2018版高考数学(理)一轮复习选修系列第十三章13.5复数

§13.5

复数根底知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引根底知识自主学习1.复数的有关概念知识梳理(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的

，b叫做复数z的

.(i为虚数单位)(2)分类：

满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔_________a＋bi为虚数⇔_________a＋bi为纯虚数⇔_______________实部虚部b＝0b≠0a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔

(a，b，c，d∈R).(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔

(a，b，c，d∈R).(5)模：向量

的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作

或

，即|z|＝|a＋bi|＝

(a，b∈R).a＝c且b＝da＝c，b＝－d|a＋bi||z|2.复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点

及平面向量

＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.Z(a，b)3.复数的运算(1)运算法那么：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R(a±c)+(b±d)i(ac-bd)+(bc+ad)i(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法那么进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即.判断以下结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0没有解.()(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()(4)原点是实轴与虚轴的交点.()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()思考辨析×××√√

考点自测1.(2016·全国乙卷)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，那么a等于A.－3 B.－2 C.2 D.3答案解析∵(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i，∴a－2＝2a＋1，解得a＝－3，应选A.

2.(2015·课标全国Ⅰ)复数z满足(z－1)i＝1＋i，那么z等于A.－2－i B.－2＋i C.2－i D.2＋i答案解析由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，那么有z－1＝1－i，所以z＝2－i.

3.(2016·黄山一模)设i是虚数单位，假设z＝cosθ＋isinθ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，那么θ位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限∵z＝cosθ＋isinθ对应的点的坐标为(cosθ，sinθ)，且点(cosθ，sinθ)位于第二象限，答案解析

答案解析4.(教材改编)在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，那么向量对应的复数是A.1－2i B.－1＋2iC.3＋4i D.－3－4i5.i2011＋i2012＋i2013＋i2014＋i2015＋i2016＋i2017＝________.答案解析1原式＝i3＋i4＋i1＋i2＋i3＋i4＋i＝1.题型分类深度剖析

题型一复数的概念例1(1)(2015·福建)假设(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，那么a，b的值分别等于A.3，－2 B.3,2C.3，－3 D.－1,4∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，答案解析∴a＝3，b＝－2，应选A.

(2)假设z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，那么“m＝1”是“z1＝z2”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件.答案解析(3)(2016·天津)i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，那么z的实部为_____.1答案解析引申探究1.将本例(1)中方程左边改为(1＋i)(2－3i)，求a，b的值.

解答(1＋i)(2－3i)＝2＋3－i＝5－i＝a＋bi，所以a＝5，b＝－1.2.将本例(3)中的条件“(1＋i)z＝2”改为“(1＋i)3z＝2”，求z的实部.

解答解决复数概念问题的方法及本卷须知(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.思维升华

跟踪训练1(1)a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，假设为纯虚数，那么复数的虚部为答案解析(2)复数z满足z2＝－4，假设z的虚部大于0，那么z＝________.答案解析2i设z＝a＋bi(a，b∈R，b>0)，那么z2＝a2－b2＋2abi＝－4，因此a＝0，－b2＝－4，b＝±2，又b>0，∴b＝2，∴z＝2i.

题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2(1)(2016·四川)设i为虚数单位，那么复数(1＋i)2等于A.0 B.2 C.2i D.2＋2i答案解析(1＋i)2＝12＋i2＋2i＝1－1＋2i＝2i.

(2)(2016·全国乙卷)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，那么|x＋yi|等于答案解析

(3)(2015·课标全国Ⅱ)假设a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，那么a等于A.－1 B.0 C.1 D.2答案解析因为a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得a＝0，应选B.

命题点2复数的除法运算例3(1)(2016·全国丙卷)假设z＝1＋2i，那么等于A.1 B.－1 C.i D.－i答案解析

(2)(2016·北京)复数

等于A.i B.1＋i C.－i D.1－i答案解析－1＋i答案解析

命题点3复数的综合运算例4(1)(2016·山东)假设复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，那么z等于A.1＋2i B.1－2iC.－1＋2i D.－1－2i答案解析

答案解析

(3)假设复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，那么z的虚部为设z＝a＋bi，故(3－4i)(a＋bi)＝3a＋3bi－4ai＋4b＝|4＋3i|，答案解析复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四那么运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.思维升华(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法那么进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.

跟踪训练2(1)(2015·山东)假设复数z满足＝i，其中i为虚数单位，那么z等于A.1－i B.1＋i C.－1－i D.－1＋i答案解析i答案解析答案解析

题型三复数的几何意义例5(1)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，假设复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，那么z对应的点为△ABC的A.内心 B.垂心 C.重心 D.外心答案解析由几何意义知，复数z对应的点到△ABC三个顶点距离都相等，z对应的点是△ABC的外心.(2)如下图，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：解答(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.解答即B点对应的复数为1＋6i.解答③B点对应的复数.因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.思维升华跟踪训练3z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.解答设z＝x＋yi(x，y∈R)，∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.由题意得x＝4.∴z＝4－2i.∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，解得2<a<6，∴实数a的取值范围是(2,6).典例(12分)x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.

解决复数问题的实数化思想思想与方法系列27标准解答(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最根本的思想方法.(2)此题求解的关键是先把x、y用复数的根本形式表示出来，再用待定系数法求解，这是常用的数学方法.(3)此题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.思想方法指导设x＝a＋bi(a，b∈R)，那么y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2， [3分]代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，

[5分]

返回课时作业1.(2016·佛山二检)a>0，b>0，且(1＋ai)(b＋i)＝5i(i是虚数单位)，那么a＋b等于答案解析√由题意得(1＋ai)(b＋i)＝(b－a)＋(1＋ab)i＝5i，1234567891011121314152.(2017·天津质检)i为虚数单位，a∈R，如果复数2i－是实数，那么a的值为答案解析A.－4 B.2 C.－2 D.4√123456789101112131415答案解析A.E

B.F C.G D.H由题图知复数z＝3＋i，123456789101112131415√数单位)，那么z等于√A.1＋i B.－1－I C.－1＋i D.1－i答案解析123456789101112131415∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.1234567891011121314155.(2016·新乡、许昌、平顶山调研)复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，那么λ的取值范围是答案解析√1234567891011121314151234567891011121314156.0<a<2，复数z的实部为a，虚部为1，那么|z|的取值范围是答案解析由于复数z的实部为a，虚部为1，且0<a<2，123456789101112131415√A.在圆外

B.在圆上

C.在圆内

D.不能确定√∴点(a，b)在圆x2＋y2＝2外.答案解析1234567891011121314158.复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，那么实数m的取值范围是________.z＝(3m－2)＋(m－1)i，其对应点(3m－2，m－1)在第三象限内，故3m－2<0且m－1<0，答案解析1234567891011121314159.集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，假设M∩N＝{3}，那么实数m的值为________.答案解析3或6∵M∩N＝{3}，∴3∈M且－1∉M，∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3或m＝3，∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m＝3，解得m＝6或m＝3，经检验符合题意.123456789101112131415∴(x－2)2＋y2＝3.123456789101112131415答案解析－23由根与系数的关系知，∴b＝－2，c＝3.123456