八年级数学下册19.2.3一次函数与方程、不等式八大题型（解析版）

19.2.3一次函数与方程、不等式一次函数与一元一次方程的关系一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.

从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.方程组解的几何意义1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况：根据交点的个数，看出方程组的解的个数；根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．题型1：一次函数图象与一元一次方程的解1.（2023春·八年级课时练习）如图是一次函数的图象，则关于的一次方程的解是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的图象得出一次函数与轴的交点坐标是，把坐标代入函数解析式，求出，再求出方程的解即可．【详解】解：从图象可知：一次函数与轴的交点坐标是，代入函数解析式得：，解得：，即，当时，，解得：，即关于的一次方程的解是，故选：D．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．【变式1-1】如图所示，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点P（3，2），则方程kx+b＝2的解是（）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．无法确定【分析】根据点P的坐标即可得出答案．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点P（3，2），∴当y＝2时，x＝3，即方程kx+b＝2的解为x＝3，故选：C．【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，体现了数形结合的思想，理解点P的坐标的意思是解题的关键．【变式1-2】已知一次函数y＝kx+b（k≠0），如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（）x…﹣1.5012…y…631﹣1…A．y随x的增大而增大 B．该函数的图象经过一、二、三象限 C．关于x的方程kx+b＝1的解是x＝1 D．该函数的图象与y轴的交点是（0，2）【分析】先把两个点的坐标代入y＝kx+b，求出k、b的值，得出函数解析式是y＝﹣2x+3，再逐个判断即可．【解答】解：由表可知：函数图象过点（0，3），（1，1），把点的坐标代入y＝kx+b得：，解得：k＝﹣2，b＝3，即函数的解析式是y＝﹣2x+3，A．∵k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，故本选项不符合题意；B．∵k＝﹣2，b＝3，∴函数的图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意；C．当y＝1时，﹣2x+3＝1，解得：x＝1，即方程kx+b＝1的解是x＝1，故本选项符合题意；D．∵b＝3，∴函数的图象与y轴的交点坐标是（0，3），故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，解一元一次方程等知识点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．【变式1-3】如图，根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案：（1）关于x的方程kx+b＝0的解；（2）当x＝1时，代数式kx+b的值；（3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解．【分析】（1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可；（2）利用函数图象写出x＝1时对应的函数值即可（3）利用函数图象写出函数值为﹣3时对应的自变量的值即可．【解答】解：（1）当x＝2时，y＝0，所以方程kx+b＝0的解为x＝2；（2）当x＝1时，y＝﹣1，所以代数式kx+b的值为﹣1；（3）当x＝﹣1时，y＝﹣3，所以方程kx+b＝﹣3的解为x＝﹣1．【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，利用数形结合是求解的关键题型2：解一元一次方程与一次函数坐标轴交点2.一元一次方程ax﹣b＝0的解是x＝3，函数y＝ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（a，0） D．（﹣b，0）【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴交点的横坐标值可得答案．【解答】解：∵一元一次方程ax﹣b＝0的解是x＝3，∴函数y＝ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（3，0），故选：A．【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握方程ax+b＝0的解就是一次函数y＝ax+b与x轴交点的横坐标值．【变式2-1】（2023·陕西·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据方程可知当x=2，y=0，从而可判断直线y=-2x+b经过点（2，0）．【详解】解：由方程的解可知：当x=2时，-2x+b=0，即当x=2，y=0，∴直线y=-2x+b的图象一定经过点（2，0），故选：A．【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．【变式2-2】（2023春·全国·八年级专题练习）已知方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】关于的一元一次方程的根是，即时，函数值为，所以直线过点，于是得到一次函数的图象与轴交点的坐标．【详解】解：方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为，故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值．【变式2-3】已知一次函数y＝2x﹣1的图象如图所示，请根据图象解决下列问题：（1）写出一次函数的图象与x轴y轴的交点坐标；（2）写出方程2x﹣1＝3的解；【分析】确定坐标轴的交点坐标、观察图象与x轴的位置关系，即可求解．【解答】解：（1）从图象看，x＝0，y＝﹣1；y＝0，x＝；故一次函数的图象与x轴y轴的交点坐标分别为（，0），（0，﹣1）；（2）从图象看，当x＝2时，y＝3；∴方程2x﹣1＝3的解为x＝2；【点评】本题考查的是一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，通过观察图象求解不等式问题，是此类问题的一般方法一次函数与一元一次不等式由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.注意：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.如何确定两个不等式的大小关系：（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．题型3：一次函数图象与一元一次不等式解集3.（2023·福建宁德·校考二模）直线的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据图象可确定时，图象所在位置，进而可得答案．【详解】解：当时，．∴函数图象与x轴交于点，一次函数，当时，图象在x轴上方，∴不等式的解集为，故选：B．【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，掌握函数值即为直线在x轴上方是解题的关键【变式3-1】如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A、B两点，则kx+b＜2的解集是（）A．x＜0 B．x＞2 C．x＞﹣3 D．﹣3＜x＜2【分析】根据图象直接写出不等式的解集．【解答】解：如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，2），则kx+b＜2的解集是x＜0．故选：A．【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式，解题的关键是学会利用图象确定不等式的解集，属于中考常考题型．【变式3-2】（2023春·上海静安·市北校考期中）直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数与不等式的关系得到的解集即为不等式的解集，利用一次函数的性质即可得到答案．【详解】解：∵直线，∴，∴不等式即为，∴的解集即为不等式的解集，∵直线交坐标轴于、两点，且，∴y随x的增大而增大，时，∴当时，，∴不等式的解集为，故选：A．【点睛】此题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，正确理解一元一次不等式与一次函数的关系是解题的关键．【变式3-3】若k﹣3＞0，则一次函数y＝（3﹣k）x+k﹣3的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】先求出k的取值范围，再判断出3﹣k及k﹣3的符号，进而可得出结论．【解答】解：∵k﹣3＞0，解得k＞3，∴3﹣k＜0，k﹣3＞0，∴一次函数y＝（3﹣k）x+k﹣3的图象过一、二、四象限．故选：D．【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．一次函数与二元一次方程组每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.注意：

1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.题型4：一次函数图象与二元一次方程组的解4.（2022秋·安徽·八年级期末）如图，直线与相交于点，则关于x的方程的解是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先利用函数解析式求出m的值，然后再根据点横坐标就是关于x的方程的解可得答案．【详解】解：∵直线与相交于点，∴，∴，∴，∴关于x的方程的解是，故选：B．【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．【变式4-1】已知直线和直线相交于点，则方程的解是()A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两直线的交点的横坐标为两直线解析式所组成的方程的解，可以得到关于x方程的解．【详解】解：∵直线和直线相交于点，∴的解是，故选：A．【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式4-2】（2023·陕西西安·校考二模）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】找到方程组的解与直线交点坐标的关系即可．【详解】解：由题意得：方程组的方程与直线与的表达式相同，直线的交点坐标即为方程组的解，将带入中，解得：，方程组的解为：．故选：C【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟悉两者之间的关系并进行灵活转化是解题关键．【变式4-3】已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．（1）求点A的坐标；（2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．【分析】（1）将两个函数的解析式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A的坐标；（2）先根据函数解析式求得B、C两点的坐标，可得BC的长，再利用三角形的面积公式可得结果；（3）根据函数图象以及点A坐标即可求解．【解答】解：（1）解方程组，得，所以点A坐标为（1，﹣3）；（2）当y1＝0时，﹣x﹣2＝0，x＝﹣2，则B点坐标为（﹣2，0）；当y2＝0时，x﹣4＝0，x＝4，则C点坐标为（4，0）；∴BC＝4﹣（﹣2）＝6，∴△ABC的面积＝×6×3＝9；【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了两直线相交时交点坐标的求法以及三角形的面积题型5：函数的交点坐标与一元一次不等式的解集5.（2023春·四川德阳·八年级四川省德阳市第二中学校校考期中）根据图象，可得关于x的不等式的解集是(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根据图像，写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：从图象可知：两函数的图象的交点坐标是，所以关于的不等式的解集是，故选：A【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两个函数的交点坐标及图像确定不等式的解集是解题的关键．【变式5-1】如图，已知直线y＝ax+2与直线y＝mx+b的交点的横坐标是﹣2．根据图象有下列四个结论：①a＞0；②b＜0；③方程ax+2＝mx+b的解是x＝﹣2；④不等式ax﹣b＞mx﹣2的解集是x＞﹣2．其中正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据一次函数的图象和性质可得a＞0；b＜0；直线y＝ax+2与直线y＝mx+b的交点的横坐标是﹣2，即方程ax+2＝mx+b的解为x＝﹣2；当x＞﹣2时，直线y＝ax+2在直线y＝mx+b的上方，即不等式ax﹣b＞mx﹣2的解集是x＞﹣2．【解答】解：由图象可知，a＞0，b＜0，故①②正确；直线y＝ax+2与直线y＝mx+b的交点的横坐标是﹣2，即方程ax+2＝mx+b的解为x＝﹣2，故③正确；当x＞﹣2时，直线y＝ax+2在直线y＝mx+b的上方，即不等式ax﹣b＞mx﹣2的解集是x＞﹣2，故④正确；故选：D．【点评】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，数形结合是解题的关键【变式5-2】（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考期中）如图，直线与的交点的横坐标为，根据图象信息，下列结论错误的是（

）A． B．C． D．当时，【答案】C【分析】根据一次函数的图象和性质可得；；根据两直线与y轴交点的情况，可判断C选项；直线与的交点的横坐标为，当时，直线在直线的上方可判断D选项．【详解】解：∵直线与y轴的交点在原点上方，∴，故选项A不符合题意；∵直线过二、四象限，∴，故选项B不符合题意；由图象可知，，∴，故C符合题意；当时，直线在直线的上方，∴，即，故D不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，数形结合是解题的关键．【变式5-3】如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4）（1）求直线AB的表达式；（2）求直线CE：y＝﹣2x﹣4与直线AB及y轴围成图形的面积；（3）根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b＞﹣2x﹣4的解集．【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；（2）联立两直线解析式，解方程组即可得到点C的坐标；（3）根据图形，找出点C右边的部分的x的取值范围即可．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4），，解得，∴y＝x+5（2）∵若直线y＝﹣2x﹣4与直线AB相交于点C，∴，解得，故点C（﹣3，2）．∵y＝﹣2x﹣4与y＝x+5分别交y轴于点E和点D，∴D（0，5），E（0，﹣4），直线CE：y＝﹣2x﹣4与直线AB及y轴围成图形的面积为：DE•|∁x|＝×9×3＝．（3）根据图象可得x＞﹣3．【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的交点，一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从函数图象中获得正确信息题型6：一次函数与方程的面积问题6.（2023春·山西晋中·八年级统考期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点．(1)求的面积；(2)利用函数图象直接写出当时，的取值范围．【答案】(1)(2)当时，的取值范围为【分析】（1）先求出，再求出点B的坐标，然后根据三角形的面积公式求解即可；（2）根据图象，写出在图象上方时的自变量的取值范围即可求解．【详解】（1）∵一次函数的图象过点，∴，∴，∴一次函数的表达式为.当时，，∴，∴.（2）解：∵交于点点，根据函数图象可得当时，【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，以及利用图象求不等式的解集，数形结合是解答本题的关键．【变式6-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线交于点，直线与x轴交于点A．(1)求直线的解析式；(2)求四边形的面积．【答案】(1)(2)10【分析】（1）由直线求得P的坐标，代入即可得到结论；（2）由直线的解析式求得B、C的坐标，由直线求得A的坐标，然后根据四边形的面积等于的面积减去的面积即可得到结论．【详解】（1）解：∵直线过点，∴，∴，把代入得：，解得：，∴直线的函数表达式为：．（2）解：把代入，得：，解得，∴，把代入得：，∴，∴，把代入得：，∴，∴，∴，过P点作轴于H，如下图所示：∴四边形的面积为．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题及三角形的面积公式等，熟练掌握一次函数的图形性质是解决本题的关键．【变式6-2】（2023春·河北承德·八年级统考期中）如图，直线的函数关系式为，且与x轴交于点D，直线经过点，，直线与交于点C．(1)求直线的函数关系式；(2)求点C的坐标；(3)设点P在y轴上，若，求点P的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）设出直线的函数关系式，因为直线过，两点利用代入法求出k，b，从而得到关系式；（2）联立和的解析式，再解方程组可得C点坐标；（3）设与y轴的交点为E，首先求出点C和点D的坐标，然后设点P的坐标为，根据列方程求解即可．【详解】（1）设直线的函数关系式为：，∵直线过点，，∴解得：，∴直线的函数关系式为：；（2）∵直线和交于点C．∴，解得，∴；（3）如图，设与y轴的交点为E，当时，∴点C的坐标为当时，，解得∴点D的坐标为设点P的坐标为∵∴，即∴，解得或．∴点P的坐标为或．【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，求函数与坐标轴的交点，与两个函数的交点问题，题目综合性较强，难度不大，比较典型．题型7：一元一次函数与数形结合的综合问题7.如图：直线l1：y＝kx与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，1），且直线l2与x轴，y轴分别相交于A，B两点，△POA的面积是1．（1）求△POB的面积；（2）直接写出kx＞mx+n的解集．【分析】（1）先根据△POA的面积是1求出A点坐标，再将A、P两点的坐标代入y＝mx+n，得到直线l2的解析式，再求出B点坐标，进而求出△POB的面积；（2）利用函数图象，写出直线l1在直线l2上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）∵△POA的面积是1，直线l1：y＝kx与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，1），∴OA×1＝1，∴OA＝2，∴A（2，0）．将A（2，0），P（1，1）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线l2的解析式为：y＝﹣x+2，∴x＝0，y＝2，∴B（0，2）．∴S△BOP＝×2×1＝1；（2）由图象可知，当x＞1时，直线l1在直线l2上方，即kx＞mx+n，所以kx＞mx+n的解集为x＞1．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了利用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积．【变式7-1】如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象，点A、B在直线l上，根据图象回答下列问题：（1）写出方程kx+b＝0的解；（2）写出不等式kx+b＞2的解集；（3）若直线l上的点P（m，n）在线段AB上移动，则m、n的取值范围分别是什么？【分析】（1）利用函数图象写出函数值为0对应的自变量的范围即可；（2）结合函数图象，写出函数值大于2对应的自变量的范围即可；（3）利用一次函数的性质求解．【解答】解：（1）当x＝﹣2时，y＝0，所以方程kx+b＝0的解为x＝﹣2；（2）当x＞2时，y＞2，所以不等式kx+b＞2的解集为x＞2；（3）﹣2≤m≤2，0≤n≤2．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．【变式7-2】如图，直线y＝kx+2与直线y＝x相交于点A（3，1），与x轴交于点B．（1）求B点坐标；（2）根据图象写出不等式组0＜kx+2＜x的解集．【分析】（1）根据直线y＝kx+2与直线y＝x相交于点A（3，1），与x轴交于点B可以求得k的值和点B的坐标；（2）根据函数图象可以直接写出不等式组0＜kx+2＜x的解集．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+2与直线y＝x相交于点A（3，1），与x轴交于点B，∴3k+2＝1，解得k＝，∴，当y＝0时，，得x＝6，∴点B的坐标为（6，0）；（2）由图象可知，0＜kx+2＜x的解集是3＜x＜6．【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．题型8：实际应用问题8.甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地，行驶过程中路程y（千米）与时间x（分钟）的函数关系的图象如图：（1）谁先出发？先出发多长时间？谁先到达终点？先到多长时间？（2）分别求出甲、乙两人的行驶速度；（3）请根据图象回答：在甲行驶途中，在什么时间段内：①甲在乙的前面？②两人相遇？③甲在乙的后面？（不包括起点和终点）【分析】（1）根据函数图象解答即可；（2）根据速度＝总路程÷总时间，列式计算即可得解；（3）根据函数图象解答即可，利用待定系数法求一次函数解析式分别求解即可．【解答】解：（1）甲先出发，先出发10分钟．乙先到达终点，先到达30﹣25＝5（分钟）；（2）甲的速度为：y甲＝＝12（千米/小时），乙的速度为：y＝＝24（千米/时）；（3）由图象可得：10＜x＜25时，两人均行驶在途中（不包括起点和终点）．设y甲＝kx，∵y甲＝kx经过，（30，6），∴30k＝6，解得k＝，所以，y甲＝x；设y乙＝k1x+b，∵y乙＝k1x+b经过（10，0），（25，6），∴，解得，所以y乙＝x﹣4．联立得，解得，∴0＜x＜20时，甲在乙的前面；x＝20时，甲与乙相遇；20＜x＜30时，甲在乙后面．【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式以及识别函数图象的能力【变式8-1】如图所示，L1，L2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y（费用＝灯的售价+电费，单位：元）与照明时间x（h）的函数关系图象，假设两种灯的使用寿命都是2000h，照明效果一样．（1）根据图象分别求出L1，L2的函数关系式．（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？（3）小亮房间计划照明500h，他买了一个白炽灯和一个节能灯，观察图象，用哪种灯照明最省钱？（简要说明理由即可）．【分析】（1）理由待定系数法，把问题转化为解方程组即可．（2）根据题意列出方程即可解决问题．（3）观察图象，可知17＜26，由此即可判断．【解答】解析：（1）设L1的解析式为y1＝k1x+b1，L2的解析式为y2＝k2x+b2．由图可知L1过点（0，2），（500，17），∴，∴k1＝0.03，b1＝2，∴y1＝0.03x+2（0≤x≤2000）．由图可知L2过点（0，20），（500，26），同理y2＝0.012x+20（0≤x≤2000）（2）两种费用相等，即y1＝y2，则0.03x+2＝0.012x+20，解得x＝1000．∴当x＝1000时，两种灯的费用相等．（3）用白炽灯，理由：由图象可知，17＜26，∴y1＜y2，∴用白炽灯便宜．【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法，一元一次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型【变式8-2】甲、乙两列火车分别从A、B两城同时匀速驶出，甲车开往B城，乙车开往A城．由于墨迹遮盖，图中提供的是两车距B城的路程S甲（千米）、S乙（千米）与行驶时间t（时）的函数图象的一部分．（1）分别求出S甲、S乙与t的函数关系式（不必写出t的取值范围）；（2）求A、B两城之间的距离，及t为何值时两车相遇；（3）当两车相距300千米时，求t的值．【分析】（1）根据函数图象可以分别求得S甲、S乙与t的函数关系式；（2）将t＝0代入S甲＝﹣180t+600，即可求得A、B两城之间的距离，然后将（1）中的两个函数相等，即可求得t为何值时两车相遇；（3）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得t的值．【解答】解：（1）设S甲与t的函数关系式是S甲＝kt+b，，得，即S甲与t的函数关系式是S甲＝﹣180t+600，设S乙与t的函数关系式是S甲＝at，则120＝a×1，得a＝120，即S乙与t的函数关系式是S甲＝120t；（2）将t＝0代入S甲＝﹣180t+600，得S甲＝﹣180×0+600，得S甲＝600，令﹣180t+600＝120t，解得，t＝2，即A、B两城之间的距离是600千米，t为2时两车相遇；（3）由题意可得，|﹣180t+600﹣120t|＝300，解得，t1＝1，t3＝3，即当两车相距300千米时，t的值是1或3．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．一、单选题1．一次函数的图像如图所示，则一元一次不等式解集为(

)A．＞-2 B．＜-2 C． D．【答案】A【分析】首先根据图像可得一次函数与x轴的交点为（-2,0），然后即可得解.【详解】根据图像，得一次函数与x轴的交点为（-2,0），∴当＞-2时，故答案为A.【点睛】此题主要考查根据一次函数图像求解不等式的解集，熟练掌握，即可解题.2．如图，函数y=3x与y=kx+b的图象交于点A（2,6）,则不等式3x＜kx+b的解集为（

）A．x＜4 B．x＜2 C．x＞2 D．x＞4【答案】B【详解】试题分析：由题意可知y=3x＜y=kx+b时，即为不等式的解集，因此根据图像可知不等式的解集为x＜2．故选B考点：一次函数图像与不等式的解集3．直线与直线的交点为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】联立两直线的解析式求解即可．【详解】解：由题意得：，解得则直线与直线的交点为．故答案为B．【点睛】本题主要考查了直线的交点坐标，掌握直线交点的坐标即为两直线解析式组成方程组的解．4．关于一次函数y=x﹣1，下列说法：①图象与y轴的交点坐标是（0，﹣1）；②y随x的增大而增大；③图象经过第一、二、三象限；④直线y=x﹣1可以看作由直线y=x向右平移1个单位得到．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】①将x=0代入一次函数解析式中求出y值，由此可得出结论①符合题意；②由k=1＞0结合一次函数的性质即可得出y随x的增大而增大，即结论②符合题意；③由k、b的正负结合一次函数图象与系数的关系即可得出该函数图象经过第一、三、四象限，即结论③不符合题意；④根据平移“左加右减”即可得出将直线y=x向右平移1个单位得到的直线解析式为y=x-1，即结论④符合题意．综上即可得出结论．【详解】①当x=0时，y=-1，∴图象与y轴的交点坐标是（0，-1），结论①符合题意；②∵k=1＞0，∴y随x的增大而增大，结论②符合题意；③∵k=1＞0，b=-1＜0，∴该函数图象经过第一、三、四象限，结论③不符合题意；④将直线y=x向右平移1个单位得到的直线解析式为y=x-1，∴结论④符合题意．故选C．【点睛】本题考查了一次函数的性质、一次函数图象与系数的关系以及一次函数图象与几何变换，逐一分析四条结论是否符合题意是解题的关键．5．如图所示，直线l1：y1＝与直线l2：y2＝交于点P（﹣2，3），不等式＞的解集是（）A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2【答案】A【分析】根据不等式的关系可知，即求解直线l1在直线l2上方部分的取值范围，观察图形可得．【详解】不等式为：＞，即直线l1在直线l2上方部分的取值范围由图形可知：当x＞－2时，直线l1在直线l2上方部分故选：A．【点睛】本题考查一次函数与不等式的关系，解题关键是确定不等式与函数图像的关系，根据图像找出取值范围．二、填空题6．如图，已知函数和的图象交点为，则不等式的解集为______．【答案】x＞1【分析】根据图象直接解答即可．【详解】解：从图象上得到函数y=x+b和y=ax+3的图象交点P，点P的横坐标为1，在x＞1时，函数y=x+b的值大于y=ax+3的函数值，故可得不等式x+b＞ax+3的解集x＞1．故答案为：x＞1．【点睛】此题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系是解决本题的关键．7．如图，一次函数y＝kx＋b和y＝mx＋n的图象交于点P（1，2），则不等式（k﹣m）x≥n﹣b的解集是____．【答案】【分析】根据函数图象交点右侧直线图象在直线：图象的上面，即可得出不等式，通过变形即可得出结论．【详解】解：∵直线，与直线：交于点（1，3），∴不等式的解集为的解集为故答案为：【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）的自变