2020-2021学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）.

1.已知复数（其中，是虚数单位），则z在复平面内对应的点的坐标是（）

1

A.（1,1）B.（1,-1）C.（-1,1）D.（-1,-1）

2.如图、在四棱锥中，底面A2CD为矩形，PDL^ABCD,若43=尸。=3,

AD=2,则该四棱锥的体积为（）

A.18B.12C.9D.6

3.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，从袋中不放

回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率是（）

1112

A.—B.—C.—D.—

4323

4.设a,0是两个不同的平面，n是平面a内的一条直线，则是“a，B”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.在△ABC中，%asinB=3bcosA,则/A=（）

6.水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮.以袁隆平院士为首的

科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”.育种技术

的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了

巨大贡献.某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量（单

位：饭）如表：

品种第1年第2年第3年第4年第5年第6年

甲900920900850910920

乙890960950850860890

根据以上数据，下面说法正确的是（）

A.甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大

B.甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小

C.甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等

D.甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定

7.向量W，E，彳，石在正方形网格中的位置如图所示，若:_石=入3+以1（入，pi&R）,

则瓦=（）

A.3B.—C.-3D.」

33

8.某中学举办知识竞赛，共50人参加初试，成绩如表：

成绩959085807570656060以下

（分）

人数146546789

如果有40%的学生可以参加复试，则进入复试的分数线可以为（）

A.65B.70C.75D.80

9.在棱长为1的正方体ABCO-AiSCQi中，若点E是核A3的中点，点M是底面ABCD

内的动点，且满足AiMLGE,则线段AM的长的最小值为（）

A.逅B.C.1D.逅

552

10.已知不共线的平面向量二E，3两两的夹角相等，且国=1，国=2,曰=3,实数已,

入2,入3曰-1,1],则I入1a+入2b+入3cl的最大值为（）

A.炳B.2MC.V21D.5

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

H.已知平面向量；=（2,左），石=（3,2）,且之1,三，则实数％=.

12.若复数2=层+°-2+（a2-1）i为纯虚数，则实数。的值为

13.某班有42名学生，其中选考物理的学生有21人，选考地理的学生有14人，选考物理

或地理的学生有28人，从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率

为.

14.已知一组不全相等的样本数据的平均数为10,方差为2,现再加入一个新数10,则新

样本数据的平均数,方差_（填“变大”，“变小"，“不变”）

15.已知等边AABC的边长为2,。为边BC的中点，点M是AC边上的动点，则记•前的

最大值为,最小值为.

16.已知△ABC的三边长为连续的正整数，给出下列四个结论：

①存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于另外两个角的和;

②存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角大于另外两个角的和;

③存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的2倍；

④存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的3倍.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或明过过程）

222

17.在AABC中，b+c_2^.bc=a.

（［）求cosA的值；

（II）若B=2A,b=V6>求。的值.

18.如图，在正方体中，点E,尸分别是棱BBi,。。的中点.

（I）求证：平面AEF；

（II）求证：平面ACG4；

（III）判断点Ci是否在平面AEF内，并说明理由.

19.某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了"位市民进行心理

健康问卷调查，将所得评分（百分制）按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频

率分布直方图.已知调查评分在［70,80)中的市民有200人.

心理测评评价标准

调查评分[0,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

心理等级EDCBA

(I)求w的值及频率分布直方图中t的值;

(II)在抽取的心理等级为。的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随

机抽样抽取3人进行心理疏导.据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在［40,50)

的市民的心理等级转为B的概率为调查评分在［50,60)的市民的心理等级转为8的

概率为晟，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏

O

导后至少有一人的心理等级转为B的概率；

(III)该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均

值不低于0.75,则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂.根据调查数

据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组的每个数据用该组区

间的中点值代替，心理健康指数=调查评分+10。)

20.如图，在锐角△ABC中，BC=V?-D,E分别是边AB,AC上的点.且。E=2.再

从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并求，

(I)sinC的值；

(II)/BDE的大小；

(III)四边形BCED的面积.

条件①：AB=3«；

条件②：cosB=W^；

14

条件③：£C=3.

21.将平面直角坐标系中的一列点4(1,<7i),Ai(2,«2)，An(n,a»),…记为|A”|,

设/(〃)=AnA/，,其中j为与y轴方向相同的单位向量.若对任意的正整数〃，都

有f(“+D>/(«),则称｛A”｝为r点列.

(I)判断A[(l，1)，卜2(2,,A3(3,-1-)，…，An(n,—),…是否为T

点列，并说明理由；

(II)若｛4｝为T点列，且.任取其中连续三点4,4+1,4+2,证明△4/U+A+2

为钝角三角形；

(III)若｛4｝为7点列，对于正整数鼠I,m(k<l<m),比较A】A/女•/与人mA/J

的大小，并说明理由.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项）

1.已知复数z二工（其中，是虚数单位），则z在复平面内对应的点的坐标是（）

1

A.（1,1）B.（1,-1）C.（-1,1）D.（-1,-1）

附••1+i（1+i）—_1

解：■z=~~:-----.2一］一］，

1-i

•••Z在复平面内对应的点的坐标是（1,-1）.

故选：B.

2.如图、在四棱锥尸-ABCL（中，底面A3CD为矩形，尸£＞，底面A3C。，若42=尸。=3,

AD=2,则该四棱锥的体积为（）

C.9D.6

解：四棱锥尸-ABC。中，底面矩形ABCD的面积为S矩形ABCO=A3・AD=3X2=6,

因为尸。,底面ABC。，所以四棱锥的高为尸。=3,

所以该四棱锥的体积为vHgfSP-ABCD=-^-5=6X3=6.

oO

故选：D.

3.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，从袋中不放

回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率是（）

解：从袋中不放回地依次随机摸出2个球,

以C；X241

则两个球颜色相同的概率p=

「攵1-12-3,

“3

故选：B.

4.设a,0是两个不同的平面，〃是平面a内的一条直线，则“〃，占'是“。，0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解：nca,若几_L0,由平面与平面垂直的判定可得a_L0,

反之，若〃ua,a±p,可得〃与0有三种位置关系，即〃U0或〃〃0或〃与0相交，相

交也不一定垂直，

・・・是“a，［T的充分不必要条件，

故选：A.

5.在△ABC中，V3asinB=3bcosA,则NA=（）

解：V3asinB=3bcosA,

工由正弦定理，pJWV3sinAsinB=3sinBcosA

■:Be(0,K),

：.sinB^O,tanA二行，

又・.・AE(0,it),

故选：c.

6.水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮.以袁隆平院士为首的

科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”.育种技术

的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了

巨大贡献.某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量（单

位：kg）如表：

品种第1年第2年第3年第4年第5年第6年

甲900920900850910920

乙890960950850860890

根据以上数据，下面说法正确的是()

A.甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大

B.甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小

C.甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等

D.甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定

解：选项4甲种水稻产量的平均数为：900+920+900：850+910+920=900,

乙种水稻产量的平均数为：890+960+950：850+860+890=900,

即甲乙种的水稻产量的平均数相等，故A错误，

选项8：甲种的水稻产量分别为：850,900,900,910,910,920,中位数为也等典=905,

乙种的水稻产量分别为：850,860,890,890,950,960,中位数为890V905,故B错

误，

选项C：甲种的水稻产量的极差为920-850=70,乙种的水稻产量的极差为960-850=

110>70,故C错误，

选项。：甲种的水稻产量的方差为：

9QoO1700

^[(850-900)+(910-900)+(920-900)+(920-900)]=智匕，

63

乙种的水稻产量的方差为：7-[(890-900)2+(960-900)2+(950-900)2+(850-900)

6

2+(860-900)2+(890-900)

33

因为甲乙种的水稻产量的平均数相等，而甲种的水稻产量的方差小于乙，故甲种的水稻

产量稳定，故。正确，

故选：D.

7.向量；，彳，e2在正方形网格中的位置如图所示，若；-E=4e]+ue2(入，"CR),

A.3B.—C.-3D.」

33

解：由图可知：a=-e।-4e2»b=-2e।-e

；•a-b=（-e04e2）-（-2ei-e2）=e1-3e2-

则入=],n=-3,所以

No

故选：D.

8.某中学举办知识竞赛，共50人参加初试，成绩如表:

成绩959085807570656060以下

（分）

人数146546789

如果有40%的学生可以参加复试，则进入复试的分数线可以为（）

A.65B.70C.75D.80

解：因为50X40%=20,且75〜95分共有20人，所以进入复试的分数线可以定为75.

故选：C.

9.在棱长为1的正方体ABCD-AiBiCQi中，若点E是核A3的中点，点M是底面A2CD

内的动点，且满足4ALLGE,则线段AM的长的最小值为（）

A.逅B.C.1D.逅

552

解：如图所示，建立空间直角坐标系，设4（0,0,1）,Ci（1,1,1）,E0,0）,

M（x,y,0）,

所以不=（X,»-1）,C7E=（-，-1,-1）,

因为AiMLCiE,

所以一点-y+l=0,即点M的轨迹方程为x+2y-2=0,

赤

所以线段AM的最小值为2==^=2乂,

VK+25

故选：B.

a

'，£，

A'-六----7t

4LZZ1<

10.已知不共线的平面向量』b，q两两的夹角相等,且|；|=1,铲2,兀|=3,实数入1,

入2,入34-1,1],则仇1a+入2b+入3cl的最大值为（）

A.V3B.273C.V21D.5

解：•.•不共线的平面向量之，b-7两两的夹角相等，

平面向量；，E，3两两的夹角都为120°,

V|al=l,后|=2,用=3,

々ff3-*一

・・a•b=-1'a•c二p，b•c=-3,

|入i4+入入QC|2=入彳+4人立9入g-2入1入了6入入「3入1入Q—

（入4-入Q）+（3入&-入9）2+2入，-3入1入Q,

VA1,入2,入30T,1],

**•当入1=1,入2=1,入3=-1时，|入1a+入？b+入3cl2取得最大值为21,

•**|Ai入2匕+入38的最大值为丁五.

故选：C.

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11.已知平面向量彳=（2,左），己=（3，2）,且则实数仁-3.

解：:ab，

a•b=6+2k=0,解得％=-3・

故答案为：-3.

12.若复数Z=〃2+〃-2+（屏一1），为纯虚数，则实数。的值为-2.

解：:复数z=a2+a-2+（a2-1）i为纯虚数，

.a2+a-2=0

・・〈，解得a=~2.

、a-1卉0

故答案为：-2.

13.某班有42名学生，其中选考物理的学生有21人，选考地理的学生有14人，选考物理

或地理的学生有28人，从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为

1

%一，

解：设既选考物理又选考地理的学生有无人，

则只选物理的人数为21-x人，只选地理的人数为14-x人,

所以选考物理或地理的学生人数为21-x+14-x+x=28,解得x=7,

故所求事件的概率为

426

故答案为：

6

14.已知一组不全相等的样本数据的平均数为10,方差为2,现再加入一个新数10,则新

样本数据的平均数不变，方差变小.（填“变大”，“变小”,“不变”）

解：设原来的一组数据有〃个，分别为处，％2,•••,工〃，

则有X1+X2+,••+xn=1On,

22

方差s2=--[（X1-10）+（冗2-10）+•••+Cxn-10）2],

n

222

所以（即-10）+（%2-10）2+・・・+（xn-10）—ns,

加入一个新数10后，

平均数为士（xi+x2+---+x„+10）=lUn+lU.=io,

n+in+1

故平均数不变；

新的方差s2'=——[（X1-10）2+（X2-10）2+***+（X,1-10）2+（10-10）2]

n+1

故方差变小.

故答案为：不变；变小.

15.已知等边3c的边长为2,£＞为边2C的中点，点M是AC边上的动点，则而•证的

最大值为3,最小值为—.

解：以AC所在的直线为x轴，AC的中点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系,

•.•等边△ABC的边长为2,。为边BC的中点，

AA(-1,0),8(0,立)，C(1,0),零)，

设点M的坐标为0),TWxWl,

•'-MC=(l-x,0)，MD=(y-x,零),

•'­MD•MC=(1-x)(y~x)=x2-yx-t-j->

设/(x)=x2TWxWl,

•.•函数/(x)的对称轴为x=4，

4

：.f(x)在区间［-1,单调递减，在区间31］单调递增,

当X=T时，f(x)max=f(-1)=3,

当x=t时,

故答案为：3,-

16

16.已知△ABC的三边长为连续的正整数，给出下列四个结论：

①存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于另外两个角的和；

②存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角大于另外两个角的和；

③存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的2倍；

④存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的3倍.

其中所有正确结论的序号是①②③.

解：根据题意，设△ABC的三边长依次为w-1,n,n+\,设最大角为A,最小角得B,

对于①，当”=4时，△ABC的三边长依次为3,4,5,此时△ABC为直角三角形，三个

内角中的最大角等于另外两个角的和，①正确；

对于②，当〃=3时，△ABC的三边长依次为2,3,4,cosA=2+9二”-VO,为钝角三

角形，三个内角中的最大角大于另外两个角的和，②正确;

对于③，当〃=5时，，△ABC的三边长依次为4,5,6,854=学晔誓=[,cosB

2x4x58

_25+36-16_3

-2X5X6一1

有cosA=2cos2B-l=cos2B,则有A—2B,③正确;

对于④，假设存在符合题意的三角形，则A=3B,则有=4~=与二

sinAsinB

322

又由A=3Bf则sinA=sin33=3sinB-4sinB,变形可得3-4sinB—,变形可得sinB

n-1

]该式不会成立,

2(n-1)

故不存在使得三个内角中的最大角等于最小角的3倍的三角形，④错误;

故答案为：①②③.

三、解答题(本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或明过过程)

在△中，222

17.ABCb+cc=a.

(I)求cosA的值;

(II)若B=2A,b=捉，求〃的值.

22

解：(I)•.•在△ABC中，b+c=a

22

又•••由余弦定理，可得cosA=b3

2bc

娓,

TbcV6.

cosA-

2bc4

(II)由(I)知,0<A<T-

sinA=：l-cos"W^

・.,8=2A,

•.D-O*O-AA、，巫

••sinB=sin2A=2sinAcosA=2X~;-X——=~—

444

ab

又,**9

sinAsinB

T目2

4

18.如图，在正方体ABC。-ABiCi。中，点、E,尸分别是棱BBi,的中点.

(I)求证：BD〃平面AEB

(II)求证：EF，平面ACC14；

(III)判断点Ci是否在平面AEE内，并说明理由.

Di

解：(I)因为在正方体ABCO-AiBCQi中，点、E,厂分别是棱BBi,的中点,

所以BE〃DF,BE=DF,

所以四边形8E尸。为平行四边形，所以BO〃EF,

又因为BDC平面AEF,Eft平面AER

所以8。〃平面AEF.

(II)因为在正方体ABCD-ALBICLDI中，A4i_L平面ABC。，

所以

因为四边形ABCD为正方形，所以ACJ_2。，

又由(I)知

所以EF_LA4i,EFLAC,

又因为ACAAAi=A,

所以政，平面ACCiAi.

(Ill)点Ci在平面AEP内，理由如下：

取CG中点G,连接GB,FG,ECi,

因为在正方体ABCD-AiBiGOi中，点G,尸分别是棱CG,DA的中点，

所以D尸〃CG,DF=CG,

所以四边形DCGP为平行四边形.所以FG〃DC,FG=DC,

又因为AB〃OC,AB^DC,

所以AB〃PG,AB=FG,

所以四边形ABGF为平行四边形.所以A尸〃BG,

因为在正方体ABCD-AIiCid中，点EG分别是棱CG的中点，

所以BE〃GCi,BE=GCi,

所以四边形BGCiE为平行四边形.所以BG〃EG,

所以ECi〃AF,

故点G在平面AEF内.

19.某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了“位市民进行心理

健康问卷调查，将所得评分（百分制）按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频

率分布直方图.已知调查评分在［70,80）中的市民有200人.

心理测评评价标准

调查评分[0,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

心理等级EDCBA

（I）求"的值及频率分布直方图中t的值;

（II）在抽取的心理等级为。的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随

机抽样抽取3人进行心理疏导.据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在［40,50）

的市民的心理等级转为B的概率为二，调查评分在［50,60）的市民的心理等级转为8的

概率为,，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏

导后至少有一人的心理等级转为B的概率；

（III）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均

值不低于0.75,则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂.根据调查数

据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.（每组的每个数据用该组区

间的中点值代替，心理健康指数=调查评分+10。）

解：(I)由已知条件可得n=o0哭］0=1000,又因为每组的小矩形的面积之和为1.

所以(0.035+0.025+0.02+0.004+8?)X10=l,解得0.002；

(II)由(I)知:/=0.002,

所以调查评分在［40,50)中的人数是调查评分在［50,60)中人数的

若按分层抽样抽取3人，则调查评分在［40,50)中有1人，在［50,60)中有2人，

设事件加="在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为8”.

因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，

所以P(M)

所以

故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率为目；

O

(III)由频率分布直方图可得，

45X0.02+55X0.04+65X0.14+75X0.2+85X0.35+95X0.25=80.7.

估计市民心理健康调查评分的平均值为80.7,

所以市民心理健康指数平均值为%-=0.807>0.75.

所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.

71

20.如图，在锐角△A3C中，BC=W，D,E分别是边AB,AC上的点.且。£=2.再

6

从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并求,

(I)sinC的值；

(II)的大小；

(III)四边形BCED的面积.

条件①：AB=3«；

条件②：cosB

14

条件③：EC=3.

解：选条件①③时，

(I)因为BC=A/7,研=3。^,

0

又因为在△ABC中，

sinCsinA

所以.cABsinA3^X-23亚.

sinC=~^~=V7F-

(〃)因为AABC是锐角三角形，由(I)知式延=@&，

14

所以cosC=Y1-sin2c=^-

在△ABC中，因为A^ugC2+AC2-2BCACcosC,

所以27=7+AC2-2V?ACX^，即AC2-AC-20=0，

解得AC=5.

又因为EC=3,所以AE=2.

又因为£(E=2,

所以NADE=A==.故NBDE=@0・

66

(III)因为AB=3畲，A-y,由(II)知AC=5,

所以SAABC^ABAOsinA鸟巨.

iAADb2A

OTT

又因为NAED=NBDE-A*-，

0

所以Sa&E亭EDEsin/AED嗯

所以四边形的面积为邛・

BCEDSAABC-SAADE

选条件②③时，

(I)因为A=_^~,cosB=-^^->

614

所以0<B(当,sinB=V1-COS2B

所以sinC=sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA义X'21X工=

14214214

厂5VL

(II)由(])及正弦定理：手=呼得AC=»」s1nB=7__±=5，

sinBsinAsinA工

~2

又因为£C=3,所以A£=2,

又因为。E=2,所以NADE=A=3故NBDE=@2.

(III)因为△ABC是锐角三角形，由(I)知S1加=为巨，

14

所以cosC=41-sin2c=^.

由余弦定理得：AB2=BC2+AC2-2BC-AC-cosC=7+25-2x5xJ=27，

14

解得:AB=3«.

所以SAABC与BAC-sinA若反，

9jr

又因为NAED=NBDE-A*-，

o

所以SAADE卷杷DEsinZAED^.

所以四边形BCED的面积为Saabc-SAADE邛・

21.将平面直角坐标系中的一列点Ai(1,<2i),Ai(2,。2)，An(n,an),…记为|A〃|,

设/(")=AnA什，,其中j为与〉轴方向相同的单位向量.若对任意的正整数"，都

有，(〃+1)>/(〃)，则称｛4｝为T点列.

(I)判断