324528436、微专题：已知正弦、余弦或正切值求角-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】微专题：已知正弦、余弦或正切值求角已知正弦、余弦或正切值求角，是用“解析法”研究三角的目的之一；由于角是任意角；所以，已知正弦、余弦或正切值求角，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围注意通过阅读理解题设进行理解。一般的结论有：若，则解集为：；若，则解集为：；若，则解集为：。【典例】题型1、已知正弦、余弦或正切值求角例1、如果已知，求：满足条件的角的集合；【提示】【答案】【解析】（1）方法1、方法2、【说明】题型2、已知正弦、余弦或正切值求给定区间上的角例2、（1）已知，求：满足条件的角的集合；（2）已知，求：在区间内满足条件的角的集合；（3）已知，求：在区间内满足条件的角的集合；【提示】【答案】【解析】（2）方法1、方法2、【说明】友情提示：已知正切值求角与已知正(余)弦值求角的不同点是：（1）已知正(余)弦值求角中的找角范围一般是在[0，2π]([－π，π])，而已知正切值求角中的找角范围一般是在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))；（2）在表示角中，已知正(余)弦值求角中加“2kπ，k∈Z”，而在已知正切值求角中加“kπ，k∈Z”；题型3、已知正弦、余弦或正切值大小求角的范围例3、（1）已知，求：满足条件的角的取值范围；（2）已知，求：满足条件的角的取值范围；题型4、已知正弦、余弦或正切值求角的拓展例4、已知，求：满足条件的角的集合；【归纳】1、已知三角函数值求角时应注意的问题在一定范围内已知三角函数值对应的角不一定只有一个，可分为以下几步求解．第一步：确定角可能在第几象限；第二步：如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1；第三步：如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角得出(0，2π)内对应的角；第四步：如果要求出(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果；2、已知正弦、余弦或正切值求角的相关结论（1），Z；，Z；，Z。（2）以后学了反三角后，结论可拓展为：最简三角方程解集{，Z}，也可以写成{，或，Z}{，Z}{，Z}{，Z}（R）{，Z}3、用三角函数线解sinx>a(或cosx>a)的方法：（1）找出使sinx＝a(或cosx＝a)的两个x值的终边所在位置；（2）根据变化趋势，确定不等式的解集【即时练习】1、“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2、满足等式的的集合是（）A． B．C． D．3、已知cosx＝eq\f(1,2)，0＜x＜eq\f(π,2)，则角x等于4、已知cosx＝eq\f(1,2)，＜x＜，则角x等于5、若tanα＝eq\f(\r(3),3)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，则α＝________6、若tanx＝eq\r(,3)，且x∈(－π，π)，则x＝________7、方程2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝1在区间(0，π)内的解是__________8、如果，且，那么角的取值范围是9、分别求满足下列条件的x的值：（1）sinx＝eq\f(\r(2),2)，x∈[－π，π]；（2）cosx＝－eq\f(1,2)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))；（3）tanx＝－1，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))；（4）coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)，x∈[0，π]10、求满足下列条件的的集合：（1）；（2）；【教师版】微专题：已知正弦、余弦或正切值求角已知正弦、余弦或正切值求角，是用“解析法”研究三角的目的之一；由于角是任意角；所以，已知正弦、余弦或正切值求角，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围注意通过阅读理解题设进行理解。一般的结论有：若，则解集为：；若，则解集为：；若，则解集为：。【典例】题型1、已知正弦、余弦或正切值求角例1、如果已知，求：满足条件的角的集合；【提示】注意：任意角的前提，借助三角函数线直观解之；【答案】（1）或【解析】（1）方法1、在单位圆中，由可知，角对应的正弦线方向朝上，而且长度为，作示意图，如图所示，可知角的终边可能是，也可能是，又因为，所以或所以，满足条件的角的集合为：或方法2、由，根据“若，则解集为：”则满足条件的角的集合为：；【说明】本题用单位圆中的三角函数线与结论两种方法解得满足条件的角的集合；但两种表达形式不一样，思考：用什么方法简单合理地检验两种集合相等。题型2、已知正弦、余弦或正切值求给定区间上的角例2、（1）已知，求：满足条件的角的集合；（2）已知，求：在区间内满足条件的角的集合；（3）已知，求：在区间内满足条件的角的集合；【提示】会用结论求出所有的解，或借助单位圆中三角函数线；【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由变形得，由结论得，满足条件的角的集合为：；（2）方法1、由，又，则或，在区间内满足条件的角的集合为；；方法2、适当取并检验；（3）同（2）得在区间内满足条件的角的集合为：；【说明】通过本题说明有了“结论”，已知正弦、余弦或正切值就可以“非常方便”地求出满足条件的角的全体；至于给定区间或条件，只要解不等式或适当取值即可；友情提示：已知正切值求角与已知正(余)弦值求角的不同点是：（1）已知正(余)弦值求角中的找角范围一般是在[0，2π]([－π，π])，而已知正切值求角中的找角范围一般是在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))；（2）在表示角中，已知正(余)弦值求角中加“2kπ，k∈Z”，而在已知正切值求角中加“kπ，k∈Z”；题型3、已知正弦、余弦或正切值大小求角的范围例3、（1）已知，求：满足条件的角的取值范围；（2）已知，求：满足条件的角的取值范围；【提示】注意：依据“结论”的推导思路，借助单位圆中的三角函数线；【答案】（1）【解析】（1）由可知，角x对应的正弦线方向朝上，而且长度为，作示意图，如图所示，可知角的终边可能是，也可能是，又因为，所以或再由图可知，如果的终边在中，则一定有，因此，满足条件的角的取值范围（2）画出单位圆中三角函数线，如图．由图可知角的范围是：或；【说明】通过本题说明：有时掌握结论、公式的推导思路与方法，补集可以拓展解题思路；同时，也是解答“新定义”、‘探究题’的基本方法；题型4、已知正弦、余弦或正切值求角的拓展例4、已知，求：满足条件的角的集合；【提示】注意：代换法；【答案】【解析】不妨将“”看作整体，代入“若，则解集为：”则得，解得或，所以，满足条件的角的集合为：或；【说明】通过本题的求解，可以不难发现，在“任意角”前提下，在“结论”的允许值范围内，经“代换”就可以“编制”出这类题；所以，解答这类题的方法就是：结论与代换法交汇，然后解不等式注意“”即可；【归纳】1、已知三角函数值求角时应注意的问题在一定范围内已知三角函数值对应的角不一定只有一个，可分为以下几步求解．第一步：确定角可能在第几象限；第二步：如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1；第三步：如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角得出(0，2π)内对应的角；第四步：如果要求出(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果；2、已知正弦、余弦或正切值求角的相关结论（1），Z；，Z；，Z。（2）以后学了反三角后，结论可拓展为：最简三角方程解集{，Z}，也可以写成{，或，Z}{，Z}{，Z}{，Z}（R）{，Z}3、用三角函数线解sinx>a(或cosx>a)的方法：（1）找出使sinx＝a(或cosx＝a)的两个x值的终边所在位置；（2）根据变化趋势，确定不等式的解集【即时练习】1、“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【提示】注意化简三角比；【答案】B【解析】由可得：或，即能推出，但推不出∴“”是“”的必要不充分条件，故选【说明】本题是由三角比求角与命题充要条件的交汇，2、满足等式的的集合是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，，或，或.综上所述，方程的解集为.故选：D【说明】本题考查了解三角方程、同角三角函数的基本关系、已知三角函数值求角；3、已知cosx＝eq\f(1,2)，0＜x＜eq\f(π,2)，则角x等于【提示】注意特殊角的三角比【答案】eq\f(π,3)【解析】coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)【说明】注意三角比加角的范围；4、已知cosx＝eq\f(1,2)，＜x＜，则角x等于【提示】注意特殊角的三角比与诱导公式结合【答案】【解析】cos=coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)【说明】注意三角比加角的范围；5、若tanα＝eq\f(\r(3),3)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，则α＝________【提示】注意角的范围【答案】eq\f(7π,6)【解析】因为taneq\f(7π,6)=tan（π＋eq\f(π,6)）＝taneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),3)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，所以α＝π＋eq\f(π,6)＝eq\f(7π,6).【说明】特殊角的三角比与诱导公式结合6、若tanx＝eq\r(,3)，且x∈(－π，π)，则x＝________【提示】注意特殊角的三角比与诱导公式结合【答案】eq\f(π,3)或－eq\f(2π,3)【解析】因为tanx＝eq\r(,3)＞0，且x∈(－π，π)，所以x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))，若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则x＝eq\f(π,3)，若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))，则x＝eq\f(π,3)－π＝－eq\f(2π,3)，综上x＝eq\f(π,3)或－eq\f(2π,3).【说明】特殊角的三角比与诱导公式结合7、方程2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝1在区间(0，π)内的解是__________【提示】注意整体计算；【答案】eq\f(7π,12)；【解析】∵2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝1，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(1,2)；∵x∈(0，π),∴x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，∴x－eq\f(π,4)＝eq\f(π,3)，∴x＝eq\f(7π,12).【说明】注意整体计算、特殊角的三角比与角度范围的交汇。8、如果，且，那么角的取值范围是【提示】注意化简与等价转化；【答案】【解析】因为，所以，所以角的终边落在轴或其上方，从而角的取值范围是；【说明】本题是实数的绝对值、三角比的符号规则的交汇。9、分别求满足下列条件的x的值：（1）sinx＝eq\f(\r(2),2)，x∈[－π，π]；（2）cosx＝－eq\f(1,2)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))；（3）tanx＝－1，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))；（4）coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)，x∈[0，π]【解析】（1）∵sinx＝eq\f(\r(2),2)，x∈[－π，π]，∴x＝eq\f(π,4)或eq\f(3π,4).（2）∵cosx＝－eq\f(1,2)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，∴x＝eq\f(2π,3)或eq\f(4π,3).（3）∵tanx＝－1，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c