2020-2021学年上海市浦东新区高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年上海市浦东新区高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共3小题，共9.0分)

1,若关于刀的不等式阿+2|-|%-1|>。的解集不是空集，则实数a的取值范围是()

A.(3,+8)B.(-3,+co)C.(-oo,3)D.(-oo,-3)

2.设直线au平面a,则平面a平行于平面/?是直线a平行于平面0的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知函数/(久则/[/(}]的是()

A.1B.-C.eD.3

3e

二、多选题(本大题共1小题，共3.0分)

4.已知关于％的不等式a/+人％+c>o解集为{%|一2<%<3},贝！J()

A.a>0

B.不等式a%+c>。的解集为<6]

C.a+b+c>0

D.不等式c--fox+a<0的解集为{加一：<%V}}

三、单空题(本大题共12小题，共36.0分)

5.学校运动会上，某班所有的同学都参加了篮球或排球比赛.已知该班共有22人参加了排球赛，

共有26人参加了篮球赛，既参加篮球赛又参加排球赛的有4人，则该班的学生数是.

6.幕函数/(%)=是偶函数，在％G(0,+8)为增函数，则根的值为

(1)-1;(2)2；(3)4；(4)-1或2.

7.不等式+—3Vo的解集为R,则实数a的取值范围是.

8.log24+log42=.

9.函数f(%)=1+log2x(x>2)的反函数/T(%)=.

10.函数y=loga(2x-3)+2的图象恒过定点产，点P在指数函数/(%)的图象上，则/(—1)=.

11.若函数y=ax-1(a>0且aH1)的图象恒过定点4若点A在直线TH%+ny=l(m,n>0)上，则

—+工的最小值为.

mn

12.已知函数"2久+3)的定义域为[0,1),贝仔(久+1)的定义域为.

14.设定义域为R的函数f(x)找出一组b和c的值，使得关于x的方程严(乃+人

f(x)+c=0有7个不同的实根.

15.函数y=2)2+1的图象向左、向下分别平移2个单位，得到y=/(久)的图象，则函数

/(久)=-------

16.下列四个结论

①函数y=Jy_1+J1-/是偶函数,但不是奇函数；

②设函数y=/(1)定义域为R,则函数y=/(-X)与y=/口)的图象关于y轴对称；

③若方程13-x2\-a=0有两个根，则1〉3.

④函数/卜)=4'+2”+。有零点，则a40

其中正确的有__________________

四、解答题(本大题共5小题，共52.0分)

17.(本题满分1o分)已知:螺喘犷=嚏普碱舒#:喊$.--鬻书嗨毓一般书…用:喊笈:一期七(其中制e)

(1)求魏:及胤匚宏线；

F1

(2)试比较.鼠与獭-缠瞥#觐了的大小，并说明理由.

18.设集合力={x|l-a<x<1+a),集合B={x\x<一1或久>5),分别就下列条件求实数a的取

值范围：

(1)XAB=0；

(2)/UB=B.

19.研究函数y=lgm的定义域和奇偶性.(写出必要的过程和文字说明)

20.销售甲、乙两种商品所得利润分别是为、%万元，它们与投入资金x万元的关系分别为为=

myjx+1+a,y2=bx,(其中a,b都为常数)，函数为，乃对应的曲线的、C?如图所示.

(1)求函数为、内的解析式;

(2)若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值.

21.已知函数f(x)=+q(a>0).

(I)求函数/(%)的单调区间和极值；

(H)已知对任意的x>0,a久(2-bix)W1恒成立，求实数a的取值范围；

(HI)是否存在实数a使得函数/(©在［l,e］上最小值为0?若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理

由.

参考答案及解析

1.答案：C

解析：解:|x+2|-|尤-1|表示数轴上的x对应点到-2和1对应点的距离之差，其最大值为3,故当

a>3时，关于x的不等式|久+2|--1|>a的解集不是空集，故实数a的取值范围为(一8,3),

故选：C.

由于|尤+2|-|x-1|表示数轴上的久对应点到-2和1对应点的距离之差，其最大值为3,再根据关于x

的不等式|久+2|-|x-l|>a的解集不是空集，求出实数a的取值范围.

本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题.

2.答案：A

解析：解：若平面a〃平面0,au平面a,贝i]a〃a；

当直线a平行于平面0时，平面a与平面£可能相交，

故选A.

根据线面平行的性质以及判定判断即可.

本题考查了充分必要条件，考查线面、面面的性质以及判定，是一道基础题.

3.答案：D

解析：

根据题意，由函数的解析式求出/©)=-伍3,进而可得3),计算可得答案.

本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题.

解：根据题意，函数/(%)=[厂'”?

则/©)=In]=—伍3,

则用(》]=/(—伍3)=产=3；

故选：D.

4.答案:BCD

解析：

-2+3=

由已知可得一2,3是方程。％2+.+。=0的两根，则由韦达定理可得：且

-2x3=-

a

解得c=-6a,b=-a,然后对应各个选项逐个判断即可.

本题考查了一元二次不等式的解法以及应用，考查了学生的运算转化能力，属于中档题.

解：由已知可得一2,3是方程a/+族=o的两根，

—2+3=--

则由韦达定理可得：c%且a<0,解得c=-6a,b=-a,所以A错误，

-2x3=-

a

选项a%+c>0化简为久一6V0,解得％<6,区正确，

选项C：a+b+c=a—a—6a=—6a>0,C正确，

选项。：c久2—b久+a<0化简为：6x2—x—1<0,解得—,〈无<5,。正确，

故选：BCD.

5.答案：44

解析：解：由条件知，每名同学至少参加两个比赛中的一个,

故不可能出现一名同学不参加篮球或排球比赛，

设参加篮球或排球比赛的人数构成的集合分别为4,B,

则card(力nB)=4,card(A)=26,card(B)=22,

由公式card(4UB)=card(X)+card(B)—card^AnB)

知card(4UB)=22+26-4=44

则该班的学生数是44人.

故答案为：44.

此类问题只进行空洞的分析，很难找到解决问题的切入点，但若能直观地将个部分人数用韦恩图展

示出来，则问题将迎刃而解.

集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Ue/m图的直观性，可以深刻理解集

合有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系.

6.答案:(2)(3)

解析：解：：幕函数fO)=#1是偶函数，在久e(0,+8)为增函数，

zn是正偶数，

•••6的值可能是2或4.

故答案为：(2)(3).

由幕函数f(x)=x"1是偶函数，在xe(0,+8)为增函数，知m是正偶数.

本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意塞函数的性质的合理运用.

7.答案：—12<aW0

解析：解：(1)当a=0时，得到-3<0,显然不等式的解集为R；

(2)当a>0时，二次函数丫=a/+ax—3开口向上，函数值y不恒小于0,故解集为R不可能.

(3)当a<0时，二次函数丫=a/+磔―3开口向下，由不等式的解集为R,得到二次函数与x轴没有

交点，即△=a2+i2a<0,即a(a+12)<0,解得一12<a<0；

综上，a的取值范围为一12<a<0

故答案为：-12<aW0

分三种情况讨论：(1)当a等于0时，原不等式变为-3<0,显然成立；

(2)当a>0时，根据二次函数的图象与性质可知解集为R不可能；

(3)当a<0时，二次函数开口向下，且与x轴没有交点即△小于。时，由此可得结论.

本题考查解不等式，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于基础题.

8.答案：|

解析：

本题考查了对数运算，根据对数运算性质即可求得，属于基础题.

2

解：log?4+log42=log22+log2.2=2+-

故答案为|.

9.答案：9T(%)=2x-1(x>2)

解析：M："x>2,y=1+log2x>2,由y=l+log2X,解得久=2?T,

故f-iQ)=2>1(久>2).

故答案为：/T(X)=2XT(*22).

由x22,可得y=1+log2%22,由y=l+log2X,解得X=2，T,把x与y互换即可得出反函数.

本题考查了反函数的求法、指数与对数的互化，属于基础题.

10.答案："

2

解析：解：由题意，令2%-3=1,则y=2,

即点P(2,2),

由P在指数函数八》)的图象上可得，

2—a2,

则a=V2,

则/(%)=

则“-1)=争

故答案为：返.

2

由题意求出点P的坐标，代入/(久)求函数解析式，再将-1代入即可.

本题考查了对数函数与指数函数的性质应用，属于基础题.

11.答案：3+2企

解析：

本题考查利用基本不等式求最值、指数函数的性质，运用了“乘1法”，考查学生的逻辑推理能力和

运算能力，属于基础题.

由题可知，4(1,1),将其代入+=1得m+n=1,再利用“乘1法”即可求得；的最小值.

解：由题可知，4(1,1),

,点4在直线m久+ny=1上，

m+n=1,

；/+工=(2+工)(爪+2=3+生+竺23+2院=3+2迎，

mnmnmnymn

当且仅当生="，即爪=&n时，等号成立，

mn

—+工的最小值为3+2A/2.

mn

故答案为：3+2V2.

12.答案：[2,4]

解析：<<,0<%<1,

.，•3<2%+3<5,

•••3<%+1<5,

•，•2<%<4,

故答案为：[2,4].

求出f(%)的定义域，从而求出f(%+1)的定义域即可.

本题考查了函数的定义域的求法，求复合函数的定义域时，注意自变量的范围的变化，本题属于基

础题.

13.答案：>

解析：解：因为a>b>c,所以a-b>0,h-c>0,a-c>0,

所以白+—3

a-bb-ca-c

(a-b+b—c)(a—c)—3(a—b)(b—c)

(a—b)(b—c)(a—c)

[(a—b)+(b—c)]2—3(a—b)(b—c)

(a—b)(b—c)(a—c)

_[(a_匕)_(b_c)]2+(a_b)(b_c)〉0

(a-Zj)(Z)-c)(a-c)'

所以七+：＞二.

a-bb-ca-c

故答案为：＞.

利用作差法，进行变形，写成乘积或平方的形式即可判断大小.

本题主要考查不等式的基本性质，考查作差法的应用，属于中档题.

14.答案：b=-l，c=l

解析：解:/(©的图象如图所示：

6=—|,c=1满足条件，理由如下：

设/(久)=3t2+bt+c=0,

由图象可得以上有关于t的方程必须有一解为1,

另一解a在区间(0,1)中，

才会使得关于久的方程严(%)+b-/(%)+c=0有7个解.

其中，/(%)=1有3个解，

/(x)=ae(0,1)有四个解.

所以可令匕=1,力2=%

即可得方程/-|刀+；0,

则b=-|,c=

故答案为：b=-|,c=[.

根据分段函数图象分段画的原则，结合绝对值函数的性质及二次函数的性质，我们易画出函数的图

象；

本题是一个开放题，没有固定的答案，使得关于x的方程产(乃+64(%)+。=0有7个不同的实根,

则/(x)=l有3个解，/(x)=a6(0,1)有四个解，只要列出6和c的值，能够满足条件即可.

本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断及函数的图象，其中根据绝对值函数的性质及二次

函数的性质，画出函数的图象并结合函数图象即可得到答案.

15.答案：y-x2-1

解析：解:函数y=（%-2/+1的图象向左平移2个单位，得到y=[（%+2）-2]2+1=x2+1的图

象；

再向下分别平移2个单位，得到y=%2+1-2=%2-1的图象；

故答案为：y-x2-1.

根据已知中函数的解析式，结合函数图象的平移变换法则，可得平移后的函数解析式.

本题考查的知识点是函数图象的平移变换，熟练掌握函数图象平移变换中“左加右减，上加下减”

的原则，是解答的关键.

16.答案：②④

解析：①函数裁正刁书版二点是偶函数，也是奇函数，故①错误；

②由函数图象的对称性可知y=/（-x）与函数y=/（久）关于y轴对称，故②正确；

③当a=0时，方程有两个根，故③错误；

④由-a=4*+2*>0,所以a<0,故④正确.

17.答案：（1）嚏：=皆，.黑=赞一赞（2）当糜=工时，警”:翻T蟒Y飘出；

当雕=墨方时，TY：獭一谶皆小奢岛当踊更q速管宵’时，T海翻7湾K窝也—7分

解析：试题分析：（1）赋值法求二项展开式的项的系数：令窸=：1，则唾：=*',令富=鬟,

则邕鳍=赍，••枫.=瞥-皆；（2）要比较独与独-缴警”富厂的大小，即比较：督与

:獭一陇皆带警疹的

大小，这需先归纳：当制=1时，警，，，翻一事瞥'小暑当髓=鬣笔时，瞥/:翩:一丁图Y翻

当制=时，赞演翻7谓“掌岛再猜想当黜反4时，警，，，繇-小瞥书窝汉最后用数学归纳法

证明，关键将制=施«时的式子与腌=可禽至期情形建立关系：

铲“净曾隐7理#然打=册磨网#翼袁#妙出除.-鬻皆#魏曾-«.-物

试题解析：解：（I）令:£,=1，则喙=皆，令害=办

则邕维=的，•,•/=赞-皆；

,；（!.；•：

（口）要比较.黑与翻-③潸'#警研的大小，即比较：督与翩L：®瞥普富^的大小，一1分

当!®=：1时，费演鳏-十瞥小窝'当畿=重』时,警心翻一须瞥带膏/;

当糜=<5时，Ta翻-**M；

猜想：当踊受回时，警，•，翻-布:瞥书室汽下面用数学归纳法证明：

由上述过程可知，源:=可时结论成立，

假设当糜=期封哪时结论成立，即赞•海膏普黔汽

两边同乘以3得：犷U；嵋繇7潦邛瑞打=幡帆”#翼金书曾出除.-鬻管）赧合-索-匐I

而僻:一禽曾出4^_可取一翦=:麟:一鞭劈书崛审_蔽一缴#®=■一驾密#耍黛一续:徽带。带

.••尹蒯徐*1-耶"#翼氯#曾

即;®=施普工时结论也成立，

,当於芭可时，T;演，翩-布督珏射丁成立.

综上得,当制=工时，T净鳏一丁耀：“籍小；

当®=2兽时，Ty：獭一谶皆小奢岛当踊更生通住谶时，T冷翩7湾K窝也一7分

考点：数学归纳法

18.答案：解：（1）TZ={%|1—a<x<1+a],集合B={x\x<—1或%>5）,且AnB=0,

1—a41+a

.•,4=0或4的解集为一1WxW5,即1-a>1+a或{1-aN—1,

、1+aW5

解得：a<0或0<a<2,

则当4nB=0时，a的取值范围为aW2；

(2))AVJB=B,AQB,

依题意得：1一口>5或1+(1<-1,

解得：a<—4或a<—2,

则当AUB=B时，a的取值范围为a<—2.

解析：(1)由集合4和B,且4与B的交集为空集，得到4为空集或4的解集为-1WXW5,列出关于a的

不等式及不等式组，求出不等式及不等式组的解集，即可得到=0时，a的取值范围；

(2)由4与B的并集为B,得到力为B的子集，根据集合4和B中不等式的解集，列出关于a的不等式，求

出不等式的解集，即可得到满足题意a的范围.

此题考查了交集、并集的运算，以及集合间的包含关系，弄清题意是解本题的关键.

19.答案：解：(1)依题意有：黑>0，

解得：一1<%<1

所以，函数y=1g霍的定义域为(—1,1),

(2)设xe(-l,l),则-xe(-l,l),

有：f(r)=恒三一=a(筌)t=一但芸=一/。)，

故函数为奇函数.

解析：根据函数奇偶性和对数函数的性质即可得到结论.

本题主要考查对数函数的图象和性质，根据函数成立的条件以及函数的奇偶性的定义是解决本题的

关键.

20.答案：解：(1)由题意［切.〃=殳解得租=三,。=一三，yi=-Vx+1-(x>0)

(//c।Cv5nnnn

又由题意8b=，得b=I，y2=［久(久N0)

(2)设销售甲商品投入资金x万元，则乙投入(4-%)万元

由(1)得y=IVx+1-1+|(4-x),(0<x<4)

令V7TT=t,(i<twV5),则有y=—/2+学+：=一如-2)2+i,(i<t<V5),

当t=2即久=3时，y取最大值1.

答：该商场所获利润的最大值为1万元.

解析：(1)根据所给的图象知，两曲线的交点坐标为(8,己,由此列出关于a的方程组，解出小，a的

O

值，即可得到函数为、力的解析式;

(2)对甲种商品投资x(万元)，对乙种商品投资(4-乃(万元)，根据公式可得甲、乙两种商品的总利

润y(万元)关于久的函数表达式；再利用配方法确定函数的对称轴，结合函数的定义域，即可求得总

利润y的最大值.

本题考查了函数模型的构建以及换元法、配方法求函数的最值，体现用数学知识解决实际问题，属

于基础题.

21.答案：解：(1)函数的定义域为(0,+8)

求导函数可得(⑶=12=妥1

-1-1

由/''(X)>0,可得x〉u由/'(>:)<0,可得0<x<£

.,涵数/⑶的单调增区间为弓,+8),单调减区间为(0,》

当x=:时，函数取得极小值为/(》=-alna+a；

(n)已知对任意的%>o,。%(2—仇%)<1恒成立，则

①2-时，aW装工商恒成立

]

令刎=许春

Inx—1

■"9⑺=以2f)]2

当Inx<1时，“(%)<0,当1<Inx<2时