2023-2024学年广东省东莞市虎门外语学校高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省东莞市虎门外语学校高一（下）月考数学试卷（3月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z1=(m2−1)+(m2A.m=±1 B.复数z2在复平面内对应的点在第一象限

C.2.已知向量a=(1,2)，b=A.2 B.5 C.103.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=23，b=A.60° B.60°或120° C.30° 4.若|a|=3，|b|=3，向量a与向量b的夹角为150A.32b B.−32b 5.如图，在三棱锥P−ABC中，AB=AC=2，S△AB

A.22 B.23 C.6.如图，△ABC是等边三角形，D在线段BC上，且BD=2DC，E为线段ADA.76AB−16AC

7.设P为△ABC内的点，且AP=35AA.15 B.45 C.148.如图ABCDEF为五面体，其中四边形ABCD为矩形，EF/A.723 B.423二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，下列说法正确的是(

)A.若|z1|>|z2|，则z12>z22

B.若z2≠0，则|z10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是A.若a2+c2−b2>0，则△ABC为锐角三角形

B.若△ABC为锐角三角形，则11.在△ABC中，∠A=π2,BA⋅BA.S△ABC=12

B.若m=14，则|AP|的最小值为2

C.若m=114，设AP=xAB+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若z1=1−i,z2=z1−(13.如图，为了测量河对岸的塔AB的高度，某人选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得CD=30m；∠BCD=30°，∠BDC

14.在等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB=2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，AD为角平分线，D在线段BC上．

(1)求AD的长度；

16.(本小题15分)

将形如a11a12a21a22的符号称为二阶行列式，现规定二阶行列式的运算如下：a11a12a21a22=a11a22−a12a21.已知两个不共线的向量a，b的夹角为θ，|a|=6，|b|17.(本小题15分)

如图，斜坐标系xOy中，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，且e1，e2的夹角为120°，定义向量OP=xe1+ye2在斜坐标系xOy中的坐标为有序数对(x,y).在斜坐标系xOy中完成下列问题：

(1)若向量OP的坐标为(2,3)18.(本小题17分)

在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直(满足∠BAD=90°)，灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且∠ABC=120°，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD=60°，路宽AD=12m.设灯柱高AB=h(m)，∠A19.(本小题17分)

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且2S=a2−(b−c答案和解析1.【答案】C

【解析】解：∵z1=(m2−1)+(m2+2m−3)i为纯虚数，

∴m2−1=0m2+2m−3≠0，解得m=−1，故A错误，

∴2.【答案】B

【解析】解：根据题意，向量a=(1,2)，b=(−2,t)，且a/​/b，

则有t=2×(−2)=3.【答案】C

【解析】解：在△ABC中，a=23，b=2，A=60°，

所以由正弦定理得asinA=23sin60°=44.【答案】D

【解析】解：∵|a|=3,|b|=3,<a,b>=150°5.【答案】D

【解析】解：根据题意，在三棱锥P−ABC中，AB=AC=2，S△ABC=1，

则有S△ABC=12A6.【答案】D

【解析】解：∵D在线段BC上，且BD=2DC，∴S△ACD=12S△ABD，

又△ABE与△ACD的面积相等，∴S△ABE=12S△A7.【答案】A

【解析】解：如图，分别在线段AB，AC上取点D，E，

使得|AD||AB|=35，|AE||AC|=15，

则AD=35AB，AE=15AC．

由条件有AP=35AB+15AC，

故AP=AD+AE，所以四边形ADP8.【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查了空间几何体的体积求法，以及割补法的运用，同时考查了空间想象能力和运算求解能力，属于中档题．

过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC中点P，连接OP，PF，过O作BC的平行线QH，交AB于点Q，交C【解答】

解：过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC中点P，连接OP，PF，

过O作BC的平行线QH，交AB于点Q，交CD于H，

因为32|AD|=3，所以|AD|=2，

因为△ADE和△BCF都是正三角形，边长为2，

所以|OP|=|QB|=9.【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查复数的相关性质，属中档题．

根据复数的运算法则结合选项进行分析计算即可．【解答】

解：对于A，若z1=1+2i，z2=1+i，满足|z1|>|z2|，

但z12=−3+4i，z22=2i，两者不能用大、小于号连接，A错误；

对于B，设z1=a+bi，z2=c+di，

则|z1z210.【答案】BD【解析】解：由于a2+c2−b2>0，则cosB=a2+c2−b22ac>0，由于B∈(0,π)，所以0<B<π2，不一定说明△ABC为锐角三角形，故A错误；

对于B：△ABC为锐角三角形，则A+B>π2，所以A>π2−B，故sinA>sin(π2−11.【答案】BC【解析】解：对于A，因为，∠A=π2,BA⋅BC=9，且cosC=45，

所以|BA||BC|cosB=|BA||BC×35=9，则|BA||BC|=15，

又sinC=|BA||BC|=35，则|BC|=5,|BA|=3,|AC|=4，

所以S△ABC=12×3×4=6，选项A错误；

对于B，取BC中点M，则PB⋅PC=(PM+MB)⋅(PM−MB)=|PM|2−|MB|2=|PM|2−254，

当m=14时，|PM|2=14+254=814，

则点P的轨迹是以点M为圆心，92为半径的圆，

则|AP|min=92−|AM|=92−52=2，选项B正确；

对于12.【答案】2【解析】解：根据题意，若z1=1−i,z2=z1−(13.【答案】15(【解析】解：在△BCD中，CD=30m，∠BCD=30°，∠BDC=105°，∠CBD=180°−30°−105°=45°，

由正弦定理，得BCsin∠14.【答案】3【解析】解：根据题意，以A为原点，射线AB为x轴正半轴建立直角坐标系，如图所示，

则B(2,0)，C(32,32)，设P(a,3a)，其中0≤a≤12；

PB=(2−a,−3a)，PC=15.【答案】解：(1)根据角平分线定理：BDDC=ABAC=21，

所以BDBC=23，

所以AD=AB+BD=AB+2【解析】(1)根据角平分线定理，结合平面向量数量积的定义和运算性质、平面向量基本定理进行求解即可；

(2)根据平面共线向量的性质，结合16.【答案】解：(1)由题意，因为t2sinπ42cosπ31=1，可得t−22sinπ4cosπ3=t−1=1，

解得t=2，即|b|=2，则a⋅b=6×2cosθ=12cosθ，【解析】(1)根据题意得到t−22sinπ4cosπ3=1，求得t=2，即|b|=2，进而化简(17.【答案】解：(1)由题知OP=(2,3)=2e1+3e2，

故|OP|=OP2=(2e1+3e2)2=4e12+12e1⋅e2+9e22=7．

(2)由题知OM=x1e1+y1e2,ON=x2e1+y2e2，

命题①是真命题．

a.当ON=x2e1+y2e2=0时，即x2=y2=0，显然x1y2−x2y【解析】(1)直接利用向量的坐标运算的应用求出结果；

(218.【答案】解：(1)当θ=30°时，∠BAC=180°−120°−30°=30°，

∴AB=BC，

又∠CAD=90°−∠BAC=60°，

∴△ACD是等边三角形，∴AC=AD=12，

∴在△ABC中，ABsin∠ACB=BCsin∠BAC=ACsin∠ABC，