算法案例讲义

算法案例(第一课时)辗转相除法（欧几里得算法）与更相减损术安庆一中罗志强1、求两个正整数的最大公约数（1）求25和35的最大公约数（2）求49和63的最大公约数2、求8251和6105的最大公约数25（1）5535749（2）77639所以，25和35的最大公约数为5所以，49和63的最大公约数为7辗转相除法（欧几里得算法）观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程第一步用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数

8251=6105×1+2146结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。第二步对6105和2146重复第一步的做法

6105=2146×2+1813

同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。为什么呢？思考：从上述的过程你体会到了什么？完整的过程8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0例2用辗转相除法求225和135的最大公约数225=135×1+90135=90×1+4590=45×2显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？

S1：给定两个正整数m,nS2：用大数除以小数，计算m除以n所得的余数；S3：除数变成被除数，余数变成除数，即m=n,n=rS4：重复S2,直到余数为0，即若r=0，则m,n的最大公约数为m，否则返回S2

辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0m=n×q＋r用程序框图表示出右边的过程r=mMODnm=nn=rr=0?是否思考2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？r=mMODnm=nn=rr=0?是否开始

输入两个正数m,n

输出m,n结束INPUTm,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND练习1：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数.

20723=4081×5+318;4081=318×12+265;318=265×1+53;265=53×5+0.(53)思考:你能用当型循环结构构造算法，求两个正整数的最大公约数吗？写出算法步骤、程序框图和程序。

输入两个正数m,n否开始r=mMODnr≠0?输出n结束m=nn=r是INPUTm,nr=mMODnWHILEr<>0m=nn=rr=mMODnWENDPRINTnEND《九章算术》——更相减损术算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。例3

用更相减损术求98与63的最大公约数解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减98－63＝35

63－35＝28

35－28＝7

28－7＝2121－7＝1414－7＝7所以，98和63的最大公约数等于7练习3：分别用辗转相除法和更相减损术求204与85的最大公约数。

解：思考：把更相减损术与辗转相除法相比较，你有什么发现？你能根据更相减损术设计程序，求两个正整数的最大公约数吗？S1:给定两个正整数m,n不妨设m>n;S2：若m,n都是偶数，则不断用2约简，使它们不同时是偶数，约简后的两个数仍记为m,n;S3：d=m-n;S4:判断“d≠n”是否成立。若是，则将n,d中的较大者记为m，较小者记为n，返回s3;否则，2kd(k时约简整数的2的个数)为所求的最大公约数。开始输m,n(m>n)K=0M,n为偶数?K=k+1M=m/2N=n/2D=m-nD<>n?D>n?否M=nN=dD=m-nM=d是输出2^k*d结束是否否是INPUT“m,n=“;m,nIFm<nTHENa=m

m=nn=aENDIFK=0WHILEmMOD2=0ANDnMOD2=0m=m/2n=n/2k=k+