江西省赣州市樟斗中学高一数学理联考试题含解析

江西省赣州市樟斗中学高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线的斜率为(

)A. B. C. D.参考答案：A【分析】将直线的标准方程写为的形式，可得到斜率。【详解】由题得直线方程为，斜率，故选A。【点睛】本题考查直线的斜率，属于基础题。2.三棱锥的高为，若，则为△的（

）A．内心

B．外心

C．垂心

D．重心参考答案：B3.设为实数，则与表示同一个函数的是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“”图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为、，剪去部分的面积为，若，记，则的图象是．

（

）参考答案：A5.知函数在上是偶函数，且在上是单调函数，若，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．参考答案：D6.为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度参考答案：A【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论．【解答】解：∵函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，∴为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度故选A．【点评】本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变换，注意先伸缩后平移时x的系数，属于基础题．7.（1）已知，求的值.（2）已知为锐角，，，求的值.参考答案：解：（1）原式=

=

（2）因为为锐角，，所以，---------------

1分由为锐角，，又，---------------1分所以，---------------2分因为为锐角，所以，所以.

---------------1分

略8.已知数列{an}是等比数列，若a9a22+a13a18=4，则数列{an}的前30项的积T30=（）A．415B．215C．D．315参考答案：D略9.已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0），x=﹣是y=f（x）的零点，直线x=为y=f（x）图象的一条对称轴，且函数f（x）在区间（，）上单调，则ω的最大值是（）A．9 B．7 C．5 D．3参考答案：D【考点】余弦函数的对称性．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤8，结合条件进行验证，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣是y=f（x）的零点，直线x=为y=f（x）图象的一条对称轴，∴=，（n∈N）即ω==2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵函数f（x）在区间（，）上单调，∴﹣=≤即T=，解得：ω≤8，当ω=7时，﹣+φ=kπ+，k∈Z，取φ=，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=5时，﹣+φ=kπ+，k∈Z，取φ=，此时f（x）在（，）不单调，满足题意；当ω=3时，﹣+φ=kπ+，k∈Z，取φ=﹣，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为3，故选：D．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．10.已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a2为（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3参考答案：D【考点】8G：等比数列的性质；8F：等差数列的性质．【分析】先用a2分别表示出a1和a5，再根据等比中项的性质得a22=a1a5进而求得a2．【解答】解：a1=a2﹣2，a5=a2+6∴a22=a1a5=（a2﹣2）（a2+6），解得a2=3故选D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）过点（1，2）且与直线3x+4y﹣5=0垂直的直线方程

．参考答案：4x﹣3y+2=0考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题： 直线与圆．分析： 由垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．解答： 解：∵直线3x+4y﹣5=0的斜率为，∴与之垂直的直线的斜率为，∴所求直线的方程为y﹣2=（x﹣1）化为一般式可得4x﹣3y+2=0故答案为：4x﹣3y+2=0点评： 本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．12.函数的纵坐标不变，将其图象上的各点的横坐标缩短为原来的，得到的函数记为

。参考答案：113.关于下列命题：①函数在整个定义域内是增函数；②函数是偶函数；③函数的一个对称中心是；④函数在闭区间上是增函数．写出所有正确的命题的序号：

．参考答案：③④略14.如果角θ的终边经过点（﹣，），则sinθ=

．参考答案：【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】由角θ的终边经过点（﹣，），可得x=﹣，y=，r=1，再利用任意角的三角函数的定义求得sinθ的值．【解答】解：∵角θ的终边经过点（﹣，），∴x=﹣，y=，r=1，∴sinθ==，故答案为：．15.某同学在研究函数时，分别给出下面几个结论:（1）等式对恒成立；（2）函数的值域为（-1，1）；（3）若，则一定有；（4）函数在R上有三个零点其中正确的结论序号为

参考答案：（1），（2），（3）16.某校高三年级学生年龄分布在17岁、18岁、19岁的人数分别为500、400、100，现通过分层抽样从上述学生中抽取一个样本容量为的样本，已知每位学生被抽到的概率都为0．2，则

．参考答案：200略17.数列的一个通项公式是

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，（1）试证明函数是偶函数；

（3分）（2）画出的图象；（要求先用铅笔画出草图，再用中性笔描摹，否则不给分）（3分）（3）请根据图象指出函数的单调递增区间与单调递减区间；（不必证明）

（3分）（4）当实数取不同的值时，讨论关于的方程的实根的个数；

（3分）参考答案：（1）的定义域为,且故为偶函数；（2）略（3）递增区间有：递减区间有：；（4）根据图象可知，①当时，方程无实数根；②当或时，方程有两个实数根；③当时，方程有三个实数根；④当时，方程有四个实数根；19.对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a?f1（x）+b?f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．（1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由；第一组：f1（x）=lg，f2（x）=lg（10x），h（x）=x2﹣x+1；第二组：f1（x）=x2﹣x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2﹣x+1；（2）设f1（x）=log2x；x，a=2，b=1生成函数h（x），若不等式3h2（x）+2h（x）+t≤0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围；（3）设f1（x）=x（x＞0），f2（x）=，取a＞0，b＞0，生成函数h（x）图象的最低点为（2，8），若对于任意的正实数x1，x2，且x1+x2=1，试问是否存在最大的常熟m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．参考答案：【考点】抽象函数及其应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）化简h（x）=a?f1（x）+b?f2（x），使得与h（x）与x2﹣x+1相同，求出a，b判断结果满足题意；类似方法计算判断第二组．（2）由已知得h（x）=log2x，从而+2log2x+t=3（log2x+）2+t﹣≤0在x∈[2，4]上有解，由t=﹣3（log2x+）2+在[2，4]上单调递减，能求出实数t的取值范围．（3）由题意得，h（x）=ax+，从而h（x）=2x+，x＞0，假设存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立，设μ=h（x1）h（x2），从而转化为求u的最小值即可．【解答】解：（1）第一组：∵f1（x）=lg，f2（x）=lg（10x），h（x）=x2﹣x+1，∴alg+blg（10x）=algx﹣a+b+blgx=（a+b）lgx+b﹣a≠x2﹣x+1，∴第一组函数h（x）不是f1（x），f2（x）的生成函数．第二组：设a（x2+x）+b（x2+x+1）=x2﹣x+1，即（a+b）x2+（a+b）x+b=x2﹣x+1，则，该方程组无解．∴h（x）不是f1（x），f2（x）的生成函数．（2）∵f1（x）=log2x；x，a=2，b=1生成函数h（x），∴h（x）=a?f1（x）+b?f2（x）=2log2x+logx=log2x，∵3h2（x）+2h（x）+t≤0在x∈[2，4]上有解，∴+2log2x+t=3（log2x+）2+t﹣≤0在x∈[2，4]上有解，∵x∈[2，4]，∴log2x+∈[，]∴t=﹣3（log2x+）2+在[2，4]上单调递减，∴=﹣5，=﹣．∴实数t的取值范围是[﹣，﹣5]．（3）由题意得，h（x）=ax+，x＞0，则h（x）=ax+，故，解得，∴h（x）=2x+，x＞0，假设存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立．于是设μ=h（x1）h（x2）==4x1x2++16?=+16（）=4+16?==，设t=x1x2，则t=x1x2≤=，即t∈（0，]，设﹣32，t∈（0，]，∵＜0，t∈（0，]，∴﹣32在（0，]上单调递减，从而μ≥μ（）=289．故存在最大的常数m=289．【点评】本题考查函数性质的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质、换元法的合理运用．20.为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分高一学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后分成7组：第一组[70,80)，第二组[80,90)，第三组[90,100)，第四组[100,110)，第五组[110,120)，第六组[120,130)，第七组[130,140]，得到如图所示的频率分布直方图（不完整）.（1）求第四组的频率并补全频率分布直方图；（2）现采取分层抽样的方法从第三、四、五组中随机抽取名学生测量肺活量，求每组抽取的学生数.参考答案：（1）第四组的频率.频率分布直方图如图所示：（2）第三、四、五组的频率依次为，，，若采取分层抽样的方法，则需从第三、四、五组中按抽取，所以第三组应抽取人，第四组应抽取人，第五组应抽取人.21.某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[70,80)，[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120).（1）求图中m的值；（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分；（3）若这200名学生的数学成绩中，某些分数段的人数x与英语成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求英语成绩在[90,120)的人数.分数段[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)[110,120)1:22:16:51:21:1

参考答案：（1）（2）93分（3）140人【分析】（1）在频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，由此可得；（2）频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数，即为估计平均数；（3）求出这200名学生的数学成绩在，，的人数，然后计算出各分数段的英语人数即可．【详解】（1）由，解得.（2）频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数，即估计平均数