云南省大理市洱源县第三中学高三数学理上学期摸底试题含解析

云南省大理市洱源县第三中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（

）A．若∥，，

，则∥

B．若⊥，，则C．若，，则∥

D．若⊥，∥，则参考答案：D2.从[0,10]上任取一个数x，从[0,6]上任取一个数y,则使得的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略3.设，函数的图象可能是（

）参考答案：C略4.若a＞b＞1，0＜c＜1，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C试题分析：用特殊值法，令a=3，b=2，c=，得，A错误.，B错误.，C正确.，D错误.

5.若函数，则（

）A.

B.1

C.

D.3

参考答案：A6.复数（i为虚数单位）的虚部是（）A．﹣i B． C．﹣i D．﹣参考答案：D【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先根据复数的运算法则化简，再根据复数的定义即可求出．【解答】解：i2016=（﹣1）1008=1，∴===﹣﹣i，∴复数（i为虚数单位）的虚部是﹣，故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则和复数的定义，属于基础题．7.设，则A．

B．C．D．参考答案：D略8.平面α与球O相交于周长为2π的⊙O′，A、B为⊙O′上两点，若∠AOB=，且A、

B的球面距离为则OO′的长度为

（）

A．1 B．

C．π

D．2参考答案：答案：A9.设全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={x∈R︱x2+x－6=0}，则下图中阴影表示的集合为

（

）

A．{2}

B．{3}

C．{－3，2}

D．{－2，3}参考答案：A略10.O是锐角三角形ABC的外心，由O向边BC，CA，AB引垂线，垂足分别是D，E，F，给出下列命题：

①；

②；

③：：=cosA：cosB：cosC;

④，使得。

以上命题正确的个数是

（

）

A．1

B．2

C．3

D．4；参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的零点有个．参考答案：3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：题目中条件：“函数f（x）=的零点个数”转化为方程lnx=x2﹣2x的根的个数问题及一次函数2x+1=0的根的个数问题，分别画出方程lnx=x2﹣2x左右两式表示的函数图象即得．解答：解：当x＞0时，在同一坐标系中画出y=lnx与y=x2﹣2x的图象如下图所示：由图象可得两个函数有两个交点．又一次函数2x+1=0的根的个数是：1．故函数的零点有3个故答案为：3点评：函数的图象直观地显示了函数的性质．在判断方程是否有解、解的个数及一次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题．体现了数形结合的数学思想．12.（00全国卷）设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=________参考答案：答案:

13.设函数的最小正周期为，且满足，则函数的单调增区间为

▲

．参考答案：14.已知，函数若函数恰有2个不同的零点，则的取值范围为

▲

．参考答案：（0,2）由已知可得在区间上必须要有零点，故解得：，所以必为函数的零点，故由已知可得：在区间上仅有一个零点.又在上单调递减，所以，解得15.已知△ABC中，，，，若线段BA的延长线上存在点D，使，则CD=

．参考答案：

16.已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=2，且a2，a4，a8成等比数列．则数列{an}的通项公式为．参考答案：an=2n【考点】等差数列的通项公式．【分析】数列{an}是公差d≠0的等差数列，由a2，a4，a8成等比数列，可得=a2a8，利用等差数列通项公式代入解出d即可得出．【解答】解：数列{an}是公差d≠0的等差数列，∵a2，a4，a8成等比数列，∴=a2a8，∴（2+3d）2=（2+d）（2+7d），化为2d2﹣4d=0，解得d=2或d=0（舍）．∴an=2+2（n﹣1）=2n．故答案为：an=2n．17.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有下列五个命题：①若，且，则；②若，且，则；③若，且，则；④若，且，则；⑤若，，，则．则所有正确命题的序号是

.参考答案：①②⑤

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.根据以往的经验，某建筑工程施工期间的降水量（单位：）对工期的影响如下表：降水量工期延误天数0136根据某气象站的资料，某调查小组抄录了该工程施工地某月前天的降水量的数据，绘制得到降水量的折线图，如下图所示.（1）求这20天的平均降水量；（2）根据降水量的折线图，分别估计该工程施工延误天数的概率.参考答案：（1）这天的平均降水量为（2）∵的天数为，∴的频率为，故估计的概率为.∵的天数为，∴的频率为,故估计的概率为.∵的天数为，∴的频率为，故估计的概率为.∵的天数为，∴的频率为，故估计的概率为.19.在四边形ABCD中，对角线AC，BD垂直相交于点O，且OA=OB=OD=4，OC=3．将△BCD沿BD折到△BED的位置，使得二面角E﹣BD﹣A的大小为90°（如图）．已知Q为EO的中点，点P在线段AB上，且AP=．（Ⅰ）证明：直线PQ∥平面ADE；（Ⅱ）求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）证明PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，可得平面PQR∥平面ADE，即可证明：直线PQ∥平面ADE；（Ⅱ）由等体积法可得点O到平面ADE的距离，即可求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取OD的中点R，连接PR，QR，则DE∥RQ，由题知，又，故AB：AP=4：1=DB：DR，因此AD∥PR，因为PR，RQ?平面ADE，且AD，DE?平面ADE，故PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，又PR∩RQ=R，故平面PQR∥平面ADE，从而PQ∥平面ADE．…6分（Ⅱ）解：由题EA=ED=5，，设点O到平面ADE的距离为d，则由等体积法可得，故，因此．…12分．20.如图，在直三棱柱中，90°,,是的中点.（Ⅰ）求异面直线与所成的角；（Ⅱ）若为上一点，且，求二面角的大小.参考答案：解法一：（Ⅰ）取的中点，连，则∥，

∴或其补角是异面直线与所成的角.

设，则，.

∴.

∵在中，.

∴异面直线与所成的角为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.因为三棱柱是直三棱柱，∴平面，

又∵

∴.

∴.

∴～.

∴.即得，所得是的中点.连结，设是的中点，过点作于，连结，则.又∵平面平面

∴平面.而，∴，∴是二面角的平面角.由得.即二面角的为.

∴所求二面角为.解法二：（Ⅰ）如图分别以、、所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.设，则、、、、.∴，∴.∴异面直线与所成的角为.

（Ⅱ）设，则，

由得，知，

∴.设平面的一个法向量为，则，∵，∴，取，得.易知平面的一个法向量，∴.

∴二面角的大小为.略21.(本小题满分12分)如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a米,高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量

分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a,b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A,B孔的面积忽略不计).参考答案：解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，…8分此时解得a=6,b=3答：当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。………12分解法二：设y为流出的水中杂质的质量分数，∵(a>0,b>0)∴0<ab≤18当a=2b时取等号，ab达到最大值18。…10分此时解得a=6,b=3答：当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。………12分22.（本小题满分10分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C的参数方程为（为参数），点Q的极坐标为。（I）化圆C的参数方程为极坐标方程；（II）直线过点Q且与圆C交于M，N两点，求当弦MN的长度为最小时，直线的直角坐标方程。参考答