上海市朱泾中学高三数学理期末试题含解析

上海市朱泾中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知抛物线，过点)作倾斜角为的直线，若与抛物线交于、两点，弦的中垂线交轴于点，则线段的长为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A2.已知定义域为R的函数f（x）以4为周期，且函数f（x）=，若满足函数g（x）=f（x）﹣mx（m＞0）恰有5个零点，则m的取值范围为（）A．（，） B．[，） C．（，] D．（，]参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】函数g（x）=f（x）﹣mx（m＞0）恰有5个零点时，直线y=mx与函数f（x）的图象恰有5个交点，画出函数的图象，数形结合，可得答案．【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）以4为周期，且函数f（x）=，故函数f（x）的图象如下图所示：当直线y=mx过（10，2）点时，m=，当直线与第二个半圆相切时，圆心（4，0）到直线y=mx的距离为1，则m==，由图可得：函数g（x）=f（x）﹣mx（m＞0）恰有5个零点时，直线y=mx与函数f（x）的图象恰有5个交点，故m∈[，），故选：B【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，将函数零点转化为函数图象的交点，是解答的关键．3.过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍的直线方程是A．

B．C．

D．参考答案：D4.已知，，，则（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】根据单调性可知；利用对数函数单调性和幂函数单调性可知、，利用作商法可比较出的大小关系，从而得到结果.【详解】，即，即，即

综上所述：本题正确选项：【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数、幂函数单调性比较大小的问题，涉及到作商法比较大小.5.已知，则实数分别为A.x=-1，y=1

B.x=-1，y=2

C.x=1，y=1

D.x=1，y=2参考答案：D6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）

A．2+ B．4+ C．2+2 D．5参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S△BCO=2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质．7.函数（＞2）的最小值为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略8.已知半圆的直AB=6，O为圆心，C为半圆上不同于,A,B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是Ａ．-2/9?

Ｂ．2/9

Ｃ．2

Ｄ．-2?

参考答案：A9.已知满足，则目标函数的最小值是A． B． C．

D．参考答案：C略10.已知直三棱柱中，，，，为的中点，则与平面的距离为A．B．C．D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.正三角形边长为2，设，，则_____________.参考答案：

因为，,所以。12.已知，且，则的最小值是

.参考答案：813.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=﹣n2+7n（n∈N*）．则数列{an}的通项公式是an=．参考答案：﹣2n+8【考点】数列递推式．【分析】运用数列的前n项和与通项的关系；即Sn﹣Sn﹣1=an（n＞1）．注意验证n=1的时候是否满足an．【解答】解：因为Sn=﹣n2+7n，①所以Sn﹣1=﹣（n﹣1）2+7（n﹣1），n＞1②．①﹣②得到an=﹣2n+8（n＞1）．n=1时，S1=6满足an=﹣2n+8；所以数列{an}的通项公式是an=﹣2n+8（n∈N*）．故答案为：﹣2n+8．14.设a，b，c分别为△ABC三内角A，B，C的对边，面积S=c2．若ab=，则a2+b2+c2的最大值是

．参考答案：4【分析】由已知及三角形面积公式可求c2=sinC，利用余弦定理可求a2+b2=sinC+2cosC，利用三角函数恒等变换的应用可求a2+b2+c2=4sin（C+），利用正弦函数的有界性即可求得a2+b2+c2的最大值．【解答】解：∵=absinC，，∴c2=sinC，∴sinC=a2+b2﹣2abcosC，可得：a2+b2=sinC+2cosC，∴a2+b2+c2=sinC+2cosC+sinC=2×（sinC+cosC）=4sin（C+）≤4，即a2+b2+c2的最大值是4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的有界性在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15.在平面直角坐标系中，记抛物线与x轴所围成的平面区域为，该抛物线与直线y＝(k＞0)所围成的平面区域为，向区域内随机抛掷一点，若点落在区域内的概率为，则k的值为

参考答案：16.对于函数与函数有下列命题：①函数的图像关于对称；②函数有且只有一个零点；③函数和函数图像上存在平行的切线；④若函数在点P处的切线平行于函数在点Q处的切线，则直线PQ的斜率为

其中正确的命题是

。（将所有正确命题的序号都填上）参考答案：②③④画出函数的图像可知①错；函数的导函数，所以函数在定义域内为增函数，画图知②正确；因为，又因为，所以函数和函数图像上存在平行的切线，③正确；同时要使函数在点处的切线平行于函数在点处的切线只有，这时，所以，④也正确．17.如图圆的直径,P是AB的延长线上一点,过点P作圆的切线,切点为C,连接AC,若,则

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图：在△ABC中，D为AB边上一点，DA=DC，已知∠B=，BC=3（1）若△BCD为锐角三角形，DC=，求角A的大小；（2）若△BCD的面积为，求边AB的长．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理可求，结合△BCD为锐角三角形，可求∠CDB，进而可求∠ADC的值，又DA=DC，利用等腰三角形的性质即可得解∠A的值．（2）利用三角形面积公式可求BD的值，利用余弦定理可求得CD的值，进而可求AB=CD+BD的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）因为：在△BCD中，由正弦定理得，所以：，又因为：△BCD为锐角三角形，所以：∠CDB=60°，所以：∠ADC=120°，DA=DC，所以：∠A=∠ACD=30°，∠A=30°．…（2）因为：，所以：，所以：，在△BCD中由余弦定理得：CD2=BD2+BC2﹣2BD×BCcos∠B=2+9﹣6=5，所以：，所以：．…19.已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）当时，判断f（x）的零点个数．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；52：函数零点的判定定理．【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最小值，从而判断函数的零点个数即可．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=e2x﹣ex﹣x，f′（x）=2e2x﹣ex﹣1=（2ex+1）（ex﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增；（2）a=时，f（x）=e2x﹣ex﹣x，f′（x）=e2x﹣ex﹣1=（2e2x+1）（ex﹣2），令f′（x）＞0，解得：x＞ln2，令f′（x）＜0，解得：x＜ln2，故f（x）在（﹣∞，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故f（x）min=f（ln2）=﹣1﹣ln2＜0，故f（x）有2个零点．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞1）的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为π，过椭圆C的右焦点作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中点为P．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D，且|DP|=，求k的值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据题意，在三角形中由勾股定理列出等式，根据已知的焦距大小，即可求得椭圆方程；（2）先设直线方程y=k（x﹣1），联立椭圆方程求得P点坐标，根据已知条件求出直线PD的方程，从而求得D点坐标，又|DP|=，根据两点间的距离公式，即可求得k的值．【解答】解：（1）过短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为，设右焦点的坐标为（c，0），依题意知，2c=2，即c=1，，又b＞1，解得：a=2，b=，∴椭圆C的方程为；（2）设过椭圆C的右焦点的直线l的方程为y=k（x﹣1），（k≠0），设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理得x1+x2=，x1?x2=，y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=﹣，∵P为线段AB的中点，则可得点P（，﹣），又直线PD的斜率为﹣，直线PD的方程为y+=﹣（x﹣），令y=0得，x=，又∵点D（，0），∴丨PD丨===，化简得17k4+k2﹣18=0，解得：k2=1，故k=1或k=﹣1，k的值±1．21.（14分）已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2－2x．

(Ⅰ)求函数g(x)的解析式；

(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|．参考答案：解析：(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任一点Q(xq,yq关于原点的对称点(x,y),则即∵点Qxq,yq)在函数f(x)的图象上,∴-y=-x2+2x.,故g(x)=-x2+2x(Ⅱ)由g(x)≥f(x)－|x－1|可得2x2-|x-1|≤0,当x≥1时,2x2-x+1≤0,此时不等式无解,当x<1时,2x2+x-1≤0,∴-1≤x≤,因此,原不等式的解集为[-1,]22.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，点E是棱PB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥PB（Ⅱ）若PD=2，AB=，求直线AE和平面PDB所成的角．参考答案：考点：直线与平面所成的角；棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）判断AC⊥面PBD，再运用直线垂直直线，直线垂直平面问题证明．（II）根据题意得出AC⊥面PBD，运用直线与平面所成的角得出∴∠AEO直线AE和平面PDB所成的角利用直角三角形求解即可．解答： 证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD的