湖南省衡阳市耒阳陶洲中学高三数学理测试题含解析

湖南省衡阳市耒阳陶洲中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知O是正三形内部一点，，则的面积与△的面积之比是(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：A2.设集合A={x|（x﹣3）（1﹣x）＞0}，B={x|y=lg（2x﹣3）}，则A∩B=（）A．（3，+∞） B．[，3） C．（1，） D．（，3）参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中函数的定义域确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x﹣1）＜0，解得：1＜x＜3，即A=（1，3），由B中y=lg（2x﹣3），得到2x﹣3＞0，解得：x＞，即B=（，+∞），则A∩B=（，3），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C4.在区间[0,2]上随机取两个数，，则的概率是（

）．

A． B． C． D．参考答案：C本题主要考查微积分的基本定理和几何概型．由题意可将所求概率转化为图中阴影部分面积和正方形面积之比，故所求概率．故选．5.设是等差数列的前项和，已知，则等于A．13

B．35

C．49

D．63

参考答案：C在等差数列中，，选C.6.已知等差数列{an}中，a1=11，前7项的和S7=35，则前n项和Sn中（）A．前6项和最小 B．前7项和最小 C．前6项和最大 D．前7项和最大参考答案：C【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】先根据等差数列的求和公式和S7的值，求得公差d，进而求得数列的通项公式，要使前n项和最大，只需an≥0，进而求得n的范围．【解答】解：由等差数列求和公式S7=7×11+，d=35可得d=﹣2，则an=11+（n﹣1）×（﹣2）=13﹣2n，要使前n项和最大，只需an≥0即可，故13﹣2n≥0，解之得n≤6.5，故前6项的和最大．故选C．【点评】本题主要考查了等差数列的性质和数列与不等式的综合运用．考查了学生对等差数列基础知识如通项公式，求和公式等的理解和运用．7.已知、、为互不重合的三个平面，命题若，，则；命题若上存在不共线的三点到的距离相等，则.对以上两个命题，下列结论中正确的是（

） A．命题“且”为真 B．命题“或”为假 C．命题“或”为假 D．命题“且”为假参考答案：C略8.集合，集合Q=，则P与Q的关系是（）P=Q

B.PQ

C.

D.参考答案：C9.已知a＞0且a≠1，函数满足f（0）=2，f（﹣1）=3，则f（f（﹣3））=（）A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2参考答案：B【考点】函数的值．【分析】f（0）=2，f（﹣1）=3，列方程组，解得a=，从而f（﹣3）=a﹣3+b=，进而f（f（﹣3））=f（9），由此能求出结果．【解答】解：∵a＞0且a≠1，函数满足f（0）=2，f（﹣1）=3，∴，解得a=，∴f（﹣3）=a﹣3+b=，f（f（﹣3））=f（9）==﹣2．故选：B．10.下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的概念及其构成要素．【专题】图表型．【分析】根据函数的定义中“定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应”判断．【解答】解：由函数定义知，定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应，A、B、D选项中的图象都符合；C项中对于大于零的x而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义．故选C．【点评】本题的考点是函数的定义，考查了对函数定义的理解以及读图能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则

参考答案：

12.（5分）已知函数f（x）满足f（x+1）=f（x）+1，当x∈[0，1]时，f（x）=|3x﹣1|﹣1，若对任意实数x，都有f（x+a）＜f（x）成立，则实数a的取值范围是

．参考答案：（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）考点： 抽象函数及其应用．专题： 函数的性质及应用．分析： 先把绝对值函数化为分段函数，再根据图象的平移得到函数f（x）的图象，观察函数的图象，即可求出a的范围．解答： ∵x∈[0，1]时，f（x）=|3x﹣1|﹣1，∴当x∈[0，]时，f（x）=﹣3x，x∈（，1]时，f（x）=3x﹣2，由f（x+1）=f（x）+1，可得到f（x）大致图形为，如图所示由图可以看出，当x=时，即D点．若a≥0，则f（+a）≥f（），不满足题意．所以a＜0．由图中知，比D小的为C左边的区域，且不能为A点．C点为f（﹣），此时a=﹣．所以a的范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）故答案为：（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）点评： 本题考查了分段函数的图象和性质，以及含有参数的取值范围，关键是利用数形结合的思想，属于难题．13.设实数满足，若目标函数的取值范围是，则常数=__________.参考答案：414.箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，先摸出1只球，记下颜色后放回箱子，然后再摸出1只球，则摸到两只不同颜色的球的概率为_____

参考答案：略15.设i为虚数单位，则复数=

．参考答案：﹣4﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数得答案．【解答】解：=，故答案为：﹣4﹣3i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．16.如图放置的边长为1的正方形ABCD沿x轴正向滚动，即先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴上时，再以B为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD的某个顶点落在x轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转.设顶点C滚动时的曲线为y=f(x)，则f(x)在[2017,2018]上的表达式为

．参考答案：17.在△ABC中，B=90°，AB=BC=1，点M满足于，则有=

.参考答案：3略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.几何证明选讲如图，Δ是内接于圆，,直线切于点，弦，与相交于点．（Ⅰ）求证：≌；（Ⅱ）若求．参考答案：证明：（Ⅰ）∵MN是切线，且∥∴，即∴∵∴≌

-----------------------5分（Ⅱ）在和中，∵，是公共角,∴∽

------------------7分∴,即∵,

∴∴

------------------------------10分

略19.（12分）（2015秋?太原期末）某地一家课外培训机构随机选取当地1000名学生的数据，研究他们报名参加数学、英语、物理、化学培训的情况，整理成如下统计表：课程人数 数学 英语 物理 化学100 √ × √ √217 × √ × √200 √ √ √ ×300 √ × √ ×85 √ × × ×98 × √ × ×表中“√”表示参加，“×”表示未参加．（1）估计当地某一学生同时参加英语和物理培训的概率；（2）估计当地某一学生在以上四门课程同时参加三门培训的概率；（3）如果一个学生参加了数学培训，则该生同时参加英语、物理、化学培训中哪一种的可能性最大？说明理由．参考答案：【分析】（1）由统计表得1000名学生中，同时参加英语和物理培训的学生有200人，由此能估计当地某一学生同时参加英语和物理培训的概率．（2）由统计表得1000名学生中，在以上四门课程同时参加三门培训的学生有300人，由此能估计当地某一学生在以上四门课程同时参加三门培训的概率．（3）该生同时参加英语、物理、化学培训中参加物理培训的可能性最大．【解答】解：（1）由统计表得1000名学生中，同时参加英语和物理培训的学生有200人，∴估计当地某一学生同时参加英语和物理培训的概率p1==0.2．（2）由统计表得1000名学生中，在以上四门课程同时参加三门培训的学生有：100+200=300人，∴估计当地某一学生在以上四门课程同时参加三门培训的概率p2==0.3．（3）该生同时参加英语、物理、化学培训中参加物理培训的可能性最大．理由如下：参加数学培训的学生有100+200+300+85=685人，学生参加了数学培训，该生同时参加英语培训的学生有200人，学生参加了数学培训，该生同时参加物理培训的学生有100+200=300人，学生参加了数学培训，该生同时参加化学培训的学生有100人，∴该生同时参加英语、物理、化学培训中参加物理培训的可能性最大．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．20.(本题满分１２分)某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，.（１）求直方图中的值；（２）如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿，请估计学校1000名新生中有多少名学生可以申请住宿.参考答案：（1）由，………….4分则………….6分（2）上学所需时间不少于40的学生的频率为：………….8分估计学校1000名新生中有：………….11分答：估计学校1000名新生中有250名学生可以申请住宿.…12分21.在四棱锥中，底面，,.(1)求证：面⊥面；（2）求二面角的余弦值.

参考答案：22.已知函数，.（1）当时，求函数f(x)的单调区间和极值；（2）若对于任意，都有成立，求实数k的取值范围；（3）若，且，证明：.参考答案：（1），①时，因为，所以，函数的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值；②当时，令，解得，当时，；当，.所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，在区间上的极小值为，无极大值.（2）由题意，，即问题转化为对于恒成立，即对于恒成立，令，则，令，，则，所以在区间上单调递增，故，故，所以在区间上单调递增