使得是整数，求的最小值。★解析：（1）设等差数列的公差为，则所以数列也是等差数列.（2）由已知条件及（1）的结果知：，因为，故，这样若正整数满足，则.记，则，且是一个非零的整数，故，从而.又当时，有，综上所述，的最小值为.例14.（2004年春季北京卷)下表给出一个“等差数阵”：47（）（）（）………712（）（）（）………（）（）（）（）（）………（）（）（）（）（）[来源:学.科.网]………………其中每行、每列都是等差数列，表示位于第行第列的数．（I）写出的值；（II）写出的计算公式以及2008这个数在等差数阵中所在的一个位置．（III）证明：正整数在该等差数列阵中的充要条件是可以分解成两个不是1的正整数之积．解析：（I）;（II）该等差数阵中：第一行是首项为4，公差为3的等差数列：;第二行是首项为7，公差为5的等差数列：……第i行是首项为，公差为的等差数列，因此，要找2008在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数、，使得,所以,当时，得。所以2008在等差数阵中的一个位置是第1行第669列．（III）“必要性”：若在该等差数阵中，则存在正整数，使得从而即正整数可以分解成两个不是1的正整数之积．“充分性”：若可以分解成两个不是1的正整数之积，由于是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数、，使得,从而可见N在该等差数阵中．综上所述，正整数在该等差数阵中的充要条件是可以分解成两个不是1的正整数之积．例15.(2010北约)5．是否存在，使得为组成等差数列的四个数（即某种排列可以构成等差数列），请说明理由（25分）解析：不存在；否则有，则或者．若，有．而此时不成等差数列；若，有．解得有．而，矛盾！例16.设数列的各项都是正数，且对任意都有，其中为数列的前项和．（1）求，；（2）求数列的通项公式；（3），，试找出所有即在数列中又在数列中的项．解：（1）令，则，即，所以或或．又因为数列的各项都是正数，所以．令，则，即，解得或或．又因为数列的各项都是正数，所以．（2）因为(1)所以()(2)由(1)－(2)得，因为,所以(3)所以()(4)由(3)－(4)得，即()，又，所以()．所以数列是一个以2为首项，1为公差的等差数列．所以．（3），所以,．不妨设数列中的第项和数列中的第项相同，则．即，即．1o若，则，所以，当时,，无解；当时，，即，所以，当时；时,令,则，所以单调增，所以,所以无解；当时，即，当时，；当时，；当时，所以，．2o若，即．由1知，当时，。因此，当时，或．当时，无解，当时,无解．综上即在数列中又在数列中的项仅有．1.(2018北大自招)4.设为一等差数列的前项和，已知，，则的最小值为（）A.B.C.D.前三个答案都不对解析：易得，所以，导数可得时，有最小，故选D。2.2016B9、（本题满分16分）已知是各项均为正数的等比数列，且是方程的两个不同的解，求的值．★解析：对，有即因此，是一元二次方程的两个不同实根，从而即由等比数列的性质知，3.(2015清华)2、设为等差数列，为正整数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：记该数列的公差为，则等价于，由于可正可负，所以“”是“”的既不充分也不必要条件。故选D。4.【2016年山西预赛】设集合A=nn+1n=1,2,?,B=3m−1m=1,2,?,若将集合A∩B解析：易知，，.若，则.于是，为某个奇平方数的3倍．设.则，所以，.故.5.(2012北大保送)1.已知数列为正项等比数列，且，求的最小值．解析：设数列的公比为，则，．由知．，当且仅当即时，有最小值．6.(2015清华)10、设数列的前项和为，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则（）A.可能为等差数列B.可能为等比数列C.的任意一项均可写成的两项之差D.对任意正整数，总存在正整数，使得解析：取满足A对；时，D不满足。若是等比数列，则，下面记，则，即，若，则，则，显然不成立；若，则，但当时，矛盾，其它范围同理。所以B错；对于C，注意到，故C对，综上选AC。7.2007*10、已知等差数列的公差不等于，等比数列的公比是小于的正有理数，若，，且是正整数，则等于解析：因为，故由已知条件知道：为，其中m为正整数。令，则。由于是小于的正有理数，所以，即且是某个有理数的平方，由此可知。8.（2011复旦）设有4个数的数列为，前3个数构成一个等比数列，其和为，后3个数构成一个等差数列，其和为9，且公差非零。对于任意固定的，若满足条件的数列的个数大于1，则应满足（）（B）（C）（D）其他条件解析：由于前3个数成等比数列，不妨设公比为，后三个数成等差数列，公差为，依题意，。。所以，即。依题意知，此关于的方程的根不是唯一的，且。所以，，，且。故选D。9.（2009上海交大），为等比数列，求的最大值。解析：，，当且仅当时，为正（），。当时，，故只需比较与的大小。（因为），故。10.（07江苏）已知是等差数列，是公比为的等比数列，记为数列的前项和（1）若（是大于2的整数），求证：；（2）若是某个正整数），求证：是整数，且数列中的每一项都是数列中的项；（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由。解：（1）设等差数列的公差为d，则由题设得由，故等式成立.（2）（i）证明为整数：由移项得因故为整数.（ii）证明数列中的任一项，只要讨论的情形.令，得.因，当时，为－1或0，则为1或2；而，否则，矛盾.当时，为正整数，所以正整数，从而.故数列中的每一项都是数列中的项.（3）取，11.已知数列和的通项公式分别是和()．（1）当时，①试问，分别是数列中的第几项？②记，若是数列中的第项()，试问是数列中的第几项？请说明理由；（2）对给定自然数，试问是否存在，使得数列和有公共项？若存在，求出的值及相应的公共项组成的数列；若不存在，说明理由．解(1)由条件可得，.①令，得，故是数列中的第1项．令，得，故是数列中的第19项．②由题意知，，由为数列中的第项，则有，那么，因，所以是数列中的第项．(2)设在上存在实数使得数列和有公共项，即存在正整数使，∴，因自然数，为正整数，∴能被整除．①当时，，②当，*时，当时，，即能被整除．此时数列和有公共项组成的数列；显然，