湖北省荆门市马河中学高三数学理期末试题含解析

湖北省荆门市马河中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，则A. B. C. D.参考答案：B略2.若为△的内角，且，则等于（

）A． B． C． D．参考答案：A试题分析：若为△的内角，且，得，又，，∴，则，故选A.考点：1、两角和与差的三角公式；2、二倍角公式.【方法点睛】本题主要考查二倍角以及两角和与差的三角公式，属于中档题.给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：(1)观察角，分析角与角之间的差异以及角与角之间的和、差、倍的关系，巧用诱导公式或拆分技巧；(2)观察函数名，尽可能使三角函数统一名称；(3)观察结构，以便合理利用公式，整体化简求值.3.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则|z1+z2|=(

) A．2 B．3 C．2 D．3参考答案：A考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的几何意义和复数的模的计算公式即可得出．解答： 解：由图可知：=（﹣2，﹣1），=（0，1）．∴z1=﹣2﹣i，z2=i．∴z1+z2=﹣2﹣i+i=﹣2．∴|z1+z2|=2．故选：A点评：本题考查了复数的几何意义和复数的模的计算公式，属于基础题．4.对于非零向量，定义一种向量积：．已知非零向量，且都在集合中。则=

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B5.在中，“”是“”的

（

）

(A)充分非必要条件

(B)必要非充分条件(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件参考答案：B由得，即，所以或，即，或，即，所以“”是“”的必要不充分条件，选B.6.下列命题中的假命题是（

）A．B．，C．，当时，恒有D．，使函数的图像关于轴对称参考答案：C.试题分析：A：根据指数函数的性质，可知A正确；B：当时，有，，显然成立，当时，令，∴，∴在上单调递增，∴，综上，不等式对于任意恒成立，B正确；C：∵为底数大于的指数函数，为幂函数，∴当时，，∴不存在满足条件的，C错误；D：取，可知函数的图象关于轴对称，D正确.考点：函数的性质.7.已知集合，，则

A.

B.

C.

D.参考答案：D8.已知函数的零点分别为，则的大小关系是A．

B．

C．

D．不能确定参考答案：A9.若变量x，y满足约束条件，则的最大值为（

）A.2 B. C. D.参考答案：D【分析】根据约束条件得到可行域，将化为，根据的几何意义可求得取时，最大，代入可求得的最大值.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：

取最大值时，最大的几何意义为：与原点连线的斜率由上图可知，点与原点连线斜率最大由得：

本题正确选项：D【点睛】本题考查线性规划中斜率型的最值的求解，关键是能够明确分式类型的目标函数的几何意义，属于常规题型.10.已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是(

)A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[，π]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到ω，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g（x）的解析式，画出其图象，则答案可求．【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx==，由题意知，则T=π，∴ω=，∴，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得g（x）=f（x+）=2=2cos2x．其图象如图：由图可知，函数在[，]上是减函数，A错误；其图象的对称中心为（），B错误；函数为偶函数，C错误；，，∴当x∈[，π]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]，D正确．故选：D．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，正确画出图象对解决问题起到事半功倍的作用，是中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设满足，则

，

。参考答案：-4，-412.函数的定义域为

▲

．参考答案：13.设f（x）=，若f（a）=3，则a=．参考答案：4【考点】函数的值．【分析】利用分段函数求值，分类讨论a的取值范围，求得a的值．【解答】解：当a＞0，f（a）==3，∴a=4，当a≤0，f（a）=2a=3，∴a=＞1，不成立；故答案为：4．14.(几何证明选讲选做题)如图,是圆的直径,点在圆上,延长到使,过作圆的切线交于.若,,则_________.

参考答案：；依题意易知,所以,又,所以,从而.15.若方程在区间上有解，则所有满足条件的实数值的和为

．参考答案：16.若下列框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于整数的条件是____________

参考答案：（或）17.已知（为自然对数的底数），函数，则__________.参考答案：7三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，其中且，若，在处切线的斜率为．（1）求函数的解析式及其单调区间；（2）若实数满足，且对于任意恒成立，求实数的取值范围．参考答案：(1）的单调递减区间为，单调递增区间为;（2）．（2）当时，取，则，由于在上单调递增，则，不合题意，故舍去；当时，由抽屉原理可知，则，若，由于在上单调递减，则成立；若，，则，故，由于，则，（当且仅当时取“=”）故（当且仅当时取“=”）由于，故上式无法取“=”，因此恒成立，．点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.19.（本小题满分12分）如图，在几何体SABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD=DC=2，BC=1，又SD=2，∠SDC=120°.

（1）求SC与平面SAB所成角的正弦值；

（2）求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值.参考答案：过点作的垂线交于,以为原点,

分别以为轴建立空间上角坐标系。,又,则点到轴的距离为1,到轴的距离 为。则有,,,,。

（4分）

（1）设平面的法向量为，

．则有，取，得，又，设与平面所成角为，则，故与平面所成角的正弦值为。

（6分）

（2）设平面的法向量为，

，

则有，取，得。

，

故平面与平面所成的锐二面角的余弦值是。

（12分）20.（2017?长春三模）已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用．【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解最值．（2）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值．【解答】解：（1）∵，∴，∴当时，f（x）取得最小值2．（2）∵f（A）=4，∴，又∵BC=3，∴，∴9=（b+c）2﹣bc．，∴，∴，当且仅当b=c取等号，∴三角形周长最大值为．【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数的最值，基本不等式以及余弦定理的应用，考查计算能力．21.

已知函数.（1）求函数f(x)的最小值k；（2）在（1）的结论下，若正实数a，b满足，求证：.参考答案：（1）因为所以函数的最小值为…………………5分（2）由（1）知，因为所以所以……………