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文档简介
黑龙江省齐市地区普高联谊校2023-2024学年高三下学期联合考试数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知向量与的夹角为,定义为与的“向量积”,且是一个向量,它的长度,若,,则()A. B.C.6 D.2.已知,,是平面内三个单位向量,若,则的最小值()A. B. C. D.53.已知是第二象限的角,,则()A. B. C. D.4.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数(即质数)的和”,如,.在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于20的概率是()A. B. C. D.以上都不对5.已知向量,则是的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充要条件6.记单调递增的等比数列的前项和为,若,,则()A. B. C. D.7.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是().A.收入最高值与收入最低值的比是B.结余最高的月份是月份C.与月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同D.前个月的平均收入为万元8.若,,,则()A. B.C. D.9.已知,,为圆上的动点,,过点作与垂直的直线交直线于点,若点的横坐标为,则的取值范围是()A. B. C. D.10.在中,角所对的边分别为,已知,.当变化时,若存在最大值,则正数的取值范围为A. B. C. D.11.由实数组成的等比数列{an}的前n项和为Sn,则“a1>0”是“S9>S8”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12.要得到函数的图象,只需将函数的图象A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(5分)某膳食营养科研机构为研究牛蛙体内的维生素E和锌、硒等微量元素(这些元素可以延缓衰老,还能起到抗癌的效果)对人体的作用,现从只雌蛙和只雄蛙中任选只牛蛙进行抽样试验,则选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________.14.已知复数满足(为虚数单位),则复数的实部为____________.15.近年来,新能源汽车技术不断推陈出新,新产品不断涌现,在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术,它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上,车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%,充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电,那么他的车能够充电2500次的概率为______.16.关于函数有下列四个命题:①函数在上是增函数;②函数的图象关于中心对称;③不存在斜率小于且与函数的图象相切的直线;④函数的导函数不存在极小值.其中正确的命题有______.(写出所有正确命题的序号)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,曲线在点处的切线在y轴上的截距为.(1)求a;(2)讨论函数和的单调性;(3)设,求证:.18.(12分)已知,函数.(Ⅰ)若在区间上单调递增,求的值;(Ⅱ)若恒成立,求的最大值.(参考数据:)19.(12分)如图,设A是由个实数组成的n行n列的数表,其中aij(i,j=1,2,3,…,n)表示位于第i行第j列的实数,且aij{1,-1}.记S(n,n)为所有这样的数表构成的集合.对于,记ri(A)为A的第i行各数之积,cj(A)为A的第j列各数之积.令a11a12…a1na21a22a2n…………an1an2…ann(Ⅰ)请写出一个AS(4,4),使得l(A)=0;(Ⅱ)是否存在AS(9,9),使得l(A)=0?说明理由;(Ⅲ)给定正整数n,对于所有的AS(n,n),求l(A)的取值集合.20.(12分)已知,,求证:(1);(2).21.(12分)在中,角的对边分别为,若.(1)求角的大小;(2)若,为外一点,,求四边形面积的最大值.22.(10分)已知椭圆与x轴负半轴交于,离心率.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线与椭圆C交于两点,连接AM,AN并延长交直线x=4于两点,若,直线MN是否恒过定点,如果是,请求出定点坐标,如果不是,请说明理由.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
先根据向量坐标运算求出和,进而求出,代入题中给的定义即可求解.【详解】由题意,则,,得,由定义知,故选:D.【点睛】此题考查向量的坐标运算,引入新定义,属于简单题目.2、A【解析】
由于,且为单位向量,所以可令,,再设出单位向量的坐标,再将坐标代入中,利用两点间的距离的几何意义可求出结果.【详解】解:设,,,则,从而,等号可取到.故选:A【点睛】此题考查的是平面向量的坐标、模的运算,利用整体代换,再结合距离公式求解,属于难题.3、D【解析】
利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【详解】因为,由诱导公式可得,,即,因为,所以,由二倍角的正弦公式可得,,所以.故选:D【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.4、A【解析】
首先确定不超过的素数的个数,根据古典概型概率求解方法计算可得结果.【详解】不超过的素数有,,,,,,,,共个,从这个素数中任选个,有种可能;其中选取的两个数,其和等于的有,,共种情况,故随机选出两个不同的数,其和等于的概率.故选:.【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解,属于基础题.5、A【解析】
向量,,,则,即,或者-1,判断出即可.【详解】解:向量,,,则,即,或者-1,所以是或者的充分不必要条件,故选:A.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断,考查向量平行的坐标表示,属于基础题.6、C【解析】
先利用等比数列的性质得到的值,再根据的方程组可得的值,从而得到数列的公比,进而得到数列的通项和前项和,根据后两个公式可得正确的选项.【详解】因为为等比数列,所以,故即,由可得或,因为为递增数列,故符合.此时,所以或(舍,因为为递增数列).故,.故选C.【点睛】一般地,如果为等比数列,为其前项和,则有性质:(1)若,则;(2)公比时,则有,其中为常数且;(3)为等比数列()且公比为.7、D【解析】由图可知,收入最高值为万元,收入最低值为万元,其比是,故项正确;结余最高为月份,为,故项正确;至月份的收入的变化率为至月份的收入的变化率相同,故项正确;前个月的平均收入为万元,故项错误.综上,故选.8、C【解析】
利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系,进而可得出、、三个数的大小关系.【详解】对数函数为上的增函数,则,即;指数函数为上的增函数,则;指数函数为上的减函数,则.综上所述,.故选:C.【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较,一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较,考查推理能力,属于基础题.9、A【解析】
由题意得,即可得点M的轨迹为以A,B为左、右焦点,的双曲线,根据双曲线的性质即可得解.【详解】如图,连接OP,AM,由题意得,点M的轨迹为以A,B为左、右焦点,的双曲线,.故选:A.【点睛】本题考查了双曲线定义的应用,考查了转化化归思想,属于中档题.10、C【解析】
因为,,所以根据正弦定理可得,所以,,所以,其中,,因为存在最大值,所以由,可得,所以,所以,解得,所以正数的取值范围为,故选C.11、C【解析】
根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】解:若{an}是等比数列,则,
若,则,即成立,
若成立,则,即,
故“”是“”的充要条件,
故选:C.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用等比数列的通项公式是解决本题的关键.12、D【解析】
先将化为,根据函数图像的平移原则,即可得出结果.【详解】因为,所以只需将的图象向右平移个单位.【点睛】本题主要考查三角函数的平移,熟记函数平移原则即可,属于基础题型.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
记只雌蛙分别为,只雄蛙分别为,从中任选只牛蛙进行抽样试验,其基本事件为,共15个,选出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件为,共9个,故选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是.14、【解析】
利用复数的概念与复数的除法运算计算即可得到答案.【详解】,所以复数的实部为2.故答案为:2【点睛】本题考查复数的除法运算,考查学生的基本计算能力,是一道基础题.15、【解析】
记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A,“他的车能够充电2500次”为事件B,即求条件概率:,由条件概率公式即得解.【详解】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A,“他的车能够充电2500次”为事件B,即求条件概率:故答案为:【点睛】本题考查了条件概率的应用,考查了学生概念理解,数学应用,数学运算的能力,属于基础题.16、①②③【解析】
由单调性、对称性概念、导数的几何意义、导数与极值的关系进行判断.【详解】函数的定义域是,由于,在上递增,∴函数在上是递增,①正确;,∴函数的图象关于中心对称,②正确;,时取等号,∴③正确;,设,则,显然是即的极小值点,④错误.故答案为:①②③.【点睛】本题考查函数的单调性、对称性,考查导数的几何意义、导数与极值,解题时按照相关概念判断即可,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)为减函数,为增函数.(3)证明见解析【解析】
(1)求出导函数,求出切线方程,令得切线的纵截距,可得(必须利用函数的单调性求解);(2)求函数的导数,由导数的正负确定单调性;(3)不等式变形为,由递减,得(),即,即,依次放缩,.不等式,递增得(),,,,先证,然后同样放缩得出结论.【详解】解:(1)对求导,得.因此.又因为,所以曲线在点处的切线方程为,即.由题意,.显然,适合上式.令,求导得,因此为增函数:故是唯一解.(2)由(1)可知,,因为,所以为减函数.因为,所以为增函数.(3)证明:由,易得.由(2)可知,在上为减函数.因此,当时,,即.令,得,即.因此,当时,.所以成立.下面证明:.由(2)可知,在上为增函数.因此,当时,,即.因此,即.令,得,即.当时,.因为,所以,所以.所以,当时,.所以,当时,成立.综上所述,当时,成立.【点睛】本题考查导数的几何意义,考查用导数研究函数的单调性,考查用导数证明不等式.本题中不等式的证明,考查了转化与化归的能力,把不等式变形后利用第(2)小题函数的单调性得出数列的不等关系:,.这是最关键的一步.然后一步一步放缩即可证明.本题属于困难题.18、(Ⅰ);(Ⅱ)3.【解析】
(Ⅰ)先求导,得,已知导函数单调递增,又在区间上单调递增,故,令,求得,讨论得,而,故,进而得解;(Ⅱ)可通过必要性探路,当时,由知,又由于,则,当,,结合零点存在定理可判断必存在使得,得,,化简得,再由二次函数性质即可求证;【详解】(Ⅰ)的定义域为.易知单调递增,由题意有.令,则.令得.所以当时,单调递增;当时,单调递减.所以,而又有,因此,所以.(Ⅱ)由知,又由于,则.下面证明符合条件.若.所以.易知单调递增,而,,因此必存在使得,即.且当时,单调递减;当时,,单调递增;则.综上,的最大值为3.【点睛】本题考查导数的计算,利用导数研究函数的增减性和最值,属于中档题19、(Ⅰ)答案见解析;(Ⅱ)不存在,理由见解析;(Ⅲ)【解析】
(Ⅰ)可取第一行都为-1,其余的都取1,即满足题意;(Ⅱ)用反证法证明:假设存在,得出矛盾,从而证明结论;(Ⅲ)通过分析正确得出l(A)的表达式,以及从A0如何得到A1,A2……,以此类推可得到Ak.【详解】(Ⅰ)答案不唯一,如图所示数表符合要求.(Ⅱ)不存在AS(9,9),使得l(A)=0,证明如下:假如存在,使得.因为,,所以,,...,,,,...,这18个数中有9个1,9个-1.令.一方面,由于这18个数中有9个1,9个-1,从而①,另一方面,表示数表中所有元素之积(记这81个实数之积为m);也表示m,从而②,①,②相矛盾,从而不存在,使得.(Ⅲ)记这个实数之积为p.一方面,从“行”的角度看,有;另一方面,从“列”的角度看,有;从而有③,注意到,,下面考虑,,...,,,,...,中-1的个数,由③知,上述2n个实数中,-1的个数一定为偶数,该偶数记为,则1的个数为2n-2k,所以,对数表,显然.将数表中的由1变为-1,得到数表,显然,将数表中的由1变为-1,得到数表,显然,依此类推,将数表中的由1变为-1,得到数表,即数表满足:,其余,所以,,所以,由k的任意性知,l(A)的取值集合为.【点睛】本题为数列的创新应用题,考查数学分析与思考能力及推理求解能力,解题关键是读懂题意,根据引入的概念与性质进行推理求解,属于较难题.20、(1)见解析;(2)见解析.【解
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