2020高中数学 检测（四十六）三角函数的应用 第一册

课时跟踪检测（四十六）三角函数的应用

A级——学考水平达标练

1.已知简谐运动f（x）=2sin错误!错误!的图象经过点（0,1）,则该

简谐运动的最小正周期T和初相9分别为（）

71

A.T=6,«=%B.T=6,«=错误！

C.7=6TI,«=错误！D.T=6R,9=错误！

解析：选A乙错误!=错误!=6,

,「图象过（0,1）点，sin«=错误!.

一错误！<9（错误！,「.9二错误！。

2.在两个弹簧上各挂一个质量分别为M和相的小球，它们做

上下自由振动，已知它们在时间《单位：S）时离开平衡位置的位移

S1（单位：cm）和S2（单位:cm）分别由下列两式确定：Si=5sin错误!，

$2=5cos错误!.

则在时间t=错误!时，S1与52的大小关系是（）

A.Si>S2B.Si<S2

C.sx=s2D.不能确定

解析:选C当仁错误!时，Si=~5,52=—5,所以项=52。

3.电流强度/（A）随时间t(s)变化的t//A函数/=/sin

（sx+©错误!的图象如图所示，贝”「为错误！S时的电流强度为（）

A.0B.-5^2

C.10错误！D.一10错误！

解析：选A由图象知/=10,T=2X错误!=错误!，：3=错误!=

100兀

■/图象过错误!,

10=lOsin错误!,

即sin错误!=1且0<q（错误！，

错误！+夕=错误！,故«=错误!.

1=lOsiti错误！,

当二错误！时,/=lOsiti错误！=lOsin6n=0.

4.在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h,低潮时水深

为9m,高潮时水深为15m.每天潮涨潮落叱该港口水的深度y（m）

关于时间<h）的函数图象可以近似地看成函数y=/sin（5+©+&/

>0心>0）的图象，其中0WW24,且-3时涨潮到一次高潮，则该

函数的解析式可以是（）

A.y=3sin错误！方+12B.尸=一3$山错误！广+12

C.y=3sin错误！方+12D.y=3cos错误！方+12

解析:选A由相邻两次高潮的时间间隔为12h,知7=12,且T

=12=错误！(6；＞0)，得“=错误!，又由高潮时水深15m和低潮时水深

9m,得/=3,左=12,由题意知当t=3时，尸=15。故将t=3,y=15

代入解析式y=3sin错误!+12中，得3sin错误!+12=15,得错误!X3+夕

=错误!而解得p=2kR(k®所y以该函数的

+2(kWZ),Z).〈。圈④

Orx

解析式可以是3sin错误!+12=3sin错误!t~\~12.

5.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设

秒针位置P(X,7).若初始位置为4错误!，当秒针从为(注：此时t

=0)开始走时，点，的纵坐标y与时间方的函数解析式为()

A.y=sin错误!/C[0,+oo)

B.y=sin错误！，[0,+oo)

C.y=sin错误！,氏[0,+oo)

D.y=sin错误!"C[0,+oo)

解析：选C由题意可得函数初相位为错误!，排除B、口.又7=

60(秒)且秒针按顺时针旋转.即7=错误!=60,所以|8|=错误!，

即8=一错误!。故选C.

6.已知某种交流电电流/(A)随时间t(s)的变化规律可以

拟合为函数错误!，则这种交流电在内往

/=5\asin氏[0,+oo)?0.5s

复运动的次数为次.

解析:因为6错误!二错误!=错误!=50,

所以0.5s内往复运动的次数为0.5X50=25。

答案：25

7.如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度力（单位：米）

在某天。〜24时的变化情况，则水面高度方关于时间方的函数关系式

为.

解析：设力=/$山（5+夕）（/>0,”>0）,由图象知/=6,T=12,

错误!=12,得错误!=错误!。点（6,0）为五点作图法中的第一点,

故错误！X6+«=0,得«=一汽。：力=6sin错误！=—6sin错误!I（0WW24）.

答案：力=-6sin错误!40WW24）

8.如图所示，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满

足函数y=/siii（5r+p）+7?（/>0,”>0,0<^<TI），则8时的温

度大约为℃o（精确到1℃）

()61014%/h

解析:由图象可得B=2Q,A=10,错误!7二14-6=8,T=16=

错误!，「.”=错误!，「.y=lOsiti错误!+20,二.图象的最低点为（6,10）,

lOsiti错误！+20=10,「.sin错误！二一1,「.错误！+«=错误！+2版,左WZ,

0<«<汽,...夕=错误！，「.y=lOsiti错误!+20,当x=8时，y=10sin错误!十

20=20—5水上13。

答案：13

9.弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的

位移门单位:cm）随时间/单位：s）的变化曲线如图所示，则小球

在开始振动（即［=0）时离开平衡位置的位移是________cm.

解析：设曲线对应的函数解析式为F（匈=/sin（5（/>0,

0>0）.

由题图可知,/=6,7=2错误!=兀，则3=2,

从而｛x）=6sin（2/H-©.

因为右错误!是F（匈的第一个最大值点，

71

所以2X不+«=错误！，即9=错误!。

JL2-u

所以«x)=6sin错误!，

所以＜0)=6sin错误！=3错误!.

即小球开始振动时离开平衡位置的位移是3错误！cm。

答案：3错误！

10o一半径为4m的水轮(如图),水轮圆心。距离水面

2m,已知水轮每分钟转动4圈，当水轮上---sOz...点P从水中浮

现时(图中点4)开始计时.

⑴将点，距离水面的高度力(m)表示为时间«s)的函数；

(2)在水轮转动的一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过4

m?

解：⑴建立如图所示的平面直角坐标

依题意，得|.=错误!，易知。，在内所转过的

角为错误!—错误工，因此以Ox为始边，

0P为终边的角为错误!方一错误!,

故P点的纵坐标为4sin错误!，故所求函数关系式为力=4sin错误!十

2.

(2)令4sin错误！+2＞4,

得sin错误！＞错误！,

因止匕2加十错误！(错误！方一错误!＜2而十错误！(kCZ),

解得2.5+15左＜Y7.5+15左(左WZ),

因此(7.5+15月—(2。5+15&=5,

•••在水轮转动的一圈内，有5s的时间点〃距水面的高度超过4

mo

B级鬲考水平鬲分练

1.某时钟的秒针端点/到中心点。的距离为5cm,秒针均匀

地绕点。旋转，当时间t=0叱点/与钟面上标12的点方重合，将

/乃两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d=cm(其

中氏[0,60]).

解析：如图所示，秒针每秒钟走错误!=/卡、错误!(cm),所以

/初=错误!I(cm),所以2夕=错误!=错误!，所以(。匠＞A夕=错误!，所以d

=5sin错误！X2=lOsin错误!。

答案：1Osin错误！

2.动点/(x,y)在圆素+y=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速

旋转，12秒旋转一周，已知时间t=0时，点/的坐标是错误!，则当

0WW12时，动点/的纵坐标y关于广(单位：秒)的函数的单调递

增区间.

2九

解析:7=12,「.不=错误!，

从而可设y关于「的函数为y=sin错误!。

又=0时,尸=错误！，即sin«=错误！，不妨取夕=错误！，

「.y=sin错误!.

当2反一错误！W错误！方+错误!W2而十错误！（kCZ）,

即12左一5WW12k+1（左WZ）时,该函数递增，

・「0WW12,：函数的单调递增区间为[0,1],[7,12].

答案：[0,1],[7,12]

3.如图，某动物种群数量1月1日（t湍＞丁=°时）低至

700,7月1日高至900,其总量在此两值由房—5之间按照正

弦型曲线变化.

（1）求出种群数量y关于时间方的函数表达式（其中「以年初

以来的月为计量单位）；

（2）估计当年3月1日动物种群数量.

解：（1）设种群数量y关于「的解析式为

y=/sin（a+©+6（/〉0,3〉0）,

则错误!解得/=100,6=800.

又周期T=2X6=12,「.”二错误!=错误！，

「.y=lOOsin错误！+800.

又当—6时,y=900,

900=1OOsiti错误！+800,

汽

sin(九+p)=1,sin(p=—1,:可取《二一彳，

...y=1OOsin错误！+800。

(2)当-2时，夕=1005山错误!+800=750,

即当年3月1日动物种群数量约是750.

4.已知某港口落潮时水的深度为8.4m,涨潮时水的深度为16

m,相邻两次涨潮发生的时间间隔为12h.若水的深度d(m)随时间

<h)的变化曲线近似满足函数关系式"=/sin(西+夕)+力错误!，且10

月10日4:00该港口发生一次涨潮.

(1)从10月10日0:00开始计算时间，求该港口的水深4(m)

关于时间方(h)的函数关系式；

(2)10月10日17:00该港口的水深约为多少(保留一位小数)？

(3)10月10日这一天该港口共有多长时间水深不超过10。3m?

解：(1)依题意，知T=错误!=12,故8=错误!，

又力=错误！=12.2,/=16—12.2=3。8,

所以t/=3.8sin错误!+12.2。

又=4时，/=16,所以sin错误!=1,

所以错误!+9=错误!+2反，kCZ,则9=一错误!+2而，kWZ.

又|p|(错误！，所以《=一错误！，

所以该港口的水深"关于时间方的函数关系式为d=3.8sin错误!十

12o2.

(2)当—17时，

山错误！+山错误！+。。错误！+弋。

d=3o8512.2=3.8$122=38X12.215

5.

所以月日该港口的水深约为

101017:0015o5m.

令错误!+。

(3)3.8sin122<10o3,

有sin错误！W一错误！,

7汽

因山匕2加+错误！2一错误!&2而十错误!，左WZ,

所以12k+8WW12k+12,左WZ。

因为工[0,24],所以人可以取0,1。

令