2021年中考真题-定义新运算

2021年中考真题精选1定义新运算

1.（2021•无锡）设尸（x,以），Q（x,歹2）分别是函数Ci,C2图象上的点，当aWxWb

时，总有-1W〃-”W1恒成立，则称函数。，C2在aWxWb上是“逼近函数”，aW

xW6为“逼近区间则下列结论：

①函数y=x-5,y=3x+2在1WXW2上是“逼近函数”；

②函数y=x-5,_y=j?-4x在3WxW4上是"逼近函数"；

③OWxWl是函数尸x2-1,尸2?-x的“逼近区间”；

④2WxW3是函数y=x-5,y=7-4x的“逼近区间”.

其中，正确的有（）

A.②③B.①④C.①③D.②④

2.（2021•雅安）定义：min{a,卜,若函数尸加〃{升1,-?+2^+3},则该

[b（a>b）

函数的最大值为（）

A.0B.2C.3D.4

3.（2021•永州）定义：若1O'=N,则x=logioN,x称为以10为底的N的对数，简记为

IgN,其满足运算法则：lgM+lgN=lg（M・N）（M>0,N>0）.例如：因为l（）2=ioo,

所以2=/gl00,亦即/gl00=2；/g4+/g3=/gl2.根据上述定义和运算法则，计算（蛇）

2+lg2-lg5+lg5的结果为（）

A.5B.2C.1D.0

4.（2021•岳阳）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异

二次函数如图，在正方形O48C中，点/（0,2）,点C（2,0）,则互异二次函数

y=（x-m）2-m与正方形OABC有交点时机的最大值和最小值分别是（）

BW'7…。.呼’7

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5.（2021•贵阳）小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题.现有7条

不同的直线（〃=1,2,3,4,5,6,7）,其中h=依，63=64=65,则他探

究这7条直线的交点个数最多是（）

A.17个B.18个C.19个D.21个

6.（2021•江西）二次函数ynf-Z/nx的图象交x轴于原点。及点4

感知特例

（1）当机=1时，如图1,抛物线ay=--2%上的点8,O,C,A,。分别关于点Z

中心对称的点为8,，。'，C',H，如表：

・・・3(-1,3)O(0,C(1,-1)A(_____,_____)D(3,・・・

0)3)

♦・・夕（5,一。(4,C(3,1)H(2,0)。(1,・・・

3）0)-3)

①补全表格;

②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为，.

图1

形成概念

我们发现形如（1）中的图象〃上的点和抛物线入上的点关于点力中心对称，则称〃是］

的''孔像抛物线”.例如，当〃?=-2时，图2中的抛物线〃是抛物线工的“孔像抛物线”.

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探究问题

（2）①当-1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”，的函数值都随着x的增大而

减小，则x的取值范围为；

②在同一平面直角坐标系中，当机取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函

数-2mx的所有“孔像抛物线”,都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是

（填“yno^+bx+c"或或uy=a^-src,或"y=ad",其中aftc^O）；

③若二次函数y=x2-2〃”及它的“孔像抛物线”与直线_y=机有且只有三个交点，求〃?

的值.

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7.(2021•衡阳)在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为

"雁点”.例如(1,1),(2021,2021)…都是“雁点”.

(1)求函数y=2图象上的“雁点”坐标；

X

(2)若抛物线J，=OX2+5X+C上有且只有一个“雁点”E,该抛物线与x轴交于M、N两点

(点M在点N的左侧).当。＞1时.

①求c的取值范围；

②求NEMN的度数；

(3)如图，抛物线y=-，+2x+3与x轴交于4、B两点、(点Z在点5的左侧)，P是抛

物线y=-/+2x+3上一点，连接8P,以点。为直角顶点，构造等腰Rtz^BPC,是否存

在点P,使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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8.（2021•长沙）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的

两点关于y轴对称，则把该函数称之为“7函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点

叫做一对“T点”.根据该约定，完成下列各题.

-生（x<0）

（1）若点Z（l,r）与点8（s,4）是关于x的“7函数）={x

tx2（x>0,t卉0,t是常数）

的图象上的一对“T点"，则/=,s=，t=（将正确答案填在相应的横

线上）；

（2）关于x的函数y=fcv+p（k,p是常数）是“7函数”吗？如果是，指出它有多少对

“7点”如果不是，请说明理由；

（3）若关于x的"7函数"（a>0,且a,h,c是常数）经过坐标原点。,

且与直线/：y=mx+n（附WO,n>0,且团，"是常数）交于Af（xi，yi）,N（X2，"）两

点，当XI，X2满足（I-XI）"+X2=1时，直线/是否总经过某一定点？若经过某一定点，

求出该定点的坐标；否则，请说明理由.

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9.（2021•张家界）阅读下面的材料：

如果函数》=/（%）满足：对于自变量X取值范围内的任意制，X2，

（1）若都有了（制）〈/（X2），则称/（X）是增函数；

（2）若想VX2,都有/G1）>/（X2）,则称/G）是减函数.

例题：证明函数/（x）=7（x>0）是增函数.

证明：任取X］〈X2，且Xl>0,X2>0.

则/（XI）-f（X2）=X12-X22=（X1+X2）（xi-X2）.

•.”1<12且制>0，X2>0，

.•・Xl+X2>0，XI-X2<0.

（X1+X2）（XI-X2）<0,即/（XI）-f（X2）<0,f（XI）<f（X2）.

・•.函数/G）=?（x>0）是增函数.

根据以上材料解答下列问题：

（1）函数/'（x）=工（x>0）,/（l）=工=1,/（2）=1,/（3）=,

x12

f<4）=;

（2）猜想/（x）=上（x>0）是函数（填“增”或“减”），并证明

X

你的猜想.

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10.（2021•鄂州）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之

和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过

程并解决问题.

猜想发现

由5+5=2、5><5=10;工+2=2」!乂。=2;0.4+0.4=2VO.4X0.4=0.8；工+5>2

33V3335

2

^X5==0,2+3,2>2V0.2X3.2=1,6；晃>2后王§

猜想：如果a>0,b>0,那么存在而（当且仅当a=b时等号成立）.

猜想证明

（Va-Vb）22o,

...①当且仅当〃-F=0,即a=6时，a-2Vab+^—0..,.a+b—2yj-^>；

②为瓜#0,即时，a-2V^b+Z>>0,.>.«+/>>25/^b.

综合上述可得：若a>0,b>0,则0+622席成立（当且仅当时等号成立）.

猜想运用

对于函数了=/工（x>0）,当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？

X

变式探究

对于函数y=」_+x（x>3）,当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？

x-3

拓展应用

疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题.高速公路检测站入口处，检测人员利用

检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，

如图.设每间离房的面积为S（米2）.问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔

离房的面积S最大？最大面积是多少？

墙

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11.（2021•金华）背景：点X在反比例函数（左>0）的图象上，轴于点8,AC

x

轴于点C,分别在射线NC,8。上取点。，E,使得四边形为正方形.如图

1,点/在第一象限内，当ZC=4时，小李测得8=3.

探究：通过改变点力的位置，小李发现点。，Z的横坐标之间存在函数关系.请帮助小

李解决下列问题.

（1）求A的值.

（2）设点小。的横坐标分别为x,z,将z关于x的函数称为“Z函数”.如图2,小李

画出了x>0时“Z函数”的图象.

①求这个“Z函数”的表达式.

②补画x<0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）.

③过点（3,2）作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标.

图2

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12.（2021•遂宁）已知平面直角坐标系中，点尸（xo,加）和直线4+8八C=0（其中4

IAx+By+C|

B不全为0）,则点尸到直线Ax+By+C^Q的距离d可用公式d=一fn---工n一来计

VA2+B2

算.

例如：求点尸（1,2）到直线y=2x+l的距离，因为直线y=2x+l可化为2x->1=0,

|Ax0+By0+C|

其中4=2,8=-1,C=1,所以点尸（1,2）到直线y=2x+l的距离为:4=

_|2X1+(-1)X2+1|=工=逅

722+(-1)2疾5

根据以上材料，解答下列问题：

（1）求点M（0,3）到直线y=Q+9的距离；

（2）在（1）的条件下，的半径厂=4,判断。M与直线y=«x+9的位置关系，若

相交，设其弦长为〃，求〃的值；若不相交，说明理由.

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13.（2021•自贡）函数图象是研究函数的重要工具.探究函数性质时，我们经历了列表、

描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程.请结合已有

的学习经验，画出函数^=-一落的图象，并探究其性质.

2

'X+4

列表如下:

X・・・-4-3-2-101234…

・・・・・・

y24a8,0b-2,24.8.

~513135

（1）直接写出表中4、6的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象;

（2）观察函数y=--涔的图象，判断下列关于该函数性质的命题：

X2+4

①当-2WxW2时，函数图象关于直线y=x对称；

②x=2时，函数有最小值，最小值为-2；

③7＜尤＜1时，函数y的值随x的增大而减小.

其中正确的是.（请写出所有正确命题的番号）

（3）结合图象，请直接写出不等式的解集_______

X2+4

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14.(2021•凉山州)阅读以下材料：

苏格兰数学家纳皮尔(J.心/“，1550-1617年)是对数的创始人.他发明对数是在指数

书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(EWer,1707-1783年)才发现指数与对

数之间的联系.

对数的定义：一般地，若/=N(4>0且“之1),那么x叫做以•为底N的对数，记作x

=log«N,比如指数式24=16可以转化为对数式4=log216,对数式2=log39可以转化为

指数式32=9.

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

log^z(M・N)=logz/M+log^TV(a>0fQWI,M>0fN>0),理由如下：

设logaM=m,Iog〃N=n,则M—am,N=an,

/.M*N=am•an=am+n,由对数的定义得加+〃=lo囱QM，N).

又*/m-^n=logaAZ+logaN,

/.logrz(M，N)=log〃A/+logaN.

根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：

(1)填空：①log232=,②log327=,③log71=;

(2)求证：log6/A=logr/M-log6/jV(>0,aWl,Af>0,N>0)；

(3)拓展运用：计算Iog5125+log56-log530.

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15.(2021•常州)在平面直角坐标系》行中，对于4、A'两点，若在y轴上存在点7，使

得乙474=90°,且0=。'，则称4A'两点互相关联，把其中一个点叫做另一

个点的关联点.已知点“(-2,0)、N(-1,0),点0(孙n)在一次函数尸-2x+\

的图象上.

(1)①如图，在点8(2,0)、C(0,-1)、。(-2,-2)中，点M的关联点是(填

“B”、"C”或“£>”)；

②若在线段上存在点P(1,1)的关联点P',则点P的坐标是；

(2)若在线段儿W上存在点。的关联点。，求实数〃?的取值范围；

(3)分别以点E(4,2)、。为圆心，1为半径作G)E、QQ.若对G)E上的任意一点G,

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，-x（x（O）

16.（2021•益阳）已知函数的图象如图所示，点/（XI，川）在第一象限

x2(x>0)

内的函数图象上.

（1）若点8（X2,”）也在上述函数图象上，满足X2<X].

①当”=yi=4时，求xi，X2的值;

②若卜2|=|刈，设卬=»1-”，求W的最小值;

（2）过4点作y轴的垂线NP,垂足为P,点尸关于x轴的对称点为P',过N点作x轴

的垂线40,垂足为。，。关于直线/P'的对称点为0',直线N0'是否与y轴交于某

定点？若是，求出这个定点的坐标;若不是，请说明理由.

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上x22x+m(x<m)

17.(2021•大连)已知函数y=＜22,记该函数图象为G.

x2-mx-4n(x^m)

(1)当m=2时，

①已知"(4,〃)在该函数图象上，求〃的值；

②当0WxW2时，求函数G的最大值.

(2)当机＞0时，作直线》="|■机与x轴交于点P,与函数G交于点0,若NPOQ=45°

时，求加的值；

(3)当机＜3时，设图象与x轴交于点力，与歹轴交与点8,过点8作交直线

x=加于点C,设点力的横坐标为C点的纵坐标为如若Q=-3C,求用的值.

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18.（2021•南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函

数图象的“等值点例如，点（1,1）是函数y=1x+1的图象的“等值点

22

（1）分别判断函数y=x+2,y=7-x的图象上是否存在“等值