高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系充分条件与必要条件学案理（含解析）新人教A版

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件2019考纲考题考情1．命题(1)命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。(2)四种命题及相互关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系。2．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qDeq\o(⇒,/)pp是q的必要不充分条件pDeq\o(⇒,/)q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件pDeq\o(⇒,/)q且qDeq\o(⇒,/)p1．否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论。2．区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且BD⇒/A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AD⇒/B)两者的不同。3．A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件。4．充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件。(3)若A＝B，则p是q的充要条件。一、走进教材1．(选修1－1P8A组T2改编)命题“若x2>y2，则x>yA．“若x<y，则x2<y2” B．“若x>y，则x2>yC．“若x≤y，则x2≤y2” D．“若x≥y，则x2≥y解析根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”答案C2．(选修1－1P10练习T3(2)改编)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2。故选B。答案B二、走近高考3．(2018·天津高考)设x∈R，则“x3>8”是“|x|>2”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析由x3>8可得x>2，由|x|>2可得x>2或x<－2。故“x3>8”是“|x|>2”的充分而不必要条件。故选A。答案A4．(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析a，b，c，d是非零实数，若ad＝bc，则eq\f(b,a)＝eq\f(d,c)，此时a，b，c，d不一定成等比数列；反之，若a，b，c，d成等比数列，则eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，所以ad＝bc，所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件，故选B。答案B三、走出误区微提醒：①对“p∧q”的否定出错；②分类讨论不全面；③充分条件与必要条件的判定出错。5．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是____________。解析“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，又a＝b＝0的实质为a＝0且b＝0，故其否定为a≠0或b≠0。答案若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠06．若命题“ax2－2ax－3≤0成立”是真命题，则实数a的取值范围是________。解析由已知可得ax2－2ax－3≤0恒成立。当a＝0时，－3≤0恒成立；当a≠0时，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ＝4a2＋12a≤0，))解得－3≤a<0。故－3≤a≤0。答案[－3,0]7．“a＝0”是“函数f(x)＝sinx－eq\f(1,x)＋a为奇函数”的________条件。解析显然a＝0时，f(x)＝sinx－eq\f(1,x)为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0。又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－eq\f(1,－x)＋a＋sinx－eq\f(1,x)＋a＝0。因此2a＝0，故a＝0。所以“a＝0”是“函数f(x)＝sinx－eq\f(1,x)＋a为奇函数”的充要条件。答案充要考点一四种命题及其关系【例1】(1)(2019·西安八校联考)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题 B．否命题C．逆否命题 D．否定(2)原命题为“若eq\f(an＋an＋1,2)<an，n∈N*，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，真，真 B．假，假，真C．真，真，假 D．假，假，假解析(1)命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题。(2)原命题即“若an＋1<an，n∈N*，则{an}为递减数列”为真命题，则其逆否命题为真，逆命题是：“若{an}为递减数列，n∈N*，则an＋1<an”为真命题，所以否命题也为真命题。答案(1)B(2)A1．写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提。2．(1)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断。【变式训练】(1)(2019·武汉模拟)对于原命题“正弦函数不是分段函数”，下列叙述正确的是()A．否命题是“正弦函数是分段函数”B．逆命题是“分段函数不是正弦函数”C．逆否命题是“分段函数是正弦函数”D．以上都不正确(2)设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题解析(1)原命题可写成“若一个函数是正弦函数，则该函数不是分段函数”，否命题为“若一个函数不是正弦函数，则该函数是分段函数”，逆命题为“若一个函数不是分段函数，则该函数是正弦函数”，逆否命题为“若一个函数是分段函数，则该函数不是正弦函数”，可知A、B、C都是错误的。故选D。(2)可以考虑原命题的逆否命题，即a，b都小于1，则a＋b<2，显然为真。其逆命题，即若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2为假，如a＝1.2，b＝0.2，则a＋b<2。故选A。答案(1)D(2)A考点二充分条件与必要条件的判定【例2】(1)(2019·成都市毕业班模拟)“φ＝－eq\f(π,4)”是“函数f(x)＝cos(3x－φ)的图象关于直线x＝eq\f(π,4)对称”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(2)已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(3)若集合A＝{x|x－x2>0}，B＝{x|(x＋1)(m－x)>0}，则“m>1”是“A∩B≠∅”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,4)对称，则eq\f(3π,4)－φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝eq\f(3π,4)－kπ，k∈Z，故“φ＝－eq\f(π,4)”是“函数f(x)＝cos(3x－φ)的图象关于直线x＝eq\f(π,4)对称”的充分不必要条件。故选A。(2)因为p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1。因为綈q⇒綈p，但綈pD⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件。故选A。(3)化简集合A＝{x|0<x<1}，若m>1，则B＝{x|－1<x<m}，此时A∩B≠∅，反之，若A∩B≠∅，则m>0，因(1，＋∞)⊂(0，＋∞)。故选A。答案(1)A(2)A(3)A充要条件的三种判断方法1．定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断。2．集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断。3．等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断。这个方法特别适合以否定形式给出的问题。【变式训练】(1)(2019·石家庄市质量检测)已知p：－1<x<2，q：log2x<1，则p是q成立的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≥－1，,ln－x，x<－1，))则“x＝0”是“f(x)＝1”的()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件(3)(2019·南昌调研)已知m，n为两个非零向量，则“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析(1)由log2x<1，解得0<x<2，所以p是q成立的必要不充分条件。故选B。(2)若x＝0，则f(0)＝e0＝1；若f(x)＝1，则ex＝1或ln(－x)＝1，解得x＝0或x＝－e。故“x＝0”是“f(x)＝1”的充分不必要条件。故选B。(3)当m与n反向时，m·n<0，而|m·n|>0，故充分性不成立。若m·n＝|m·n|，则m·n＝|m|·|n|cos〈m，n〉＝|m|·|n||cos〈m，n〉|，则cos〈m，n〉＝|cos〈m，n〉|，故cos〈m，n〉≥0，即0°≤〈m，n〉≤90°，此时m与n不一定共线，即必要性不成立。故“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的既不充分也不必要条件，故选D。答案(1)B(2)B(3)D考点三充分条件、必要条件的应用【例3】(1)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－a，x≤1，,x－a，x>1，))则函数f(x)有两个零点成立的充分不必要条件是a∈()A．[1,2] B．(1,2]C．(1,2) D．(0,1](2)已知集合A＝，B＝{x|log3(x＋a)≥1}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________。解析(1)因为函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－a，x≤1，,x－a，x>1，))所以函数f(x)有两个零点等价于函数g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≤1，,x，x>1))的图象与直线y＝a的图象有两个交点，绘制函数g(x)的图象如图所示，结合函数图象可得1<a≤2，所以a∈(1,2)是函数f(x)有两个零点成立的充分不必要条件。故选C。(2)由≤1，得x2－x－6≥0，解得x≤－2或x≥3，故A＝{x|x≤－2或x≥3}。由log3(x＋a)≥1，得x＋a≥3，即x≥3－a，故B＝{x|x≥3－a}。由题意可知BA，所以3－a≥3，解得a≤0。故实数a的取值范围是(－∞，0]。答案(1)C(2)(－∞，0]根据充分、必要条件求参数范围的思路方法1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解。2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象。【变式训练】设集合P＝{t|数列{n2＋tn(n∈N*)}单调递增}，集合Q＝{t|函数f(x)＝kx2＋tx在区间[1，＋∞)上单调递增，k≠0}，若t∈P是t∈Q的充分不必要条件，则实数k的最小值为________。解析因为数列{n2＋tn}(n∈N*)单调递增，所以(n＋1)2＋t(n＋1)>n2＋tn，解得t>－2n－1，又n∈N*，所以t>－3。因为函数f(x)＝kx2＋tx(k≠0)在区间[1，＋∞)上单调递增，且其图象的对称轴为直线x＝－eq\f(t,2k)，所以－eq\f(t,2k)≤1，且k>0，故t≥－2k，所以－2k≤－3，即k≥eq\f(3,2)，故实数k的最小值为eq\f(3,2)。答案eq\f(3,2)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(教师备用题))1．(配合例1使用)命题p：“若a≥b，则a＋b>2018且a>－b”的逆否命题是()A．若a＋b≤2018且a≤－b，则a<bB．若a＋b≤2018且a≤－b，则a>bC．若a＋b≤2018或a≤－b，则a<bD．若a＋b≤2018或a≤－b，则a>b解析根据逆否命题的写法可得命题p：“若a≥b，则a＋b>2018且a>－b”的逆否命题是“若a＋b≤2018或a≤－b，则a<b”。故选C。答案C2．(配合例1使用)下列有关命题的说法正确的是()A．命题“若x2＝4，则x＝2”的否命题为“若x2＝4，则x≠2”B．命题“∃x∈R，x2＋2x－1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x－1>0”C．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为假命题D．若“p∨q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题解析一个命题的否命题是对命题的条件和结论同时否定，对于A，只否定了结论，未否定条件，故A项错误；对于B，命题“∃x∈R，x2＋2x－1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x－1≥0”，故B项错误；对于C，命题“若x＝y，则sinx＝siny”是真命题，所以该命题的逆否命题为真命题，故C项错误；对于D，若“p∨q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题是正确的。故选D。答案D3．(配合例2使用)已知数列{an}，{bn}满足