近世代数题库

PAGEPAGE1群一、填空题1.设是复数集到复数集的一个映射,则={_______}.2.设=(134),=(13)(24),则=____________________.3.群的元素的阶是，的阶是，，则，如果=1，则_____.4.设<>是任意一个循环群.若||=，则<>与________________同构；若||=n，则<>与______________同构.5.设=（14）（235），=（153）（24），则||=____，=______.6.设群的阶为，，则.7.设“～”是集合的一个关系，如果“～”满足_________________，则称“～”是的元素间的一个等价关系.8.设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)，是(奇、偶)置换.9.设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为.10.一个群的非空子集做成一个子群的充分必要条件是.11.设为群，若对于任意的元，都有，则称群为群.12.次对称群的阶是____________.13.设=<>是10阶循环群，则的全部生成元有，的子群有个，分别是.14.设是群的子群，，则.15.设=<>是循环群，则与整数加群同构的充要条件是.16．在3次对称群中，＝{(1),(123),(132)}是的一个正规子群，则商群中的元素(12)＝.17．如果是与间的一一映射，是的一个元，则.18.设集合有一个分类，其中与是的两个类，如果，那么.19.凯莱定理说：任一个群都与一个同构.20.设=<>是12阶循环群,则的生成元集合为｛｝.21.一个群的一个子群的右陪集（或左陪集）的个数叫做在中的.22.设是一个阶群，其中是素数，则的子群的一切可能的阶数是____.23.写出S的一个非平凡的正规子群_____.24.已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于.25.一个有限非可换群至少含有____________个元素.26.设是阶群（是素数），则的生成元有____________个.27.一个有限群中元素的个数叫做这个群的.28.设是实数集，规定的一个代数运算，（右边的乘法是普通乘法），就结合律、交换律而言，“”适合如下运算律：.29.设是群的子群，，则.30.写出三次对称群的子群的一切左陪集.31.如果是一个含有15个元素的群，那么，有个5阶子群，对于，则元素的阶只可能是___________.32.设是一个阶群，其中都是素数，则的真子群的一切可能的阶数是，的子群的一切可能的阶数是.33.已知群中的元素的阶等于，则的阶等于的充分必要条件是.34.设(，·)是一个群，那么对于，()－1＝___________.35.群中元素的阶为，的阶为，则=.36．若一个群的每一个元都是的某一个固定元的方幂，则称为.37．5-循环置换，那么.38．设为群，，且对于任意的，有，则叫做的正规子群.39.设为乘群，，则能够使得的最小正整数，叫做的___________.设为加群，，则能够使得的最小正整数，叫做的阶.40．设τ＝(1243)(235)，那么＝____.是(奇、偶)置换.41.设～是集合的元间的一个等价关系，它决定的一个分类：则所在的等价类={｝.42.设={}，则到的映射共有________个，到的一一映射共有________个，到的映射共有________个（上可以定义个代数运算）.43.设是6阶循环群，则的生成元有____________个.44.非零复数乘群中由生成的子群是____________.45.，，则的阶数等于.46．素数阶群的非平凡子群个数等于____________.47.设是一个阶交换群，是的一个（）阶元，则商群的阶等于.48.设是集合到集合的一个映射,则存在到的映射,使为;存在到的映射,使为.49.若群中的每个元素的阶都有限,则称为群.若群中除了单位元外,其余元素的阶都无限,则称为群.50.阶循环群有个生成元,有且仅有个子群.51.若,则阶循环群必有阶子群,其阶子群为.52.在同构意义下,4阶群只有两个,一个是4阶循环群,另一个是.53.在同构意义下,6阶群只有两个,一个是6阶循环群,另一个是.54.非交换群的每个子群都是其正规子群,则称为群.55.元置换的阶为，.二、选择题1.设(实数集)，如果到的映射,则是从到的（）.A)满射而非单射;B)单射而非满射;C)一一映射; D)既非单射也非满射.2.中可以与(123)交换的所有元素有（）.A)(1),(123),(132);B)(12),(13),(23);C)(1),(123);D)中的所有元素.3.设是以15为模的剩余类加群，那么的子群共有（）个.A)2 B)4C)6 D)8.4.设和都是群中的元素且，那么（）.A)B)C)D).5.设是复数集到复数集的一个映射.如果对任意的复数，有，则=().A){1，-1};B){，-};C){1，-1，，-};D)空集. 6.设={所有实数}，的代数运算是普通乘法，则以下映射作成到的一个子集的同态满射的是().A) B)C) D).7.设是实数集，定义乘法，这里为中固定的常数,那么群中的单位元和元的逆元分别是（）.A)1和；B)1和0；C)-和；D)和.8.下面的集合对于给定的代数运算不能成为群的是().A)全体整数对于普通减法;B)全体不为零的有理数对于普通乘法;C)全体整数对于普通加法;D)1的3次单位根的全体对于普通乘法.9.设是群,是群中的任意三个元素,则下面阶数可能不相等的元素对为().A)B)C)D).10.设是实数集合,规定的元素间的四个关系如下,()是的等价关系.A);B);C);D)<0.11.设是一个半群，则下面的哪一个不是做成群的充要条件().A)中有左单位元，同时中的每个元素都有左逆元；B)对于中任意元素和，中恰好有一个元素满足=；同时中恰好有一个元素y满足y=；C)中有单位元，同时中的每个元素都有逆元；D)在中两个消去律成立.12.设是群的子群，且有左陪集分类.如果子群H的阶是6，那么的阶（）.A)6B)24C)10D)1213.三次对称群={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}，那么下面关于的四个论述中，正确的个数是().(1)是交换群；(2)的2阶互异子群有三个；(3)的3阶互异子群有两个；(4)的元素(123)和(132)生成相同的循环群.A)1B)2C)314.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（）个。A)2 B)4C)6 D)815.指出下列那些运算是二元运算（）A)在整数集上，；B)在有理数集上，；C)在正实数集上，；D)在集合上，.16.设是整数集上的二元运算，其中（即取与中的最大者），那么在中（）.A)不适合交换律；B)适合结合律；C)存在单位元；D)每个元都有逆元.17.设是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（）.A)的同态核是的不变子群；B)的不变子群的逆象是的不变子群；C)的子群的象是的子群；D)的不变子群的象是的不变子群.18.设是两个带有乘法的非空集合，且～，则下列结论不正确的是().A)是群时，也是一个群； B)是群时，也是一个群； C)是交换群时，也是交换群； D)的单位元的象是的单位元.19.设为实数集，位正实数集，如果到的映射，，则是从到的（）.A）满射而非单射; B)单射而非满射;C)一一映射;D)既非单射也非满射.20.设是实数集，定义乘法，那么群中的单位元和元的逆元分别是（）.A)1和1；B)1和；C)0和；D)-1和.21.设是群的正规子群，且关于的商群为五阶群.如果子群的阶是6，那么群的阶（）.A)6B)36C)30D)25.22.设集合含有个元素，那么的子集共有()个.A)! B)C) D).23.下列法则，()是集合的代数运算.A)=B)=C)=D)=.24.设={},中规定一个代数运算如下表，。c

则关于所给代数运算作成的代数系统中的单位元和可逆元素分别为().A)，与B)，与C)，与D)，与.25.(素数)阶有限群的子群个数为().A)0B)1C)2D)26.6元置换（23）（1356）的阶数为（）A)2B)4C)5D)27.是正有理数集合，下列规定不是的关系的是（）A)是整数；B)4C)5D)28.设集合含有个元素，那么的代数运算共有()个.A)! B)C) D)三、判断题（）1.设是正整数集，规定，则是的元间的一个等价关系.（）2.如果群中的每个元素都满足方程，则必是交换群.（）3.一个非交换群至少要有6个元素．（）4.群的任意个子群的交仍是的一个子群.（）5.四次交代群中存在6阶子群.（）6.设是非空集合，则到的每个映射都叫作上的二元运算.（）7.是到的单射，则有唯一的逆映射.（）8.如果循环群中生成元的阶是无限的，则与整数加群同构.（）9.如果群的子群是循环群，那么也是循环群.（）10.群的子群是正规子群的充要条件为.（）11.阶为两个互异素数乘积的交换群一定是循环群．（）12.集合的一个关系可以决定的一个分类．（）13.有限群的任一元素的阶整除的阶．（）14.整数集按照普通乘法可以构成一个群.（）15.循环群﹤﹥中生成元的阶是无限的，则与整数加群同构．（）16.有限群的任一子群的阶都能整除的阶．（）17.是一个群，是的正规子群，则与中元素相乘可交换．（）18.在一个群中，消去律不一定成立.（）19.任何一个循环置换的阶是.（）20.集合的一个分类决定的元间的一个等价关系；反之，集合的元间的一个等价关系也决定的一个分类.（）21．阶为素数的群一定是循环群，循环群的阶也一定是素数.（）22．群的子群在中的指数为2，则一定是的正规子群.（）23．设为集合到的满射，则：若是的逆象,一定是的象;若是的象，也一定是的逆象.（）24．是群的正规子群，是的正规子群，则是群的正规子群.（）25．一个群同它的每一个商群同态.（）26．一个群的子群的左陪集个数和右陪集个数不一定相同.（）27．群的两个正规子群的交集还是正规子群.（）28．循环群的子群也一定是循环群.（）29．全体有理数作成的集合对于普通乘法来说做成一个群.（）30.设为群，它的两个正规子群的交和乘积还是正规子群.（）31.一个循环群一定是一个交换群.（）32.一个群的两个不同的子集一定不会生成相同的子群.（）33.有理数加群与非零有理数乘群同构.（）34.无限循环群可与任何循环群同构.（）35.设是集合到集合的任意一个映射,为的非空子集,则.（）36.设是集合到集合的任意一个映射,为的非空子集,则.（）37.设是集合到集合的任意一个映射,，为的两个非空子集,则.（）38.为一个群,为有限阶元,,则.（）39.为交换群,且中所有元素有最大阶,则有.（）40.为一个群,为有限阶元,则为有限阶元.（）41.在一个有限群里,阶大于2的元素个数必为偶数.（）42.偶数阶群必有2阶元.（）43.设是群的3个子群,则.（）44.设是群的3个子群,则.（）45.交换群中所有有限阶元作成一个子群.（）46.群中所有有限阶元作成一个子群.（）47.任何群都不能是两个真子群的并.（）48.任何群都不能是三个真子群的并.（）49.有限群的元素的阶都有限.（）50.无限群至少有一个无限阶元.（）51.集合的变换群含有的单射变换,则必为双射变换群.（）52.集合的变换群可能既含有的双射变换,又含有的非双射变换.（）53.,集合的全体非双射变换关于变换的乘法作成一个变换群.（）54.互不同构的阶群只有有限个.（）55.不相连的置换相乘可交换.（）97.置换的阶为.（）56.当时,次对称群为无中心群.（）57.为一个群,为关于的一个左陪集代表系,则也是关于的一个右陪集代表系.（）58.设为一个群,有限，则（）59.设为一个有限群,则.（）60.为阶群,,则必有阶子群.（）61.阶(为互异素数)交换群必为循环群.（）62.设为群到的同态满射,与有相同的阶.（）63.设与各有一个代数运算,且～,是群,则也是群.（）64.素数阶群是单群.（）65.设是群到群的一个同态映射,,则.（）66.设是群到群的一个同态满射,则的含的子群与的子群之间存在一一对应关系.（）67.任意一个无限集合可以与它的一个真子集之间建立一一对应关系.（）68.存在有限集合可以与它的一个真子集之间建立一一对应关系.（）69.两个有限集合之间存在双射的充要条件是它们的元素个数相等.（）70.设为群，它的两个子群的交和乘积还是子群.（）71.有限群中每个元素的阶都有限，无限群中必有无限阶元.（）72.一个置换群中要么都是偶置换，要么奇偶置换各半.（）73.设是两个群，且～，如果是有限群，则必是有限群，而且整除.（）74.整数加群和它的任意一个非零子群同构.（）75.在同构意义下,无限循环群只有一个.（）76.在同构意义下,阶循环群只有一个.环与域复习题一、填空题1.模12的剩余类环Z的特征是_______，它的全部单位为___________.2.设是有单位元的环,是中任一元素,则由生成的主理想<>=_____.3.模8的剩余类环上的二次多项式在内的所有根为____________.4.设是交换环，是的任意一个元素，则由所生成的主理想<>的元素表达形式为______.5.设高斯整数环，其中＝－1，则中的所有单位______.6.设Z6＝{}是模6的剩余类环，则Z6中的所有零因子是_____.7.若是一个有单位元的交换环，是的一个理想，那么是一个域当且仅当是.8.设是一个无零因子的环，其特征是一个有限数，那么是______.9.除环的理想共有____________个.10．一个无零因子的称为整环.11.设是整系数多项式环，是由多项式生成的主理想，则＝__.12.设是一含有4个元的域，则的特征是.13.剩余类环Z6的子环S={,,}的单位元是____________.14.一个环的一个不等于的理想叫做一个，假如除了同自己外，没有包含的理想.15.一个交换除环叫做一个.16.实数域的全部理想是.17.一个环的非空子集做成一个子环的充分必要条件.18.剩余类环Z的零因子个数等于____，Z的零因子个数等于____________.19.当是有单位元的交换环时,生成的主理想.20．整环的一个元叫做的一个，假如是一个有逆元的元.21．一个整环叫做一个，假如的每一个理想都是一个主理想.22．设为环，，，且，则叫做环的，叫做环的___________________.25.一个无零因子环的非零元相同的（对于加法）阶，叫做环的..26.设是一个含有个元的域，则的特征是.27.剩余类环的子环={},则的单位元是____________.28.是一个特征为的环，,则____________.29.是一个单环，则有时，是一个域.30.是环的理想，是单环的充分必要条件是.31.是有单位元的整环,，则有子环与整数环同构；，则有子环与模剩余类环同构。32.是一个无零因子环，，则的特征必为____________.二、选择题1.下列集合关于所给的运算不作成环的是（）.A）整系数多项式全体关于多项式的加法与乘法;B）有理数域上的阶矩阵全体关于矩阵的加法与乘法;C）整数集关于数的加法和新给定的乘法“”：;D）整数集关于数的加法和新给定的乘法“”：.2.设是环同态满射，，那么下列结论错误的为（）.A)若是零元，则是零元；B)若是单位元，则是单位元；C)若不是零因子，则不是零因子；D)若是不交换的，则不交换.3.整数环Z中，可逆元的个数是().A)1个 B)2个 C)4个 D)无限个.4.设是一个四元域,则域的特征为().A)1B)2C)4D)0.5.下面的四个群中,不是循环群的是().A)模12的剩余类加群;B)整数加群;C)U(Z);D)U(Z).6.下面哪一个环必定是域().A)整数环;B)Z;C)Z;D)四元数除环.7.模10的剩余类环上二阶全阵环中以下元素可逆的是（）．A)；B)；C)；D)．8.以下命题中，正确的是().A)任意一个环，必含有单位元;B)环中至多有一个单位元;C)环有单位元，则它的子环也有单位元;D)一个环与其子环都有单位元，则两个单位元一定相同.9.下列理想不是偶数环的素理想的是（）A)〈4〉;B)〈6〉;C)｛0｝;D).10.下列命题正确的个数为（）A)1;B)2;C)3;D)4.①整数环的非平凡素理想都是极大理想；②整数环上的一元多项式环的非平凡素理想都是极大理想；③数域上的一元多项式环的主理想〈〉是极大理想；④是一个有单位元的交换环，是的理想，是域，则是的极大理想.三、判断题（）1.除环是单环.（）2.有限除环必为域.（）3.一般的环中以下运算规则成立：.（）4.域和其子域有相同的单位元.（）5.除环是无零因子环.（）6.如果环的阶，那么的单位元.（）7.若环满足左消去律，那么必定没有右零因子.（）8．一个环的理想必是一个子环，子环未必是理想.（）9．一个环没有零因子，则它的同态象也没有零因子．（）10．一个环有单位元，则它的子环也有单位元．（）11．如果环没有右零因子，则在环上左消去律成立．（）12．是环的理想，是的理想，则必是环的理想．（）13．是整数环，的理想等于由4生成的主理想﹤4﹥．（）14．如果环没有左零因子，则在环上右消去律成立．（）15．一个环的两个子环都有单位元，则它们的单位元必定一致．（）16．域与域同构．（）17．是偶数环，的理想等于由4生成的主理想〈4〉.（）18．设是整数环，则<2，>是的一个主理想．（）19．设是有理数环，则<2，>是的一个主理想．（）20．除环的所有非零元集关于的乘法构成一个群．（）21.设为整数环，为素数，则为域.（）22.若无零因子环的特征是有限整数，则一定是素数.（）23.除环或域里一定没有零因子.（）24.一个除环一定是一个整环.（）25.一个环中可能没有单位元，但若有单位元，则单位元必是唯一的.（）26.若有单位元()的交换环除了零理想同单位理想以外没有其它的理想，那么一定是一个域．（）27.是的极大理想.（）28.是的极大理想.（）29.是有单位元的交换环,则中方阵在中可逆的充要条件是在中可逆.（）30.是有单位元的环,1是的单位元,则1对加法的阶数就是的特征.（）31.设是一个环,,对,方程在中有解,则为一个除环.（）32.设是有单位元的环,且,则是单环的充要条件是全阵环是单环.（）33.为偶数环,是的极大理想,从而是一个域.（）34.为偶数环,的极大理想只有为素数.（）35.为偶数环,的素理想只有和.（）36.整数环的每个理想都是主理想.（）37.域上的多项式环的每个理想都是主理想.（）38.整数环上的多项式环的每个理想都是主理想.（）39.一个环与它的子环都有单位元，则它们的单位元一致.（）40.一个域和他的子域有相同的单位元.（）41.一个环的同态象没有零因子，则这个环没有零因子.（）42.有限环的特征必有限，无限环的特征必无限.（）43.是一个有单位元的交换环，，当时，可逆.（）44.整数环和它的任意一个非零子环同构.（）45.剩余类环的子环={}是有单位元的环.（）46.在中,因为,所以只有两个根.（）47.有单位元交换环的极大理想必为素理想.（）48.域的所有非零元集合关于的乘法构成一个交换群．（）49.环的中心必是环的理想.（）50．一个域不一定是一个整环.