云南省曲靖市昭通第一中学高一数学理期末试卷含解析

云南省曲靖市昭通第一中学高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，，，，M是△ABC外接圆上一动点，若，则的最大值是（

）A.1 B. C. D.2参考答案：C【分析】以的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设M的坐标为，，求出点的坐标，得到，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案.【详解】以的中点O为原点，以为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则外接圆的方程为，设M的坐标为，，过点作垂直轴，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中，，当时，有最大值，最大值为，故选：C．【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图象和性质，以及直角三角形的问题，考查了学生的分析解决问题的能力，属于难题．2.已知单位向量，，满足.若点C在内，且，，则下列式子一定成立的是（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】设，对比得到答案.【详解】设，则故答案为D【点睛】本题考查了向量的计算，意在考查学生的计算能力.3.下列说法中正确的是

（

）A.棱柱的侧面都是矩形

B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱C.所有的几何体的表面都能展成平面图形

D.棱柱的各条棱都相等参考答案：B4.函数y=的值域为（）A．[3，+∞） B．（0，3] C． D．参考答案：C【考点】函数的值域．【分析】换元得出y=（）t，t≤1，根据指数函数的性质得出即可．【解答】解：∵函数y=∴设t=﹣x2+2x，x∈R得出t≤1y=（）t，t≤1根据指数函数的性质得出：值域为：[，+∞）故选：C．5.函数的图象的一条对称轴方程是（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C6.（5分）给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．其中真命题的个数是（） A． 4 B． 3 C． 2 D． 1参考答案：B考点： 空间中直线与平面之间的位置关系．分析： 对于立体几何中的线线、线面、面面关系的判定可依据课本中有关定理结论进行判断，也可列举反例从而说明不正确即可．解答： 解：观察正方体中的线面位置关系，结合课本中在关线面位置关系的定理知，①②④正确．对于③，A′B′、A′D′都平行于一个平面AC，但它们不平行，故③错．故选B．点评： 本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．7.已知都是单位向量，则下列结论正确的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D8.下列对应中，是映射的个数为()A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：C9.如图长方体中，AB=AD=，CC1=，则二面角C1—BD—C的大小为A．300

B．450

C．600

D．900参考答案：A10.下列命题中错误的是（）A．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（cosy）=cos2y成立B．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（siny）=sin2y成立C．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（cosy）=cos3y成立D．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（siny）=sin3y成立参考答案：B【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦．【分析】利用二倍角公式、三倍角公式，函数的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：令x=cosy∈[﹣1，1]，则对任意实数y，有等式f（cosy）=cos2y成立，即f（x）=2x2﹣1成立，故A成立．对任意实数y有等式f（cosy）=cos3y=4cos3y﹣3cosy成立，即f（x）=4x3﹣3x成立，故B正确．令t=siny∈[﹣1，1]，则对任意实数y，有等式f（siny）=sin2y=2sinycosy=2t?（±）成立，即f（x）=2?（±）成立，故B错误．则对任意实数y，有等式f（sin3y）=sin3y=3siny﹣4sin3y成立，即f（t）=3t﹣4t3成立，故D成立，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设正项数列{an}的前n项和是Sn，若{an}和{}都是等差数列，且公差相等，则a1=．参考答案：【考点】等差数列的性质．【分析】设公差为d，首项a1，利用等差中项的概念列关系，通过两次平方运算及可求得答案．【解答】设公差为d，首项a1∵{an}，{}都是等差数列，且公差相等，∴2=+，即2=+，两端平方得：4（2a1+d）=a1+3a1+3d+2，4a1+d=2，两端再平方得：16+8a1d+d2=4a1（3a1+3d），∴4﹣4a1d+d2=0，d=2a1，又两数列公差相等，∴﹣=a2﹣a1=d=2a1，即﹣=2a1，解得：2=1，∴a1=或a1=0（{an}为正项数列，故舍）∴a1=．故答案为：．12.已知，则=

．参考答案：略13.已知扇形的圆心角为72°，半径为5，则扇形的面积S=．参考答案：5π【考点】扇形面积公式．【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出．【解答】解：72°化为弧度．∴扇形的面积S==5π．故答案为：5π．【点评】本题考查了扇形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.函数的图象如下图所示，若点、均在f(x)的图象上，点C在y轴上且BC的中点也在函数f(x)的图象上，则△ABC的面积为

▲

．参考答案：解析：、在上可求得，设BC的中点为D，则，故，设AC与x轴的交点为，面积．15.已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={﹣2，1，2}，则A∩B=．参考答案：{1，2}【考点】交集及其运算．【分析】利用交集的定义找出A，B的所有的公共元素组成的集合即为A∩B．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，B={﹣2，1，2}，∴A∩B={1，2}，故答案为：{1，2}．16.已知f（x）=（）x∈[﹣2，1]，则f（x）的值域为．参考答案：[，]【考点】函数的值域．【分析】换元转化为y=（）t，t∈[3，7]，根据y=（）t，t∈[3，7]单调递减，求解即可得出答案．【解答】解：∵t=x2+2x+4，x∈[﹣2，1]，对称轴x=﹣1，∴根据二次函数性质得出：x=﹣1时，t=3，x=1时，t=7，∴t∈[3，7]∴y=（）t，t∈[3，7]∵y=（）t，t∈[3，7]单调递减，∴值域为[，]故答案为：[，]17.某校共有学生名，各年级人数如下表所示：年级高一高二高三人数800600600现用分层抽样的方法在全校抽取120名学生，则应在高三年级抽取的学生人数为___________.

参考答案：36.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且.（1）求角A；（2）若，，求a.参考答案：（1）；（2）【分析】（1）由题设条件和三角恒等变换的公式，化简，解得，即可求解的值；（2）由正弦定理，求得，再由三角形的面积公式，求得，联立方程组，求得，，利用余弦定理，即可求解的值.【详解】（1）由题意，因为，则，整理可得：，因为，，解得，.（2）因为，由正弦定理可得：，

①因为，解得：，②所以由①②可解得：，，由余弦定理可得：.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.19.奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)<0，求a的取值范围。参考答案：解:在上任取x1,x2,且,则∵,∴x1-x2<0，且.(1)当a>0时,,即，∴是上的减函数；(2)当a<0时,,即，∴是上的增函数；略20.函数是数学中重要的概念之一，同学们在初三、高一分别学习过，也知晓其发展过程.1692年，德国数学家莱布尼茨首次使用function这个词，1734年瑞士数学家欧拉首次使用符号表示函数.1859年我国清代数学家李善兰将function译作函数，“函”意味着信件，巧妙地揭示了对应关系.密码学中的加密和解密其实就是函数与反函数.对自变量恰当地赋值是处理函数问题，尤其是处理抽象函数问题的常用方法之一.请你解答下列问题.已知函数满足：对任意的整数，均有，且.求的值.参考答案：在中，令，得，于是.在中，令，，得.∴，.在中，令，，得.∴.∴，，…….上述等式左右两边分别相加，得.∴.21.（本小题满分9分）设函数.（I）求函数的最小正周期；（II）求函数在区间上的最大值和最小值．参考答案：（I）函数的最小正周期.

……………5分（II）因为，所以．当，即时，有最大值，最大值为；当，即时，有最小值，最小值为．……9分

22.(本小题满分12分)已知函数，且．（1）求的解析式；（2）判断函数在上的单调性并加以证明；（3）求函数在上的最大值