高三数学二轮复习 第1部分 专题4 突破点10 空间几何体表面积或体积的求解 理-人教高三数学试题

专题四立体几何建知识网络明内在联系高考点拨]立体几何专题是高考中当仁不让的热点之一，常以“两小一大”呈现，小题主要考查三视图与空间几何体的体积(特别是与球有关的体积)和空间位置关系及空间角，一大题常考空间位置关系的证明与空间角、距离的探求．本专题主要从“空间几何体表面积或体积的求解”“空间中的平行与垂直关系”“立体几何中的向量方法”三大角度进行典例剖析，引领考生明确考情并提升解题技能．

突破点10空间几何体表面积或体积的求解提炼1求解几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算．(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解．(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用.提炼2球与几何体的外接与内切(1)正四面体与球：设正四面体的棱长为a，由正四面体本身的对称性，可知其内切球和外接球的球心相同，则内切球的半径r＝eq\f(\r(6),12)a，外接球的半径R＝eq\f(\r(6),4)a.图10­1(2)正方体与球：设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，O为其对称中心，E，F，H，G分别为AD，BC，B1C1，A1D1的中点，J为HF的中点，如图10­1所示．①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，故其内切球的半径为OJ＝eq\f(a,2)；②正方体的棱切球：截面图为正方形EFHG的外接圆，故其棱切球的半径为OG＝eq\f(\r(2)a,2)；③正方体的外接球：截面图为矩形ACC1A1的外接圆，故其外接球的半径为OA1＝eq\f(\r(3)a,2).回访1几何体的表面积或体积1.(2016·全国甲卷)如图10­2是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()图10­2A．20π B．24πC．28π D．32πC由三视图可知圆柱的底面直径为4，母线长(高)为4，所以圆柱的侧面积为2π×2×4＝16π，底面积为π·22＝4π；圆锥的底面直径为4，高为2eq\r(3)，所以圆锥的母线长为eq\r(2\r(3)2＋22)＝4，所以圆锥的侧面积为π×2×4＝8π.所以该几何体的表面积为S＝16π＋4π＋8π＝28π.]2．(2015·全国甲卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图10­3，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()图10­3A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,7)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,5)D由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6)，剩余部分的体积V2＝13－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,6),\f(5,6))＝eq\f(1,5)，故选D.]3．(2014·全国卷Ⅱ)如图10­4，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()图10­4A.eq\f(17,27) B.eq\f(5,9)C.eq\f(10,27) D.eq\f(1,3)C由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体．其中左面圆柱的高为4cm，底面半径为2cm，右面圆柱的高为2cm，底面半径为3cm，则组合体的体积V1＝π×22×4＋π×32×2＝16π＋18π＝34π(cm3)，原毛坯体积V2＝π×32×6＝54π(cm3)，则所求比值为eq\f(54π－34π,54π)＝eq\f(10,27).]回访2球与几何体的外接与内切4．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O­ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．36π B．64πC．144π D．256πC如图，设球的半径为R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝eq\f(1,2)R2.∵VO­ABC＝VC­AOB，而△AOB面积为定值，∴当点C到平面AOB的距离最大时，VO­ABC最大，∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VO­ABC最大为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2×R＝36，∴R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.故选C.]5．(2013·全国卷Ⅰ)如图10­5，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()图10­5A.eq\f(500π,3)cm3 B．eq\f(866π,3)cm3C.eq\f(1372π,3)cm3 D.eq\f(2048π,3)cm3A如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×8＝4(cm)．设球的半径为Rcm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，∴V球＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500,3)π(cm3)．]6．(2012·全国卷)已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A.eq\f(\r(2),6) B．eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(2),2)A由于三棱锥S­ABC与三棱锥O­ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S­ABC的高是三棱锥O­ABC高的2倍，所以三棱锥S­ABC的体积也是三棱锥O­ABC体积的2倍．在三棱锥O­ABC中，其棱长都是1，如图所示，S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×AB2＝eq\f(\r(3),4)，高OD＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),3)，∴VS­ABC＝2VO­ABC＝2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(2),6).]热点题型1几何体的表面积或体积题型分析：解决此类题目，准确转化是前提，套用公式是关键，求解时先根据条件确定几何体的形状，再套用公式求解.(1)(2016·全国乙卷)如图10­6，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是eq\f(28π,3)，则它的表面积是()图10­6A．17π B．18πC．20π D．28π(2)(2016·全国丙卷)如图10­7，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()图10­7A．18＋36eq\r(5) B．54＋18eq\r(5)C．90 D．81(1)A(2)B(1)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的eq\f(1,4)，得到的几何体如图．设球的半径为R，则eq\f(4,3)πR3－eq\f(1,8)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(28,3)π，解得R＝2.因此它的表面积为eq\f(7,8)×4πR2＋eq\f(3,4)πR2＝17π.故选A.(2)由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×3eq\r(5))×2＝54＋18eq\r(5).故选B.]1．求解几何体的表面积及体积的技巧(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．2．根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤(1)根据给出的三视图判断该几何体的形状．(2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量．(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解．变式训练1](1)(2016·平顶山二模)某几何体的三视图如图10­8所示，则该几何体的体积为()A.eq\f(13,3)＋eq\f(π,3) B．5＋eq\f(π,2)C．5＋eq\f(π,3) D.eq\f(13,3)＋eq\f(π,2)图10­8(2)某几何体的三视图(单位：cm)如图10­9所示，则此几何体的表面积是()图10­9A．90cm2 B．129cm2C．132cm2 D．138cm2图10­10(3)(名师押题)如图10­10，从棱长为6cm的正方体铁皮箱ABCD­A1B1C1D1中分离出来由三个正方形面板组成的几何图形．如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛的水的体积为________cm3.(1)D(2)D(3)36(1)由三视图知该几何体是由一个长方体，一个三棱锥和一个eq\f(1,4)圆柱组成，故该几何体的体积为V＝2×1×2＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×2＋eq\f(1,4)×π×12×2＝eq\f(13,3)＋eq\f(π,2).(2)该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为6cm,4cm,3cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3cm,4cm,5cm，所以表面积S＝2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×3＋4×3＋2×\f(1,2)×4×3))＝99＋39＝138(cm2)．(3)最多能盛多少水，实际上是求三棱锥C1­CD1B1的体积．又V三棱锥C1­CD1B1＝V三棱锥C­B1C1D1＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×6×6))×6＝36(cm3)，所以用图示中这样一个装置来盛水，最多能盛36cm3体积的水．]热点题型2球与几何体的切、接问题题型分析：与球有关的表面积或体积求解，其核心本质是半径的求解，这也是此类问题求解的主线，考生要时刻谨记.先根据几何体的三视图确定其结构特征与数量特征，然后确定其外接球的球心，进而确定球的半径，最后代入公式求值即可；也可利用球的性质——球面上任意一点对直径所张的角为直角，然后根据几何体的结构特征构造射影定理求解.(1)(2016·南昌二模)一个几何体的三视图如图10­11所示，其中正视图是正三角形，则该几何体的外接球的表面积为()图10­11A.eq\f(8π,3) B.eq\f(16π,3)C.eq\f(48π,3) D.eq\f(64π,3)(2)(2016·全国丙卷)在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A．4π B．eq\f(9π,2)C．6π D.eq\f(32π,3)(1)D(2)B(1)法一由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥S­ABC，其中HS是三棱锥的高，由三视图可知HS＝2eq\r(3)，HA＝HB＝HC＝2，故H为△ABC外接圆的圆心，该圆的半径为2.由几何体的对称性可知三棱锥S­ABC外接球的球心O在直线HS上，连接OB.设球的半径为R，则球心O到△ABC外接圆的距离为OH＝|SH－OS|＝|2eq\r(3)－R|，由球的截面性质可得R＝OB＝eq\r(OH2＋HB2)＝eq\r(|2\r(3)－R|2＋22)，解得R＝eq\f(4\r(3),3)，所以所求外接球的表面积为4πR2＝4π×eq\f(16,3)＝eq\f(64π,3).故选D.法二由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥S­ABC，其中HS是三棱锥的高，由侧视图可知HS＝2eq\r(3)，由正视图和侧视图可得HA＝HB＝HC＝2.由几何体的对称性可知三棱锥外接球的球心O在HS上，延长SH交球面于点P，则SP就是球的直径，由点A在球面上可得SA⊥AP.又SH⊥平面ABC，所以SH⊥AH.在Rt△ASH中，SA＝eq\r(SH2＋AH2)＝eq\r(2\r(3)2＋22)＝4.设球的半径为R，则SP＝2R，在Rt△SPA中，由射影定理可得SA2＝SH×SP，即42＝2eq\r(3)×2R，解得R＝eq\f(4\r(3),3)，所以所求外接球的表面积为4πR2＝4π×eq\f(16,3)＝eq\f(64π,3).故选D.(2)由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切．设球的半径为R.因为△ABC的内切圆半径为eq\f(6＋8－10,2)＝2，所以R≤2.又2R≤3，所以R≤eq\f(3,2)，所以Vmax＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9,2)π.故选B.]解决球与几何体的切、接问题的关键在于确定球的半径与几何体的度量之间的关系，这就需要灵活利用球的截面性质以及组合体的截面特征来确定．对于旋转体与球的组合体，主要利用它们的轴截面性质建立相关数据之间的关系；而对于多面体，应抓住多面体的结构特征灵活选择过球心的截面，把多面体的相关数据和球的半径在截面图形中体现出来．变式训练2](1)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝1，∠BAC＝60°，AA1＝2，则该三棱柱的外接球的体积为()【导学号：85952037】A.eq\f(40π,3) B．eq\f(40\r(30)π,27)C.eq\f(320\r(30)π,27) D．20π(2)(名师押题)一几何体的三视图如图10­12(网格中每个正方形的边长为1)，若这个几何体的顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是________．图10­12(1)B(2)20π(1)设△A1B1C1的外心为O1，△