专题训练6 导数的恒成立问题- 2022届高考数学一轮复习 (新高考)

专题训练6导数的恒成立问题一、解答题1．已知函数，.（1）当时，求证：在上单调递增；（2）当时，，求的取值范围.2．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，，求实数的取值范围．3．已知函数，．（1）当，时，求证：；（2）当时，若，求实数的取值范围．4．已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若有两个极值点为，且，不等式恒成立，求实数的取值范围.5．已知函数.（1）若有两个零点，求的取值范围；（2）设，若对任意的，都有恒成立，求的取值范围.6．已知函数.（1）若，讨论的单调性﹔（2）若对任意恒有不等式成立，求实数的值.7．已知函数，，其中为自然对数的底数，.（1）若对任意的，总存在，使得，求的取值范围；（2）若函数的图象始终在函数的图象上方，求的取值范围.8．已知函数，.（1）当时，求证：；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.9．已知函数，.（1）若，证明：；（2）若，求的取值范围.10．已知函数.（1），时，讨论函数的导数的单调性；（2）时，不等式对恒成立，求实数的取值范围.11．已知函数，.（1）当时，求证：当时，；（2）若在上恒成立，求a的取值范围.12．已知函数，，其中，.（1）若函数无极值，求的取值范围；（2）当取（1）中的最大值时，求函数的最小值；（3）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.13．已知函数.（1）判断函数f(x)在上的零点个数，并说明理由；（2）当时，，求实数m的取值范围.14．已知函数．(1)当时，恒成立，求实数t的取值范围；(2)当时，对任意的，恒成立，求整数n的最小值．参考答案1．（1）证明见解析；（2）.【解析】解：（1）当时，，则，又在上单调递增，且，，∴存在，使得，当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∵，∴，，∴，∴在上单调递增.（2）解法一：问题等价于(记为式)在上恒成立，令，，∵，∴要使式在上恒成立，则必须，即，下面证明当时，在上恒成立.∵，∴，∴，易证，∴，∴当时，在上单调递增，∴，即式在上恒成立.故的取值范围是.解法二：依题意得在上恒成立，当时，式恒成立，∴，当时，∵，式等价于在上恒成立.令，.易证，∴，令，∴，∴在上单调递减，∴，即，∴，令，，∴在上单调递减，∴，即，∴，即的取值范围是.2．（1）见解析；（2）．【解析】（1）由题知，的定义域为，∴．（对函数求导后，由于恒大于0，故对进行正负分类讨论，从而判断函数的单调性）当时，在上恒成立，故在上是增函数；当时，令得在上有，在上有∴在上是减函数，在上是增函数（2）当时，，即（*）．令则．①若，由（1）知，当时，在上是增函数故有即，得，故有．（由（1）可判断，此不等式为常见不等式，熟记更利于解题）（当且仅当，即，且时取等号）（根据及基本不等式可知需对和的大小分类讨论）∴函数在区间上单调递增，∴，∴（*）式成立．②若，令则，当且仅当时等号成立．∴函数在区间上单调递增．∵∴，使得则当时，，即．∴函数在区间上单调递减（构造函数，对其求导并根据零点存在性定理判断的单调性）∴，即（*）式不恒成立．综上所述，实数的取值范围是．3．（1）证明见解析；（2）．【解析】证明：（1）因为，所似当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增，所以所以当时，函数的最小值为1．因为，所以，由得所以在上单调递减，则，所以．（2）令令，，则函数在上单调递增即，即，所以时，令，则当时，，所以在上单调递减，则因此时，则，不合题意；当时，当时，所以在上单调递减，则因此时，则﹐不合题意；当时所以在上单调递增，则，即综上知实数a的取值范围为4．（1）；（2）.【解析】（1）当时，，.因为，，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2），因为有两个极值点为，所以关于x的方程有两正根，且，解得：.由可得：，同理：，所以不等式可化为：，把代入，则有：因为，且，所以，所以上式可化为：，即只需因为，所以令，则，记，则，设，则，所以单增，当时，有，则，所以单减，，即所以，所以b的范围是.5．（1）；（2）.【解析】令，则，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，当时，；当时，；当时，，要使得函数有两个零点，即与的图象有两个交点，如图所示，可得，即，此时有两个零点，所以有两个零点时，的范围是.（2）因为对任意的，不等式恒成立，即在上恒成立，令，则，令，则，所以在上为增函数，又因为，，所以，使得，即，当时，，可得，所以在上单调递减；当时，，可得，所以在上单调递增，所以，由，可得，令，则，又由，所以在上单调递增，所以，可得，所以，即，所以，所以，综上所述，满足条件的的取值范围是.6．（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）.【解析】（1）当时，当时，可得，单调递增，当时，，，可得，单调递减，综上所述：在上单调递减，在上单调递增；（2）由（1）知当时，恒成立，此时单调递增，的值域为，不符合题意；当时，则，也不符合题意.当时，令可得，即，令，则，所以在单调递增，设存在使得，两边同时取对数可得则时，，，当时，，，所以当时，，故只需即可，令，，由可得，由可得，因此在上单调递增，在上单调递减，从而，所以，又因为，所以，由以上证明可知，所以故满足条件的实数的值为.7．（1）；（2）.【解析】（1）对任意的，总存在，使得，则，因为，则对任意的恒成立，所以，函数在区间上单调递增，则.因为，所以当时，，不满足，故；当时，在上单调递增，所以，即，解得；当时，在上单调递减，所以在上没有最大值，不满足题意.综上，的取值范围为；（2）因为函数的图象始终在函数的图象上方，所以.因为，，所以.令，，其中，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减.所以，，则.因此，实数的取值范围是.8．（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）解：令，，①当时，则，设，,在上单调递增，且，当时，；当时，，在上递减，在上递增，，；②当时，则，；综上所述，当时，；（2）令，，则，由题意得在上恒成立，，，；下证当时，在上成立，，令，只需证明在上成立，（i）当时，，设，，在上单调递减，，在上单调递减，，在上单调递减，；（ii）当时，；综上所述，实数的取值范围是.9．（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）若，，即证：，只需证：，设，则，设，则，显然在上单调递增，即，即在上单调递增，所以即，所以在上单调递增，即，所以（2）令，对于，恒成立，则，解得，又因为在恒成立，因为显然成立，所以在恒成立，即，解得，故，下面证明：当时，在恒成立令，显然在单调递减；（事实上，因为，所以），则，由（1）问可知，，所以当且仅当时取等，故在恒成立.综上：10．（1）在上单减，在上单增；（2）.【解析】（1），时，，，令，由，当时，；当时，，所以在上单减，在上单增；（2）时，不等式对恒成立，等价于对恒成立，令，则，，，令，则对恒成立，从而有在上单增，①时，，在上单增，，即对恒成立，②时，，此时，，，使得，当时，，在上单减，当时，，故对不成立，综上，的取值范围是.11．（1）证明见解析；（2）.【解析】解：（1）证明：当时，，，在上恒成立，故在上单调递增，，在上单调递增，，从而得证原不等式.（2），令，，，，，故，在上单调递增，，①当，即时，，故在上单调递增，故，满足题意；②当，即时，因，又时，，所以，使得，当时，，在上单调递减，此时，不符合题意.综上，.12．（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由题意知：定义域为，，无极值，在上恒成立，，又（当且仅当，即时取等号），，即的取值范围为；（2）由（1）知：，，，恒成立，在上单调递增，又，当时，，即；当时，，即当时，，令，则，平方得：，即当时，成立（当时取等号），当时，；（3）由得：，，，，，；令，，令，则，由（2）知：，，在上单调递增，，，即实数的取值范围为.13．（1）有1个零点，理由见解析；（2）.【解析】（1）解法一：由题意得，，当时，易得函数单调递增，而，，故，当时，；当时，，而，∴函数f(x)在上无零点；当时，，∴函数f(x)在上单调递增，而，∴函数f(x)在上有1个零点.综上所述，函数f(x)在上有1个零点.（2）令，，则.，，令，因为时，，当时，，，，所以在上恒成立，则h(x)为増函数，即为增函数①当，即时，，∴g(x)在上为增函数，，即在上恒成立；②当m+2<0，即m<-2时，，，使，当为增函数；当为减函数，，与在上恒成立相矛盾，不成立.综上所述，实数m的取值范围是.14．（1）；（2）1．【解析】(1)设，令，时，时，在上递减，在上递增，所以，即，在R上递增，而，即当时，，当时，，所以实数t的取