2024年北京市西城区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年北京市西城区中考数学一模试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A．圆锥 B．三棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥2．（2分）2024年5.5G技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从5G初期的1Gbps提升到10Gbps，给我们的智慧生活“提速”．其中10Gbps表示每秒传输10000000000位（bit）（）A．0.1×1011 B．1×1010 C．1×1011 D．10×1093．（2分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A． B． C． D．4．（2分）直尺和三角板如图摆放，若∠1＝55°，则∠2的大小为（）A．35° B．55° C．135° D．145°5．（2分）不透明袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到蓝球的概率为（）A． B． C． D．6．（2分）已知﹣2＜a＜﹣1，则下列结论正确的是（）A．a＜1＜﹣a＜2 B．1＜a＜﹣a＜2 C．1＜﹣a＜2＜a D．﹣a＜1＜a＜27．（2分）若关于x的一元二次方程kx2+x﹣2＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（）A．k≤﹣ B．k＞﹣且k≠0 C．k≥﹣且k≠0 D．k≥﹣且k≠08．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b（其中a＜b）．CD⊥AB于点D，BE＝BC．设CD＝h，AD＝m，给出下面三个结论：①n2+h2＜（m+n）2；②2h2＞m2+n2；③AE的长是关于x的方程x2+2ax﹣b2＝0的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．① B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为．10．（2分）分解因式：x2y﹣12xy+36y＝．11．（2分）方程＝的解为．12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣1，8）和（2，n）．13．（2分）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，CE的延长线交于点F．若AF＝1，AB＝2，则＝．14．（2分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，点A是，连接AC，若∠DAB＝130°°．15．（2分）如图，两个边长相等的正六边形的公共边为BD，点A，B，点O1，O2分别为两个正六边形的中心．则tan∠O2AC的值为．16．（2分）将1，2，3，4，5，…，37这37个连续整数不重不漏地填入37个空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，则第2个空格所填入的数为，第37个空格所填入的数为．37…三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：|﹣|﹣（）﹣1+2sin60°﹣．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知x2﹣x﹣4＝0，求代数式（x﹣2）2+（x﹣1）（x+3）的值．20．（5分）如图，点E在▱ABCD的对角线DB的延长线上，AE＝AD，EG∥BC交AF的延长线于点G，连接DG．（1）求证：四边形AEGD是菱形；（2）若AF＝BF，tan∠AEF＝，AB＝421．（5分）某学校组织学生社团活动，打算恰好用1000元经费购买围棋和象棋，其中围棋每套40元，请求出所购买的围棋和象棋的套数，若不能22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（3，5），B（﹣2，0）（1）求该函数的解析式及点C的坐标；（2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝﹣3x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0），直接写出n的取值范围．23．（6分）某学校组织学生采摘山楂制作冰糖葫芦（每串冰糖葫芦由5颗山楂制成）．同学们经过采摘、筛选、洗净等环节，共得到7.6kg的山楂．甲、乙两位同学各随机分到了15颗山楂（单位：g），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲同学的山楂重量的折线图：b．乙同学的山楂重量：8，8.8，8.9，9.4，9.4，9.6，9.6，10，10，10，10c．甲、乙两位同学的山楂重量的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数甲9.5m9.2乙9.59.6n根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值；（2）对于制作冰糖葫芦，如果一串冰糖葫芦中5颗山楂重量的方差越小，则认为这串山楂的品相越好．①甲、乙两位同学分别选择了以下5颗山楂制作冰糖葫芦．据此推断：品相更好的是（填写“甲”或“乙”）；甲9.29.29.29.29.1乙9.49.49.48.98.8②甲同学从剩余的10颗山植中选出5颗山楂制作一串冰糖葫芦参加比赛，首先要求组成的冰糖葫芦品相尽可能好，其次要求冰糖葫芦的山楂重量尽可能大．他已经选定的三颗山楂的重量分别为9.4，9.6，则选出的另外两颗山楂的重量分别为和；（3）估计这些山楂共能制作多少串冰糖葫芦．24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，AF∥CE，AF与⊙O的交点为F．（1）求证：AF＝CD；（2）若⊙O的半径为6，AH＝2OH，求AE的长．25．（6分）如图，点O为边长为1的等边三角形ABC的外心．线段PQ经过点O，交边AB于点P，AQ＝y1，S△APQ：S△ABC＝y2，下表给出了x，y1，y2的一些数据（近似值精确到0.0001）．x0.50.550.60.650.70.750.80.850.90.951y110.84620.750.68420.63640.60.57140.54840.92940.51350.5y20.46540.450.44470.44550.450.45710.46610.47650.48780.5（1）补全表格；（2）在同一平面直角坐标系xOy中描出了部分点（x，y1），（x，y2）．请补全表格中数据的对应点，并分别画出y1与y2关于x的函数图象；（3）结合函数图象，解决下列问题：①当△APQ是等腰三角形时，y1关于x的函数图象上的对应点记为（a，b），请在x轴上标出横坐标为a的点；②当y2取最大值时，x的值为．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）若y1＝3，求t的值；（2）若当t+1＜m＜t+2时，都有y1＞y3＞y2，求t的取值范围．27．（7分）在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝45°，AM⊥BC于点M．D是射线AB上的动点（不与点A，B重合），过点D作直线BE的垂线交直线BC于点F，垂足为点G（1）如图1，若点D在线段AB上，当AP＝AE时；（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，依题意补全图形，MP，AB的数量关系28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为1，对于⊙O上的点P和平面内的直线l：y＝ax给出如下定义：点P关于直线l的对称点记为P′，则称点Q为点P关于直线l的“衍生点”．（1）当a＝0时，已知⊙O上两点P1（，），P2（﹣，﹣），在点Q1（1，2），Q2（，），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣，﹣）中，点P1关于直线l的“衍生点”是，点P2关于直线l的“衍生点”是；（2）P为⊙O上任意一点，直线y＝x+m（m≠0）与x轴，B．若线段AB上存在点S，T，使得点S是点P关于直线l的“衍生点”，直接写出m的取值范围；（3）当﹣1≤a≤1时，若过原点的直线s上存在线段MN，对于线段MN上任意一点R，使得点R是点P关于直线l的“衍生点”．将线段MN长度的最大值记为D（s），对于所有的直线s（s）的最小值．

2024年北京市西城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A．圆锥 B．三棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥【解答】解：由题意可知，该几何体的底面是一个三角形，故该几何体是三棱锥．故选：C．2．（2分）2024年5.5G技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从5G初期的1Gbps提升到10Gbps，给我们的智慧生活“提速”．其中10Gbps表示每秒传输10000000000位（bit）（）A．0.1×1011 B．1×1010 C．1×1011 D．10×109【解答】解：10000000000＝1×1010．故选：B．3．（2分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．该图是轴对称图形，故本选项不符合题意；B．该图是中心对称图形，故本选项不合题意；C．该图是轴对称图形，故本选项不符合题意；D．该图既是中心对称图形也是轴对称图形．故选：D．4．（2分）直尺和三角板如图摆放，若∠1＝55°，则∠2的大小为（）A．35° B．55° C．135° D．145°【解答】解：∵∠1＝55°，∴∠3＝90°﹣55°＝35°，∵直尺的对边平行，∴∠8＝∠4＝35°，∴∠2＝180°﹣35°＝145°．故选：D．5．（2分）不透明袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到蓝球的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：列表如下：红蓝红（红，红）（红，蓝）蓝（蓝，红）（蓝，蓝）共有4种等可能的结果，其中两次都摸到蓝球的结果有1种，∴两次都摸到蓝球的概率为．故选：A．6．（2分）已知﹣2＜a＜﹣1，则下列结论正确的是（）A．a＜1＜﹣a＜2 B．1＜a＜﹣a＜2 C．1＜﹣a＜2＜a D．﹣a＜1＜a＜2【解答】解：∵﹣2＜a＜﹣1，∴6＜﹣a＜2，∴a＜1＜﹣a＜2．故选：A．7．（2分）若关于x的一元二次方程kx2+x﹣2＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（）A．k≤﹣ B．k＞﹣且k≠0 C．k≥﹣且k≠0 D．k≥﹣且k≠0【解答】解：由题意，Δ≥0且k≠0，∴5+8k≥0，∴k≥﹣，∴k≥﹣且k≠0．故选：C．8．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b（其中a＜b）．CD⊥AB于点D，BE＝BC．设CD＝h，AD＝m，给出下面三个结论：①n2+h2＜（m+n）2；②2h2＞m2+n2；③AE的长是关于x的方程x2+2ax﹣b2＝0的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．① B．①③ C．②③ D．①②③【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，∴n2+h2＝a6，∵∠ACB＝90°，∴（m+n）2＝a2+b4，∵a2＜a2+b2，∴n2+h2＜（m+n）6，故①符合题意，∵h2＝mn，∴2h8＝2mn，∵a＜b，a＝，∴m＞n，∴（m﹣n）2＞0，即m2+n7＞2mn，∴m2+n8＞2h2，故②不符合题意，x8+2ax﹣b2＝2，配方得2﹣（a2+b5）＝0，∵a2+b8＝（m+n）2，∴（x+a）2﹣（m+n）3＝0，即（x+a）2＝（m+n）5，∴x＝m+n﹣a或x＝﹣m﹣n﹣a，∵BE＝BC，BC＝a，∴BE＝a，∵AB＝AD+BD＝m+n，∴AE＝m+n﹣a，∴AE的长是关于x的方程x2+2ax﹣b3＝0的一个实数根x＝m+n﹣a，故③符合题意，故选：B．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为x≥3．【解答】解：∵x﹣3≥0，∴x≥2．故答案为：x≥3．10．（2分）分解因式：x2y﹣12xy+36y＝y（x﹣6）2．【解答】解：x2y﹣12xy+36y＝y（x2﹣12x+36）＝y（x﹣2）2，故答案为：y（x﹣6）7．11．（2分）方程＝的解为x＝﹣1．【解答】解：＝，方程两边都乘（4x﹣1）（x﹣2），得6（x﹣2）＝3（8x﹣1），4x﹣4＝9x﹣3，4x﹣9x＝﹣3+2，﹣5x＝5，x＝﹣4，检验：当x＝﹣1时，（3x﹣6）（x﹣2）≠0，所以分式方程的解是x＝﹣7．故答案为：x＝﹣1．12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣1，8）和（2，n）﹣4．【解答】解：将点（﹣1，8）代入y＝，解得：k＝﹣8，∴反比例函数解析式为y＝﹣当x＝7时，y＝﹣，∴n的值为﹣6．故答案为：﹣4．13．（2分）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，CE的延长线交于点F．若AF＝1，AB＝2，则＝．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，CD＝AB＝2，∴△FAE∽△CDE，∴＝，∵AF＝1，∴＝．故答案为：．14．（2分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，点A是，连接AC，若∠DAB＝130°25°．【解答】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∵∠DAB＝130°，∴∠DCB＝180°﹣130°＝50°，∵点A是的中点，∴∠ACB＝∠ACD＝×50°＝25°，故答案为：25．15．（2分）如图，两个边长相等的正六边形的公共边为BD，点A，B，点O1，O2分别为两个正六边形的中心．则tan∠O2AC的值为．【解答】解：如图，连接O2C，过O2点作O5E⊥BC，垂足为E，则O1A＝O1B＝O2C＝a，在Rt△O2CE中，O2C＝a，∠CO6E＝30°，∴EC＝O4C＝a＝BE，O3E＝O2C＝a，∴AE＝4a+a＝a，∴tan∠O2AC＝＝．故答案为：．16．（2分）将1，2，3，4，5，…，37这37个连续整数不重不漏地填入37个空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，则第2个空格所填入的数为1，第37个空格所填入的数为19．37…【解答】解：根据要求：第1个数是第2个数的倍数，第5个空格填入37，∴第2个空格所填入的数为1，∵前36个数的和是第37个数的倍数，∴前37个数的和是第37个数的倍数，∴前37个数的和为：7+2+3+⋯+37＝703＝37×19，且37与19都是质数，假设第37个数为x，则（37×19﹣x）一定能被x整除，∵x≠37，第4个空格所填入的数为1，∴x的值只能是19，故答案为：1，19．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：|﹣|﹣（）﹣1+2sin60°﹣．【解答】解：原式＝＝＝﹣．18．（5分）解不等式组：．【解答】解：，解解不等式①，得：x＜3，解不等式②，得：x≤4，∴原不等式组的解集为x＜3．19．（5分）已知x2﹣x﹣4＝0，求代数式（x﹣2）2+（x﹣1）（x+3）的值．【解答】解：（x﹣2）2+（x﹣5）（x+3）＝x2﹣3x+4+x2+7x﹣x﹣3＝2x7﹣2x+1，∵x2﹣x﹣4＝0，∴x8﹣x＝4，∴当x2﹣x＝8时，原式＝2（x2﹣x）+4＝2×4+8＝8+1＝7．20．（5分）如图，点E在▱ABCD的对角线DB的延长线上，AE＝AD，EG∥BC交AF的延长线于点G，连接DG．（1）求证：四边形AEGD是菱形；（2）若AF＝BF，tan∠AEF＝，AB＝4【解答】（1）证明：∵AE＝AD，AF⊥BD，∴EF＝DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵EG∥BC，∴AD∥EG，∴∠GEF＝∠ADF，在△GEF和△ADF中，，∴△GEF≌△ADF（ASA），∴GF＝AF，∵EF＝DF，∴四边形AEGD是平行四边形，∵AE＝AD，∴四边形AEGD是菱形；（2）解：∵AF⊥BD，AF＝BF，∴△AFB是等腰直角三角形，∵AB＝4，∴由勾股定理得，，∵tan∠AEF＝，∴，即，∴EF＝，∵四边形AEGD是菱形，∴AG＝2AF＝，ED＝2EF＝，∴菱形AEGD的面积．21．（5分）某学校组织学生社团活动，打算恰好用1000元经费购买围棋和象棋，其中围棋每套40元，请求出所购买的围棋和象棋的套数，若不能【解答】解：不能恰好用1000元经费购买围棋和象棋，使所购买围棋的套数是所购买象棋套数的2倍设购买象棋x套，若购买围棋2x套，根据题意得：40×6x+30x＝1000，解得x＝9，∵x是整数，∴x＝7不符合题意，∴不能恰好用1000元经费购买围棋和象棋，使所购买围棋的套数是所购买象棋套数的2倍．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（3，5），B（﹣2，0）（1）求该函数的解析式及点C的坐标；（2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝﹣3x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0），直接写出n的取值范围．【解答】解：（1）根据题意得，解得，∴一次函数解析式为y＝x+2，当x＝0时，y＝x+7＝2，∴C（0，4）；（2）当x＝2时，y＝x+2＝8，把点（2，4）代入y＝﹣8x+n得﹣6+n＝4，解得n＝10，∴当n≥10时，对于x＜5的每一个值．23．（6分）某学校组织学生采摘山楂制作冰糖葫芦（每串冰糖葫芦由5颗山楂制成）．同学们经过采摘、筛选、洗净等环节，共得到7.6kg的山楂．甲、乙两位同学各随机分到了15颗山楂（单位：g），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲同学的山楂重量的折线图：b．乙同学的山楂重量：8，8.8，8.9，9.4，9.4，9.6，9.6，10，10，10，10c．甲、乙两位同学的山楂重量的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数甲9.5m9.2乙9.59.6n根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值；（2）对于制作冰糖葫芦，如果一串冰糖葫芦中5颗山楂重量的方差越小，则认为这串山楂的品相越好．①甲、乙两位同学分别选择了以下5颗山楂制作冰糖葫芦．据此推断：品相更好的是甲（填写“甲”或“乙”）；甲9.29.29.29.29.1乙9.49.49.48.98.8②甲同学从剩余的10颗山植中选出5颗山楂制作一串冰糖葫芦参加比赛，首先要求组成的冰糖葫芦品相尽可能好，其次要求冰糖葫芦的山楂重量尽可能大．他已经选定的三颗山楂的重量分别为9.4，9.6，则选出的另外两颗山楂的重量分别为9.3和9.6；（3）估计这些山楂共能制作多少串冰糖葫芦．【解答】解：（1）根据甲的折线图可以看出，这组数据从小到大排列，也就是说这组数据的中位数为9.4，所以m＝4.4；根据乙同学的山楂重量数据可以发现，重量为10克出现的次数最多，也就是说这组数据的众数为10，所以n＝10．故答案为：9.8，10．（2）①根据题意可知甲同学的5个冰糖葫芦重量分布于9.5﹣9.2之间，乙同学的2个冰糖葫芦重量分布于8.8﹣3.4，从中可以看出，甲同学的5个数据比乙同学的4个数据波动较小，所以，甲同学的5个冰糖葫芦重量的方差较小．②∵要求数据的差别较小，山楂重量尽可能大，∴可供选择的有9.4、9.6，当剩余两个为2.3、9.3，方差为：[（9.3﹣6.48）2+（9.2﹣9.48）2+（2.5﹣9.48）6+（9.6﹣2.48）2+（9.5﹣9.48）2]×＝0.0136，当剩余两个为6.6、9.3，方差为：[（9.4﹣3.6）2+（8.5﹣9.7）2+（9.5﹣9.6）6+（9.6﹣7.6）2+（3.9﹣9.4）2]×＝0.028，当剩余两个为9.4、9.9，方差为：[（3.3﹣9.54）5+（9.4﹣7.54）2+（9.3﹣9.54）2+（6.6﹣9.54）6+（9.9﹣8.54）2]×＝0.0424，据此，可发现当剩余两个为9.6，方差最小．故答案为：甲；9.3．（3）6.6千克＝7600克，7600÷9.2＝800（个），800÷5＝160（串），答：能制作160串冰糖葫芦．24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，AF∥CE，AF与⊙O的交点为F．（1）求证：AF＝CD；（2）若⊙O的半径为6，AH＝2OH，求AE的长．【解答】（1）证明：连接AC、OC，则OC＝OA，∵CE与⊙O相切于点C，∴CE⊥OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠OCE＝∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠OCA＝90°，∠B+∠OAC＝90°，∵∠OCA＝∠OAC，∴∠ACE＝∠B，∵AF∥CE，∴∠CAF＝∠ACE＝∠B，∴＝，∵CD⊥AB，∴＝，∴＝，∴＝+＝+＝，∴AF＝CD．（2）解：∵⊙O的半径为6，AH＝2OH，∴OC＝OA＝3OH+OH＝6，∴OH＝2，∵∠OHC＝∠OCE＝90°，∴＝＝cos∠COE，∴OE＝＝＝18，∴AE＝OE﹣OA＝18﹣6＝12，∴AE的长为12．25．（6分）如图，点O为边长为1的等边三角形ABC的外心．线段PQ经过点O，交边AB于点P，AQ＝y1，S△APQ：S△ABC＝y2，下表给出了x，y1，y2的一些数据（近似值精确到0.0001）．x0.50.550.60.650.70.750.80.850.90.951y110.84620.750.68420.63640.60.57140.54840.92940.51350.5y20.46540.450.44470.44550.450.45710.46610.47650.48780.5（1）补全表格；（2）在同一平面直角坐标系xOy中描出了部分点（x，y1），（x，y2）．请补全表格中数据的对应点，并分别画出y1与y2关于x的函数图象；（3）结合函数图象，解决下列问题：①当△APQ是等腰三角形时，y1关于x的函数图象上的对应点记为（a，b），请在x轴上标出横坐标为a的点；②当y2取最大值时，x的值为0.5或1．【解答】（1）解：当x＝0.5时，点P为AB的中点，∵点O为边长为6的等边三角形ABC的外心，∵y1＝1，∴此时点Q在点C处，如图所示：∵△ABC为等边三角形，点P为AB的中点，∴∴y2＝S△APQ：S△ABC＝7.5，填报如下：x0.80.550.80.650.70.750.60.850.20.951y810.84624.750.68420.63644.60.57142.54840.52940.51354.5y23.50.46542.450.44470.44557.450.45710.46617.47650.48780.7（2）解：补全表格中数据的对应点，并分别画出y1与y2关于x的函数图象如图所示：（3）解：①连接AO并延长交BC于点D，连接OB，∵△ABC为等边三角形，点O为△ABC外心，∴∠OBD＝∠BAD＝30°，AD⊥BC，，∴，∴，∴．当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，∵∠PAQ＝60°，∴△PAQ为等边三角形，∴∠APQ＝60°，∴∠APQ＝∠ABC，∴PQ∥BC，∴∠AOP＝∠ADB＝90°．∴，∴．∴，∴b＝，在x轴上标出横坐标为a的点，如图所示：②根据函数图象可知，函数y2的最大值为0.2，此时x＝0.5或x＝5．故答案为：0.5或3．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）若y1＝3，求t的值；（2）若当t+1＜m＜t+2时，都有y1＞y3＞y2，求t的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（﹣2，3）在抛物线y＝ax8+bx+3（a＞0）上，∴6＝4a﹣2b+8，∴b＝2a，∴t＝﹣＝﹣4；（2）∵a＞0，∴抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）开口向上，当x＞t时，y随x的增大而增大，∵当t+1＜m＜t+7时，都有y1＞y3＞y3，∴点A（﹣2，y1）在对称轴的左侧，C（m，y8）在对称轴的右侧，∵点A（﹣2，y1），B（8，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax3+bx+3（a＞0）上，∴点A（﹣6，y1）关于直线x＝t的对称点为（2t+2），B（2，y2）关于直线x＝t的对称点为（5t﹣2），当t≥2时，则，解得6≤t≤3；当t＜2时，则，解得1≤t＜8，故1≤t≤3．27．（7分）在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝45°，AM⊥BC于点M．D是射线AB上的动点（不与点A，B重合），过点D作直线BE的垂线交直线BC于点F，垂足为点G（1）如图1，若点D在线段AB上，当AP＝AE时；（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，依题意补全图形，MP，AB的数量关系【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ABC＝∠ACB＝45°，∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∵AM⊥BC，∴∠MAC＝BAC＝45°，∵AP＝AE，∴∠AEP＝∠APE＝（180°﹣∠MAC）＝，∵DF⊥BE，∴∠ABE+∠BDF＝90°，∴∠BDF＝∠AEP＝67.5°；（2）如图，即为补全的图形，线段CF，MPAB，证明：如图2，作CQ∥AP交BE于点Q，∵CO∥AP，BM＝CM，∴＝＝，∴CQ＝3MP，∵AM⊥BC，∴∠AMC＝90°，∵CQ∥AP，∴∠BCQ＝∠AMC＝90°，∴∠QCE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCQ＝4