高考数学专题训练-概率与统计(1)(理科)

第第页高考数学专题训练——概率与统计(1)(理科)概率与统计〔理〕(1)

江苏5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，那么其中一个数是另一个的两倍的概率为______答案：

13

安徽理〔20〕〔本小题总分值13分〕

工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危急的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，假如有一个人10分钟内不能完成任务那么撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别

p,p,p，假设p,p,p互不相等，且假定各人能否完成任务的事项相互独立.

〔Ⅰ〕假如按甲最先，乙次之，丙最末的顺次派人，求任务能被完成的概率。假设转变三个

人被派出的先后顺次，任务能被完成的概率是否发生改变？〔Ⅱ〕假设按某指定顺次派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q,q,q，其中

q,q,q是p,p,p的一个排列，求所需派出人员数目*的分布列和均值〔数

字期望〕E*；

〔Ⅲ〕假定ppp，试分析以怎样的先后顺次派出人员，可使所需派出的人员数目的均值〔数字期望〕达到最小。〔20〕〔本小题总分值13分〕此题考查相互独立事项的概率计算，考查离散型随机变量及其分

布列、均值等基本知识，考查在繁复情境下处理问题的技能以及抽象概括技能、合情推理与演绎推理，分类读者论论思想，应用意识与创新意识.

解：〔I〕无论以怎样的顺次派出人员，任务不能被完成的概率都是

(1p1)(1p2)(1p3)，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺次无关，并等于

1(1p1)(1p2)(1p3)p1p2p3p1p2p2p3p3p1p1p2p3.

〔II〕当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为q1,q2,q3时，随机变量*的分布列为

所需派出的人员数目的均值〔数学期望〕E*是

E*q12(1q1)q23(1q1)(1q2)32q1q2q1q2.

〔III〕〔方法一〕由〔II〕的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最末的顺次派人时，

E*32p1p2p1p2.

依据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减削所需派出的人员数目的均值.下面证明：对于p1,p2,p3的任意排列q1,q2,q3，都有

32q1q2q1q232p1p2p1p2,……〔*〕

事实上，(32q1q2q1q2)(32p1p2p1p2)

2(p1q1)(p2q2)p1p2q1q2

2(p1q1)(p2q2)(p1q1)p2q1(p2q2)

(2p2)(p1q1)(1q1)((p2q2)(1q1)[(p1p2)(q1q2)]0.

即〔*〕成立.

〔方法二〕〔i〕可将〔II〕中所求的E*改写为3(q1q2)q1q2q1,假设交换前两人

的派出顺次，那么变为3(q1q2)q1q2q1,.由此可见，当q2q1时，交换前两人的派出顺次可减小均值.

〔ii〕也可将〔II〕中所求的E*改写为32q1q2q1q2，或交换后两人的派出顺次，

那么变为32q1q3q1q3.由此可见，假设保持第一个派出的人选不变，当q3q2时，交换后两人的派出顺次也可减小均值.

综合〔i〕〔ii〕可知，当(q1,q2,q3)(p1,p2,p3)时，E*达到最小.即完成任务概率大

的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.北京理17．本小题共13分

以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以*表示。

〔Ⅰ〕假如*=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；〔Ⅱ〕假如*=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y

的分布列和数学期望。

2221

*1**2**n*，其中*为*1，*2，……*n〔注：方差s

n

2

的平均数〕

〔17〕〔共13分〕

解〔1〕当*=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为

8891035

;

44

方差为

s2[(8)2(8)2(9)2(10)2].

4444416

〔Ⅱ〕当*=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有44=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事项“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学

21.168

1111

同理可得P(Y18);P(Y19);P(Y20);P(Y21).

4448

植树8棵”所以该事项有2种可能的结果，因此P〔Y=17〕=所以随机变量Y的分布列为：

=17

11111+18+19+20+2184448

=19

福建理13．盒中装有外形、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。假设从中随机取出2个球，那么所取出的2个球颜色不同的概率等于_______。

35

福建理19．〔本小题总分值13分〕

某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数*依次为1,2，，8，其中*≥5为标准A，*≥为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为

6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准

〔I〕已知甲厂产品的等级系数*的概率分布列如下所示：

11〔II〕为分析乙厂产品的等级系数*2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级

系数组成一个样本，数据如下：

35338556346347534853

8343447567

用这个样本的频率分布估量总体分布，将频率视为概率，求等级系数*2的数学期望．

〔III〕在〔I〕、〔II〕的条件下，假设以“性价比”为判断标准，那么哪个工厂的产品更具可购

买性？说明理由．

注：〔1〕产品的“性价比”=

产品的等级系数的数学期望

；

产品的零售价

〔2〕“性价比”大的产品更具可购买性．19．本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理技能、运算求解技能、应用意识，

考查函数与方程思想、必定与或然思想、分类与整合思想，总分值13分。

解：〔I〕由于E*16,所以50.46a7b80.16,即6a7b3.2.又由*1的概率分布列得0.4ab0.11,即ab0.5.

6a7b3.2,a0.3,由解得

ab0.5.b0.2.

〔II〕由已知得，样本的频率分布表如下：

用这个样本的频率分布估量总体分布，将频率视为概率，可得等级系数*2的概率分布

所以

E*23P(*23)4P(*24)5P(*25)6P(*26)7P(*27)8P(*28)

30.340.250.260.170.180.1

4.8.

即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.〔III〕乙厂的产品更具可购买性，理由如下：

6

1.64.8

1.2.由于乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4

由于甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6元/件，所以其性价比为据此，乙厂的产品更具可购买性。

广东理6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，假设两队胜每局的概率相同，那么甲队获得冠军的概率为

A．

132

B．C．253

D．

3

4

D

广东理17．〔本小题总分值13分〕

为了解甲、乙两厂的产品质量，采纳分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素*,y的含量〔单位：毫克〕．下表是乙厂的5

〔1〕已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；

〔2〕当产品中的微量元素*,y满意*≥175，且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数

据估量乙厂生产的优等品的数量；〔3〕从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列极其均值〔即数学期望〕。

17．〔本小题总分值13分〕

解：〔1〕

98

7,5735，即乙厂生产的产品数量为35件。14

2,5

〔2〕易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品

故乙厂生产有大约35

2

14〔件〕优等品，5

〔3〕的取值为0，1，2。

11

C32C3C2C32331

P(

0)2,P(1),P(2)22

5C510C5C510

所以的分布列为

故的均值为E0

12.105105

2

湖北理5．已知随机变量听从正态分布N2，a，且Ｐ〔＜4〕＝0.8，那么Ｐ〔0＜＜

C

2〕＝

Ａ．0．6

B．0．4C．0．3D．0．2

湖北理7．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统。当K正常工作且A1、A2

至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0．9、0．8、0．8，那么系统正常工作的概率为

A．0．960B．0．864C．0．720D．0．576B

湖北理12．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。从这30瓶饮料中任取2瓶，那么至少取

到一瓶已过保质期饮料的概率为。〔结果用最简分数表示〕

28145

湖北理15．给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当n4时，在全部不同的着色方

案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下列图所示：

．．．．

由此推断，当n6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有种，至少有两个．．．．黑色正方形相邻的着色方案共有种，〔结果用数值表示〕．．21，43

湖南理4

2

2

nadbc110

403020202

由K算得，K27.8．

60506050abcdacbd

C

参照附表，得到的正确结论是

A．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

湖南理15．如图4，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形。

将一颗豆子随机地扔到该图内，用A表示事项“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事项“豆子落在扇形OHE〔阴影部分〕内”，那么

〔1〕P〔A〕=_____________;〔2〕P〔B|A〕=．〔1〕

1

,(2)4

2

湖南理18．〔本小题总分值12分〕

试销结束后〔假设该商品的日销售量的分布规律不变〕，设某天开始营业时有该商

品3件，当天营业结束后检查存货，假设发觉存货少于2件，那么当天进货补充至3件，否．．那么不进货，将频率视为概率。．．．

〔Ⅰ〕求当天商品不进货的概率；

〔Ⅱ〕记*为第二天开始营业时该商品的件数，求*的分布列和数学期型。18．解〔I〕P〔“当天商品不进货”〕P〔“当天商品销售量为0件”〕P〔“当天商品销

153

.202210

〔Ⅱ〕由题意知，*的可能取值为2,3.

售量为1件”〕

P(*2)P〔“当天商品销售量为1件”〕

51

;204

P〔P〔P(*3)P〔“当天商品销售量为0件”〕“当天商品销售量为2件”〕“当

天商品销售量为3件”〕

故*195

3.2022204

*的数学期望为E*2

3.444

江西理6．变量*与Y相对应的一组数据为〔10，1〕，〔11.3，2〕，〔11.8，3〕，〔12.5，4〕，

〔13，5〕；变量U与V相对应的一组数据为〔10，5〕，〔11.3，4〕，〔11.8，3〕，〔12.5，

2〕，〔13，1〕，r1表示变量Y与*之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，那么A．r2r10

B．0r2r1

C．r20r1

D．r2r1

C

江西理12．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，假设此

点到圆心的距离大于

11

，那么周末去看电影；假设此点到圆心的距离小于，那么去打篮球；24

否那么，在家看书，那么小波周末不在家看书的概率为．

1316

江西理16．〔本小题总分值12分〕

某饮料公司聘请了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司预备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，假设4杯都选对，那么月工资定为3500元，假设4杯选对3杯，那么月工资定为2800元，否那么月工资定为2100元，令*表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别技能．〔1〕求*的分布列；

〔2〕求此员工月工资的期望。16．〔本小题总分值12分〕

解：〔1〕*的全部可能取值为：0，1，2，3，4

14i

C4C4

P(*i)(i0,1,2,3,4)

C54

即

〔2那么P(Y3500)P(*4)P(Y2800)P(*3)

170

835

53

P(Y2100)P(*2)

70

11653

EY3500280021002280.

707070

所以新录用员工月工资的期望为2280元.

辽宁理〔5〕从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事项A=“取到的2个数之和为偶数”，事项B=“取到的2个数均为偶数”，那么P〔B︱A〕=〔A〕B

18

〔B〕

14

〔C〕

25

〔D〕

12

概率与统计〔理〕(1)

江苏5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，那么其中一个数是另一个的两倍的概率为______答案：

13

安徽理〔20〕〔本小题总分值13分〕

工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危急的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，假如有一个人10分钟内不能完成任务那么撤出，再派下