奥数-因式分解-综合4师

第一讲因式分解4：综合及应用

本讲纲要

@§1.1因式分解的基本方法@§1.3对称式的因式分解

i.提取公因式1.对称式

2.主元法2.轮换

3.分组分解3.交代式

4.公式包§1.4因式分解的应用

5.换元

1.计算

6.配方

2.化简

7.十字、待定系数法

3.求值

8.倒数代数式

4.整除

包§1.2因式分解的特殊方法

5.不定方程

1.添项、拆项6.完全平方数

2.因式定理

§1.1因式分解的基本方法

一、考试要点剖析

因式分解是一种重要的恒等变形，虽然它是初中阶段学习的内容，在高中阶段也有着非常广泛的应用，

比如，比较大小、判断函数的单调性、证明不等式、解高次方程、超越方程等，因此，因式分解历来是“中

考”和数学竞赛着重考查的热点问题.

**基本知识

因式分解把一个多项式分解成几个非常数的多项式或单项式的积的形式叫做多项式的因式分

解.多项式的因式分解是在给定的数域上进行的，即要求各因式的系数是给定数域上的数.因此，一个多

项式在某个数域上可能不能分解因式，而在另外的(更广的)数域上也许是可以分解的.一般地，如果没有

特别指定数域，则因式分解通常都是在有理数域上进行的.

既约多项式如果一个多项式在某数域上不能再分解，则称它是此数域上的既约多项式.

因式分解的常用公式：

(1)a2+2ab+b2=(a+6)2,a2-lab+b2=(a-b)2

(2)a2-b2=(a+6)(a-b)

(3)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2

(4)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2),a3-b3=(a-h)(a2+ab+b2)

(5)a3+3alb+3ah2+b3=(a+b)3

(6)a3+>+(?-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-be-ca)

(7)a"-b"=(a-b)(a"T-aT3b2-…-而""+6"T)(n为正整数)

(8)优+6"=(a+6)(a"T+…b+an~3/+…+而"、+bn'')(儿为正奇数)

**基本方法

初中教材中介绍了提取公因式法、逆用乘法公式法、配方法、分组分解法、十字相乘法、求根法，这

些都是非常重要的基本方法，要牢固地掌握和灵活地运用.此外，在数学竞赛中，还要掌握和运用如下一

些方法：

(1)换元法将待分解的多项式中某些特殊的部分看作一个整体，用一个新的字母表示，使原来复杂的

结构简化.

(2)双十字相乘法对于二元二次多项式的分解，可先用“十字相乘法”将二次项进行分解，然后将局

部分解的因式看作一个整体(字母)，连同后面的一次项和常数项再采用十字相乘法进行分解.

(3)待定系数法将待分解的多项式表示成若干个含有待定系数的多项式的积的形式，得到一个恒等

式.然后根据多项式恒等的性质，比较对应项的系数，或令变元取一些特殊值，得到关于待定系数的方程

组，解方程组求出待定系数，进而得到多项式的分解.这种方法叫做待定系数法.

(4)主元法对于多元多项式的分解，我们可选择其中一个字母当作变量，而将其他字母看成常数，其

中当做变量的字母称为“主元”.这样，多项式就变成了关于“主元”的一元多项式，这种选择主元进行

多项式分解的方法叫做主元法.

**基本问题

一元二次多项式的因式分解，常用的方法有：十字相乘法、配方法、求根法等；

一元高次多项式的因式分解，常用的方法有：配方法、逆用乘法公式法、换元法、分组分解法等；

二元二次多项式的因式分解，常用的方法有：主元法、分组分解法、双十字相乘法、待定系数法等.

多元(通常是二元、三元)高次多项式的因式分解，常用的方法有：配方法、逆用乘法公式法、换元法、

分组分解法等.

1.提取公因式

例1.(★93芜湖)分解因式：-2(%-y)3+12(y-4)2-184+18y.

【解】•二一2(%-+12(y-%)2-18%+18y

——2(x—y)3+12(x—y)2—18(%—y)

=-2(x-y)[(x-y)2-6(x-y)+9]

=-2(«-y)[(x-y)2-2*(x-y),3+32]

=-2(%-y)(x-y-3)2.

2.主元法

例2.1996年扬州市初中数学竞赛题)分解因式：(1+-2/2(1+7/+/(1_y)2.

【解】：以y为主元降幕排列，则

原式=(--2«2+1)y2-2(x4-1)y+(x4-2x2+1)

=(*+l)(x-l)(Q+y-4+l)(盯-y-4-1).

3.分组分解

例3.(★★1995年昆明市初中数学竞赛题)将/+J+工6+工5+比4+/3+/+4+1因式分解.

【解】：原式=(痴+X7+X6)+(X5+X4+X3)+(X2+X+I)=(X2+X+1)(/+/+1).

4.公式(屋—夕)

例4.(★★★希望杯培训题)设n为正整数，分解因式:

(1+X+X2+-+x11'1+xn-2)2-x".

【解

(1+X+X2+-：+x"-'+Xy-X

~/i-x'+,vx-ci-x)2

=(~r^r)-x=(-rrr)-7T37F

1-2—+/+2-炉+2人-/2

二(Kip

二(T^P

=CT^P

1T1-…

=

\-X\-x

3_=(1+X+x2+•••+xn-,)(l+z+X2+•••+x•*1).

5.换兀

例5.(★★希望杯培训题)分解因式：(号-1)2+(工+7-2)(«+,-2个).

【解】：对于本题，代数式x+y,xy都在多项式中出现两次，

令A="+y,3=xy,贝(J

原式=(8-+(4-2)(4-23)

=(B-l)2+A1-2A-2AB+4B

=(B+I)2-2A(B+1)+A2

=(B+1-A)2

=(xy+I-x-y)2

=(x-l)2(y-l)2.

例6.(★★中考模拟题)分解因式：(产+%+1)(/+X+3)-15;

令1=(/+X+1)产士红③=X2+x+2,则

(#+*+1)(£+*+3)-15

=(K+D-15=，-1-15

二”—16=(t+4)(4-4)

=(%2+%+2+4)(/+%+2-4)

=(%?+#+6)(*2+欠-2)

二(42+x+6)(x+2)(%-l).

6.配方

例7.(★★97山东)分解因式：%-140%+4756.

【解】：(%-58)(%-82).

7.十字、待定系数法

例8.(★★希望杯培训题)分解因式：6%2-7xy-3y2+13x+8y-5

【解】：解法1单十字

=6,+(13-7,)%-3y2+8,-5

=6#+(13-7y)x+(y-l)(5-3,)

=(34+y-1)(2%-3y+5).

解法2双十字

=(3x+y)(2x-3y)+13%+8y-5

=(3x+y-1)(2%-3y+5),

解法3待定系数法

=(3x+y+m)(2x-3y+n)

=6x2-7xy-3/+(2m+3n)x+(n-3m)y+TWI

2m+3n=13,

则,n-3/n=8,

mn=-5,

8.倒数代数式

例9.(★★★全国通讯赛)分解因式：%4+7/+14/+7^+1

【解】：x4+7x3+14%2+7x+1

71、

=%2(x2+7x+14+—+F)

%X

=/[(%+!)2+7(%+9)+12]

=x2(x+—+3)(%+—+4)

Xx

=(%2+3%+l)(x2+4x+1).

§1.2因式分解的特殊方法

@考试要点剖析

**基本知识

因式分解的常用定理：

因式定理如果一个关于X的多项式在x=a时的值为零，则这个多项式必定含有因式x-a.

n1m

恒等定理1设4=a„x+a,",x''+•••+%*+a0,B=bmx+bm，tx""'++6)x+b0都是

关于x的多项式，则4与B怛等，当且仅当m=n,an=b„，=bn.l,,,,,a1=bt,a0=b0.

恒等定理2设4、8都是关于m的"次多项式，如果它们在多于几个点处的值都相等,那么这

两个多项式恒等.

有理根判定定理设4=%—+a“_i/-'+…+5x+的是关于x的整系数的多项式，p、g是

整数且p、q互质.如果多项式4含有有理根玫，则p是%的因子，且g是a。的因子.此时，多项式含

有因式(中-g).特别地，对于首一(首项系数为1)的多项式，其有理根都是整数根.

**基本方法

前边我们熟悉了因式分解的常用方法，此外，在数学竞赛中，还要掌握和运用如下一些方法：

(1)拆添项法将一个项分成两个或多个项，或者同时加上或减去一个相同的项，再适当分组进行分解.

(2)长除法(或综合除法)通过观察、试验，发现多项式含有某种因式，然后采用多项式除法求出另一

个因式.如果先发现的因式是一次式，其多项式的除法可分离出系数来进行，这种除法叫综合除法.以一

2

元二次多项式a2x+arx+ao除以x-a为例：

长除法：

的%+(%+也2)

x-a)a2x+a|X+a0

a1必_QQ.%___________

(fli+aa2)x+a0

'(aY4-aa2)x-a{ax4-aoz)

a0+a(ai+aa2)

2

即a2x+atx+a0='(a2x+a,+aa2)(x-a)+a0+a(at+aa2).

综合除法

a。

aa2a(%+aa2)

a?

+aa2OQ+a(ai+aa2)

当综合除法掌握得很熟练时，运用起来就比长除法简便得多，但长除法的适应范围更广，因为它可以

进行任何两个多项式相除.

(3)试根法根据多项式有理根判定定理，确定多项式的有理根的所有可能形式，逐一检验，发现其有

理根，进而确定多项式含有的因式，最后用长除法或综合除法确定它的其他因式.

1.添项、拆项

例10.(★★★希望杯培训题)分解因式：X-48%-7.

【解】：原式=d+(一7x2+lx2)—48%-7

=x2(%-7)+(7x-l)(x-7)

=(x-7)(x2+7X+1).

2.因式定理

例11.(★★★希望杯培训题)分解因式：x3+?-X-10

【解】：原式=(x3-2?)+(3x2-6x)+(5x-10)

=x2(x-2)+3x(x-2)+5(x-2)

=(x-2)(x2+3x+5).

§1.3对称式的因式分解

⑧考试要点剖析

**基本知识

对称多项式设A是一个多项式，如果将A中两个字母互换，得到的多项式与A恒等，则称A关于这两

个字母对称.如果多项式A关于它所含的任意两个字母都是对称的，则称A是全对称多项式，简称对称

多项式.比如，

222222

/+y+z+xy.x+y+z+xy+yz+zx都是关于x>y对称的多项式，而只有后者才是全

对称多项式.对称多项式的一般形式为(以三次对称多项式为例)：

4(x3+y3+z3)+y+yz+Z2x)+C^xy2+yz+zx2)+Dxyz+E(x2+y2+z2)+F(xy+

yz+zx)+G(x+y+z)+H.

基本对称多项式考察含有三个字母x、y、z的多项式，则x+y+z,xy+yz+zx,xyz称为基本对

称多项式.对于含有n个字母的多项式，其，n个字母的和、n个字母中每取r(r=2,3,……,n)作积的和，

称为n元基本对称多项式.

齐次多项式如果多项式所有项的次数都相等，则称为齐次多项式.比如，基本对称多项式都是齐次

对称多项式.

字母的个数和次数都不超过三的齐次对称多项式具有如下形式：

二元一次齐次对称多项式4(x+y);

二元二次齐次对称多项式A(x2+y2)+firy;

二元三次齐次对称多项式4(x3+y3)+Bxy{x+y);

三元一次齐次对称多项式A(x+y+z);

三元二次齐次对称多项式4(I+y2+z?)+B(zy+yz+ZK);

三元三次齐次对称多项式4(x3+y3+z3)+B[(x2(y+z)+y2(z+x)+z2(x+y)]+Cxyz.

其中4、B、C都是与工、y、z无关的常数.

轮换对称多项式设4是一个关于n个字母的多项式,如果将4中n个字母任意排列为航，

x2,—,x.，同时将换成爸+i(i=1,2,…，“；%+[=%),得到的多项式与A恒等，则称S是轮换对称

多项式.显然，对称多项式一定是轮换对称多项式,但反之则不然.比如，(x-+(y-z)/+

(Z-X”2是轮换对称多项式,但不是对称多项式.

交代对称多项式设A是一个多项式，如果将A中两个字母互换，得到的多项式与-4恒等，则

称4是关于这两个字母的交代对称多项式.如果多项式A关于它所含的任意两个字母都是交代对

称的，则称A是交代对称多项式，简称交代多项式.比如,-yW+(y-[)//+(z-

x)?x2都是交代多项式.

上述一些特殊多项式具有如下一些性质：

(1)任何一个对称多项式均可表示成若干基本对称多项式的和.

(2)任何两个对称多项式的和、差、积仍是对称多项式，任何两个轮换对称多项式的和、差、积仍是

轮换对称多项式，任何两个齐次多项式的和、差、积仍是齐次多项式.

(3)两个交代多项式的积是对称多项式，一个交代多项式与对称多项式的积是交代多项式.

**基本方法

赋值法先选择一个字母为主元，将多项式看成是一元多项式，再试验字母(主元)的某些取值使多项式

的值为零，由此发现多项式含有的因式.

待定系数法先根据多项式的特征，发现它含有的某些因式，再根据多项式的次数及多项式的对称性确

定它的其他因式，进而将多项式表示成若干多项式的积(含有待定系数)的形式，最后通过比较系数或赋值

确定待定系数.

**基本问题

对称多项式的因式分解通常采用赋值法，先通过试验，发现对称多项式含有的某些因式，然后将因式

中某两个字母互换，得到的式子仍是原多项式的因式.止匕外，对称多项式也可先将其用基本对称多项式表

示，然后再分解.

轮换对称多项式的因式分解如果一个轮换对称多项式含有某种因式，那么，将这个因式中的所有字母

按一定顺序轮换(第一个字母换成第二个字母，第二个字母换成第三个字母，…，最后一个字母换成第一

个字母)，得到的式子仍是原多项式的因式.

交代多项式的因式分解任何交代多项式一定被它含有的任何两个字母的差整除.

1.对称式

例12.(★★★江苏初中数学竞赛)分解因式：(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc.

【解】：设(ab+be+ca)(ab+c)-abc=A(a+6)(6+c)(c+a)

令a=O,b=l,c=l,得

1-2-0=A-l-2-1,

所以A=l.

故(ab+be+ca)(a+6+c)-abc=(a+6)(b+.c)(c+a)

2.轮换

例13.(★★★四川初中数学竞赛)分解因式：X3+/+Z3-3^Z

【解】:

设J+,2+z?-3年=[A(，+夕？+d)+B(町+产+。)](4+y+z),

令④=y=O,Z=l,得A=1.

令%=O,y=z=l,得24+B=1,

所以B=-1.

故x3+y3+z3-3xyz

=[(x2+y2+z2)-(xy+yz+zx)](x+y+z)

=(%2+y2+z2-xy-yz-z%)(x+y+z).

3.交代式

例14.(★★★南昌初中数学竞赛)分解因式：a2(6-c)+62(c-a)+c2(a-6)

【解】：

设a2(6-c)+62(c-a)+c2(a-6)=A(a—b)(b-c)(c-a)

令a=0,6=l,c=-1，

得0+(-1)+(-1)=4(-1)・2・(-1),

所以A=-1.

故a2(b-c)+b2(c-Q)+c2(a-b)

=-(a-6)(b-c)(c-a)

=(a-6)(6-c)(a-c).

§1.4因式分解的应用

⑧考试要点剖析

因式分解的应用是非常广泛的，它主要有以下几个方面：

求值问题对于多项式的求值，如果知道某个整体的值，则可在多项式中分离出整体(因式)，然后将

整体的值代入；对于分式的求值问题，可将分子分母分别分解，然后约去相同的因式，使分式化简，然后

再求值.

证明条件等式在给定约束条件下，证明某等式恒成立，常可对条件等式中的多项式进行因式分解，

使条件得到简化，进而推出有关结论.

整除问题要证明某个数(式子)整除一个多项式，可将数(式子)和多项式分别分解，然后证明多项式

的每一个因式被一个对应的数(式子)整除.

质数与合数问题要证明一个多项式的值是合数，只须将多项式分解因式，然后证明每一个因式的值

都是大于1的整数.'

不定方程问题将方程中含有的多项式因式分解，然后判别各因式取值的奇偶性，使问题获解.

完全平方数问题要证明一个多项式的值是完全平方数，可将多项式因式分解，然后证明多项式的每

一个因式的值都是完全平方数.

1.计算

(1两-2005)(19992+3995)x2004

例15.(★★★长沙初中数学竞赛)计算1996x]998x2001x2002

(19902-2005)(19992+3995)x2004

[解]1996x1998x2001x2002

,(19992-1999-6)(19992+2x1999-3)x2004

二1996X]998x200]x2002

(1999-3)(1999+2)(1999+3)(1999-1)x2004

=1996.1998x2001x2002

1996x1998x2001x2002x20043nm

=~1996x1998x2001x2002""='

2.化简

1

例16.(★★★江苏省初中数学竞赛)化简T)G-导为G+上同

解(7-7)(7-i+7)(7+i+7)

=(T-7)d+7)(7-i+7)(7+i+7)

=(7+7)(7-7)

11y6-犷

=7-7=X6/-

3.求值

例(★★吉林初中数学竞赛)设是实数，且求15而+川的值.

17.a,ba+b=5,t?+

【解】：a3+15ab+b3

=a3+b3+3*5*ab

=a+b3+3*(a+b)•ab

甑必=(a+bp=5,=125.

整除

例18.(★★★基辅数学竞赛)设n是正整数，证明：n(n2-l)(d-5"+26股120整除.

【解】：

证明n(n2-1)(n2-5n+26)

=n(n2-1)[(ri2—5n+6)+20]

=n(n-l)(n+l)(n-2)(n-3)+20n(n-1)(n+1),

因为-D(n+1)"-2)(〃-3)是5个连续正整数的积，其中至少有2个连续偶数,这两个

偶数中必有一个是4的倍数，所以这两个偶数是8的倍数，所以n(n-1)(n+1)(n-2)(n-3)是8

的倍数.又显然n(n-l)(n+l)(n-2)(n-3)是3和5的倍数，所以n(n-1)(n+1)(n-2)(n-3)

是8・3・5=120的倍数.

另外,2O“(n-l)(n+l)显然是5和4的倍数，而n(吁l)(n+1)显然是2和3的倍数，所以

20n(n-l)(n+1)>5-4-2-3=120的倍数.

综上所述,Mr?-1)(d_5〃+26)被120整除.

4.不定方程

例(★★★天津初中数学竞赛)证明：方程？无整数解.

19.-/=20G2

【解】：

证明方程变为(x+y)(x-y)=2002.

因为x+y^x-y同为奇数或同为偶数，当x+y^x-y同为奇数时,("+y)(z-y)为奇数，但

2002为偶数，矛盾，当x+y、工-y同为偶数时,G+y)(H-,)为4的倍数，但2002不是4的倍数，矛

盾.

综上所述，方程x2-/=2002无整数解.

5.完全平方数

例20.(★★★武汉初中数学竞赛)设a、n都是正整数，且al2n2,证明：d十不是完全平方数.

证明因为al2n2,所以存在正整数A,使21=机.【解】：

假设“2+Q是完全平方数，则k2(n2+a)也是完全平方数.

但A2(n2+a)=k2n+k1a=k2+k'ka=k2n1+k,2n=n2(A:2+2k),

2

所以k+2k是完全平方数.

这是不可能的，因为(k+l)1>k2+2k>k2.

综卜所述.储+a不是完全平方数.

三、练习题

1.（★★分组）分解因式：（a+l）（b+l）（而+1）+M

【解】：

原式=[(a6+l)+(a+6)](a6+l)+ab

=(afc+l)2+(a+b)(ab+1)+ab

二(ab+1+a)(ab+1+b).

2.(★★换元)分解因式：(工+1)(g+3)(*+5)(/+7)+15

【解】：

令t=(*+D±-(.纥+3)；(*豆+&包="+2,得(工+1)(，+3)(工+5)(工+7)+15=(公+

x+5)(x+2)(x-1).

3.(★★★十字)分解因式：6x2-5xy-6/-2xz-23yz-20?

【解】：

原式=(3/+2,)(2%-3夕)-2%z-23jz-20/=(3%+2y+5z)(2x-3y-4z).

4.(★★★待定系数法)分解因式：4m2+4mn+n+6m+3n+2

【解】：

因为47n2+4nin+n2=(2m+n)2，所以可设4m2+4/nn+n2+6m+3n+2=(2m+n+a),

(2m+n+b)=4m2+4mn+n24-(2a+26)m+(a+6)n+而.比较上式两边的对应项系数，得a=

1,6=2或。=2,6=1,所以4m.2+4mn+n2+67n+3几+2=(2m.4-n+1)(2m+n+2).

5.(★★★主元)分解因式：(a+6)/-(a?+而++02从

【解】:

222222232

以b为主元，则原式=(M?+从3-Q2c2_^2-.5c+a6=6(a-c)+6(c-ac)+

(ac3-a2c2)=62(a-c)(a+c)+te2(c-a)+ac2(c-a)+ac2(c-a)=(c-a)(-i2a-62c+fc2+

函2)=(c-a)[a(-b2+c2)+be(-b+c)]=(c-a)(c—6)(ar+ab+be),

6.(★★添项、拆项)分解因式：x3+6x2+llx+6

【解】:将11*分拆为9%+2%,则原式=(工+1)("2)(4+3)

7.(★★★添项、拆项)分解因式：a2(ft-c)+ft2(c-a)+c2(a-6)

【解】：

原式=a2[(6-a)+(a-c)]+b2(c-a)+c2(a—6)

=a2(6—a)+a2(a—c)+62(c—a)+c2(a—b)

=(a-6)(c2-a2)+(c-a)(62-a2)

=(a-6)(c-a)(c+a)-(c-a)(a—5)(a+b)

二(a-6)(c-a)(c—6)=-(a-6)(6-c)(c-a)

8.(★★★一题多解)分解因式：x3+2x2-5%-6(至少5种方法)

【解】：

解法1原式=(/+/)+(/+*)-(6*+6)

=%2(%+1)+%(%+1)-6(%+1)

=(*+1)(，+4—6)

=(%+l)(%-2)(x+3).

解法2原式=(一一2/)+(4%2-8%)+(3%-6)

=x2(%-2)+4%(x-2)+3(x-2)

=(%-2)(x2+4%+3)

二(«+1)(%-2)(%+3).

解法3原式=(x3+3-)-(x2+3x)-(2x+6)

=%2(%+3)-%(%+3)-2(x+3)

=(x+3)(%2-x-2)

工(%+1)(%一2)(%+3).

解法4原式=(x3+4-+3x)-(2%2+8x+6)

=x(x2+4%+3)-2(x2+4%+3)

=(x2+4x+3)(x-2)

=(x+l)(x-2)(x+3).

解法5原式二(d+%?_6%)+(J+3%-6)

=x(x2+%-6)+(%2+3x-6)

=(x2+3x-6)(x+l)=(x+l)(x-2)(x+3)

解法6原式=(%3-x2-2x)+(3d-3x-6)

2

=-x-2)+3(x-A;-2)

=(x2---2)(.+3)=(x+1)(--2)(%+3)

9.(★★★对称)分解因式：(a+B+c)5-Q5-俨一,5

【解】：

当a=-b时,(a+6+c)5-a'-6,-c，=0,所以(a+b+c)，-d-*-「含有因式(a+

5

b),又(a+b+c)-，-/-c'是对称多项式,所以它还含有因式(6+。、频+。).再注意到(<1+6+

c)3-a5-b5-c5是齐次多项式，从而它的另外的因式应是二次齐次对称多项式，故可设(a+b+

c)5—a5—bs-c5=(a+6)(6+c)(c+a)[A(a2+b2+c2)+B(ab+be+ca)].令a=1,6=1,c=0,

得24+8=15.令a=0,6=1,c=2,得54+25=35,解得4=5,3=5.所以(a+6+c)s-a5-b5-

c5=5(a+6)(6+c)(c+a)(a2+b2+c2+ab+be+ca).

10.(★★★轮换)分解因式：a2(6+c)+62(c+a)+c2(a+i)-a3-63-c3-2abc

【解】：

当a=6+c时，o2(6+c)+b2(c+Q)+c2(Q+6)-Q3-63-c3-2abc=0,所以a2(6+c)+

62(c+a)+c2(a+6)-a^-63-c3-2abe6+c-a,Xa2(6+c)+62(c+a)+c2(a+6)-

a3-b3-c3-2abc是对称多项式，所以它还含有因式(a+6-c)、(c+吁6).

再注意到a2(6+c)+62(c+a)+c2(a+6)—a3-63-c3-2abc是三次多项式，可设a2(6+c)+

62(c+a)+c2(a+6)-a3-63—e3-2abc=A(Q+6-c)(6+c—a)(c+a-6),令a=b=c=l,得

k=1.

所以a2(6+c)+62(C+a)+c2(a+6)-a3-63-c3-2abc=(a+6-c)(b+c-a)(c+a-b)

11.(★★★交代)分解因式：-b2)+bc(b2-c2)+ca(c2-a2)

【解】：

因为abCa1-b2)+bc(b2-c2)+ca(c2-a?)是交代多项式，所以它含有因式(a-b)(b-

c)(c-a).又ab(a2-62)+5c(62-c2)+ca(c2-a?)是四次多项式，而(2・b)(b-c)(c-o)是二

次多项式，所以而(02-62)+庆(62-02)+8(02-。2)是(0-6)(6-。)(。-0)与一个一次多项式

的积.

再注意到而(a?-62)+bc(62—c2)+ca(c2-a?)、(°一6)(6一c)(c-Q)都是齐次交代式，所以

“一次因式”是关于a、b、c的齐次对称多项式：A(a+6+c).

于是，设a6(a2—62)+bc(b?—c2)+ca(c2—a2)=A(a+6+c)(a—6)(6—c)(c-a),令a=

0,6=l,c=2,得O+2・(-3)+0=Q。-1)(-1)2所以A=-1.故点(b-c)+♦(c-a)+<?(Q-

6)=-(a+6+c)(a-6)(6-c)(c-a)=(a+6+c)(a-6)(6-c)(a-c).

19953-2x19952-1993

12.1995年北京市初二数学竞赛题）计算:19953+19952-1996

【解臬令1995=Q，则1993=。-2,1996二a+1.

m.|盾#/一？。？—a+2(a，—a)-(2/—2)(a—l)(a+l)(a—2)_a—2_1993

知原九=Q3+Q2_Q-I=Q2(Q+I)_(Q+D=(a-l)(a+l)(a+l)=TH=1996

13.(★★★第二届全国部分省市通讯赛试题主元)计算：

卜-标+春）

（H+KH+HUM?

【解】：分子、分母同乘以4,得

面#—axi,+DSx^+Dax/+D-Gxiy+i)田为4"〜

原H-(4x24+l)(4x4,+1)(4X6+l)-(4x204+1),内方

1=(2a2+I)2-4a2=(2a2-2a+1)(2a2+2a+1)=[(a-1)2+a2][a2+(a+1),],所以原式=

[(l2+22)(22+32)]-[(32+42)(42+52)]-[(192+202)(202+212)]=^+2p=84i,

14.(★★★)化简(*+y+zT-(y+z-%尸-(z+4-,)3-(%+y-zT

【解】：

当务=0时，(%+y+z)3~(y+z-x)3-(z+x-y)3一(力+¥一2)3=0,所以(/+,+2)3—(夕+

z-x)3-(z+x-y)3-(x+y-z)3含有因式”.又(%+y+z)3-(y+z-欠下-(z+%-y)3一(%+

y-z>是对称多项式，所以它还含有因式“再注意到它是三次多项式，所以可设(%”+z>-

z-«)3-(z+x-y)3-(x+y-z)3=kcyz,令x=y=1,z=-1,得A=24,所以(x+y+z)3-(y+

z-x)3-(z+x-y)3-(%+y-z)3=24吵.

15.(★★)已知1+/+#+/+/=0,化简1+*+/2+X3+*4+…+,19»

【解】：

值才

原式=(/11+.«+.式2+,x3+,x4)\+,/(X5+,x6.+x7+.x8+.49\),+・•♦,+/(%1995+,X19%+.X1997+.X19«+.

产)

=(1+X+X2+X3+X4)(1+X5+X10+,,,+X1995)=0.

16.(★★)设a、b、c是实数，且a+b+c=0,abc=6,求+配+/的值.当x>0,y>0时,

比较45+y5与14X^y+盯4的大小.

【解】：

a34-63+c3-3abe=(a+i+c)(a2+62+c2-a5-6c-CQ)=0,所以ab3+c3-3abc=0,

所以a3+Z>3+c3=3abc-18.

17.(★★★几何)已知一个直角三角形的三边都是整数，且一条直角边是17,求它的周长.

【解】：

因为(/+/)-(『,+xy4)=(x5-«*y)+(y5-xy*)=x*(x-y)-y4(x-y)=(x~y)(x4-

y4)=(x-y)2(x2+y2)(x+y).

而已知x>0叫>0,所以(/+ys)-(x4y+xy4)=(x-y)2(x3+y2)(x+,)云0,所以x5+y5>

X4y+xy4.

18.(★★几何)在AABC中三边a、b、c满足a3+b3+c3-3abc=0,试判定三角形的形状.

【解】：

设直角三角形的斜边为叫另一条直角边为y,根据勾股定理，得j=172+?,?-/=172,

即(彳+y)(~y)=172,注意到(工+7)、("-y)都是正整数,=17x17=172x1,所以*+y=172,z-

y=1,解得工=145,y=144,所以直角三角形的周长为145+144+17=306.

19.证明：两个连续奇数的平方差能被8整除.

【解】：

因为(2兀+1)2-(2M-1)2=(2几+1+2n-1)(2"+1-2n+1)=4个2=8”,所以这两个连续

奇数的平方差能被8整除.

20.(★★★)解方程组：

'xy+x+y=1,

yz+y+z=5,

zx+z+x-2.

【解】：

①变形为(工+l)(y+l)=2,②变形为(y+D(z+l)=6,③变形为(z+l)(*+l)=3,将三式

相乘得G+l)(y+l)(z+l)=±6,再分别与上述三式相除得原方程组的解为：

'x=0,r%=-2,

y=1,'y=-3,

,z=2,、z=-4.

28.方程两边加1,得(x+D(y+l)(z+l)=爱T3T9,所以

x+1=8,

y+1=13,

z+1=19.

解得(*y,z)=(7,12,18)，(7,18,12),(12,7,18),(12,18,7),(18,7,12),(18,12,7)共6组解.

补充题

1.(★★★)分解因式：?-6x2+llx-6(一题多解)

【解'原式=，+(---5公)+11"-6

=X2(X-1)+(6-5X)(X-1)

=(x-l)(x-2)(x-3).

2.(★★★)分解因式：设多项式抽？+6x2-47X-15含有因式3x+l和2x-3,试将此多项式因式

分解.

【解】:

依题意，*=—4时，/+以-47，-15的值都为零，

ab47n

所以-27+T+T-l5=0>

平+当_粤_15=0,

3qz

解得a=24,6=2,

所以ax3+bx2-47%-15=24%+2x2-47x-15.

作综合除法：

242-47-151

-8215

24-6-4503

T

3645

24300

所以ax3+bx2-47X-15

=24x3+2%2—47%-15

1Q

二(4+丁)(4--2)(2AX+30)

=(3x+1)(2%-3)(4%+5).

3.(★★★★)证明：已知多项式炉-54+4r含有因式(x-c)2,证明：q5=r

【解】：

证明设/-54+4r

=(x-c)2*(x3+