八年级数学下册19.1函数（解析版）

19.1函数变量、常量的概念在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.注意：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量.题型1：变量与常量1.（2022秋•武义县期末）笔记本每本a元，买3本笔记本共支出y元，下列选项判断正确的有（）A．a是常量时，y是变量 B．a是变量时，y是常量 C．a是变量时，y也是变量 D．无论a是常量还是变量，y都是变量【分析】根据常量和变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，判断即可．【解答】解：根据题意，可知a是变量时，y也是变量，故选：C．【点评】本题考查了常量和变量，熟练掌握常量和变量的概念是解题的关键．【变式1-1】（2023•南海区校级模拟）球的体积是V，球的半径为R，则V＝πR3，其中变量和常量分别是（）A．变量是V，R；常量是，π B．变量是R，π；常量是 C．变量是V，R，π；常量是 D．变量是V，R3；常量是π【分析】根据常量和变量的概念解答即可．【解答】解：球的体积是V，球的半径为R，则V＝πR3，其中变量是V，R；常量是，π故选：A．【点评】本题考查了常量和变量，掌握概念是解题的关键．【变式1-2】（2022秋•临平区月考）某辆速度为v（km/h）的车从甲地开往相距s（km）的乙地，全程所用的时间为t（h），在这个变化过程中，（）A．s是变量 B．t是常量 C．v是常量 D．s是常量【分析】根据常量、变量的定义结合具体问题情境进行判断即可．【解答】解：某辆速度为v（km/h）的车从甲地开往相距s（km）的乙地，全程所用的时间为t（h），在这个变化过程中，速度为v（km/h）与所用的时间为t（h）是变量，甲乙两地的距离s（km）是常量，故选：D．【点评】本题考查常量与变量，理解常量与变量的定义是正确判断的前提．【变式1-3】（2022春•安次区期末）某工厂有一个容积为280立方米的水池，现用3台抽水机从蓄满水的池中同时抽水，已知每台抽水机每小时抽水15立方米．（1）抽水两个小时后，池中还有水立方米；（2）在这一变化过程中哪些是变量？哪些是常量？【分析】（1）根据蓄水量减去抽出的水量可求解；（2）由变化的量为变量，始终不变的量为常量可求解．【解答】解：（1）280﹣3×15×2＝190（立方米），即抽水1小时后，池中还有水190立方米，故答案为190；（2）在这一变化过程中，水池的容积，抽水机的台数，每台抽水机每小时抽水的体积是常量；抽水时间、水池中的水的体积是变量．【点评】本题主要考查了常量与变量，掌握相关概念是解题的关键．题型2：因变量和自变量2.（2022春•盐田区校级期中）对于圆的周长公式C＝2πR，其中自变量是，因变量是．【分析】根据自变量、因变量的含义，判断出自变量、因变量各是哪个即可．【解答】解：∵圆的周长随着圆的半径的变化而变化，∴对于圆的周长公式C＝2πR，其中自变量是R，因变量是C．故答案为：R、C．【点评】此题主要考查了函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则x叫自变量，y叫因变量．【变式2-1】圆柱的高是6cm，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也随之发生变化.在这个变化过程中，常量是，自变量是，因变量是.【答案】6；底面半径r；圆柱的体积V【解析】【解答】解：当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也随之发生变化，在这个变化过程中，常量是6，自变量为底面半径r，因变量为圆柱的体积V.

故答案为：6，底面半径r，圆柱的体积V.

【分析】在变化过程中，圆柱的高为6cm始终没有发生变化，体积V随着底面半径r的变化而变化，据此解答.【变式2-2】（2022秋•靖西市期中）在公式S＝﹣t+20中，关于变量和常量，下列说法正确的是（）A．﹣1和20是常量，S和t是变量 B．20是常量，S和t是变量 C．﹣1常量，S和t是变量 D．S是自变量，t是因变量【分析】根据常量和变量的定义判断即可．【解答】解：在公式S＝﹣t+20中，﹣1和20是常量，S和t是变量，且S是因变量，t是自变量，故选：A．【点评】本题考查了常量和变量的定义，熟练掌握常量和变量的定义是解题的关键．【变式2-3】（2022春•西昌市校级月考）下列各式中，是函数有（）①s＝3a2；②；③y2＝x；④y＝|x﹣3|；⑤|y|＝2x；⑥．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．【解答】解：∵对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，∴③y2＝x和⑤|y|＝2x，不符合函数的定义，①s＝3a2；②；④y＝|x﹣3|；⑥是函数．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．函数的定义一般地，在一个变化过程中.如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数.注意：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义；（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应.（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：①函数关系式相同（或变形后相同）；②自变量的取值范围相同.否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意.题型3：函数的概念3.（2022春•西昌市校级月考）与函数y＝2x﹣1是同一函数的是（）A． B． C． D．【分析】根据函数关系式的概念及性质逐项进行分析，运用排除法即可确定正确答案．【解答】解：A、y＝|2x﹣1|，可化为y＝2x﹣1或y＝﹣2x+1，所以与y＝2x﹣1表示的不是同一函数，故本选项不合题意；B、，函数中2x﹣1≥0，所以与y＝2x﹣1表示的不是同一函数，故本选项不合题意；C、，与y＝2x﹣1表示的是同一函数，故本选项符合题意；D、中x≠0，所以与y＝2x﹣1表示的不是同一函数，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题主要考查函数的关系式的概念和性质，关键在于根据绝对值的性质，分式的性质，根式的性质逐项进行分析．【变式3-1】（2022春•宛城区期中）下列关系式中，变量y不是变量x的函数的是（）A．y＝（x≥0）B．x+y＝10 C．y＝|x| D．xy＝1【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，由此即可判断．【解答】解：函数定义：在一变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，y是x的函数；选项A，x取一个确定的值，y有两个值与其对应，故A符合题意；选项B，C，D，变量y是变量x的函数，故B，C，D不符合题意．故选：A．【点评】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义．【变式3-2】下列关系式：①x-3x=4；②s=3.5t；③y=-2x；④y=5x-3；⑤C=2πr；⑥y2=-2x．其中是函数关系的有()A．①⑥ B．②③④⑤ C．④⑥ D．①②【答案】B【解析】【解答】解：①中含有一个变量，不是函数关系；②③④⑤符合函数的概念；⑥中给定一个负数x，有两个y值与之对应，不是函数.

故答案为：B.

【分析】在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称y是x的函数，据此判断.【变式3-3】下列关系中，不是函数的是()．A．y=x+13 B．y=-x2C．y=9x(x≥0) D．y=±x2【答案】D【解析】【解答】解：A、B、C符合函数的概念，而D中给定一个x值，有两个y值与其对应，故不是函数.

故答案为：D.

【分析】在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称y是x的函数，据此判断.题型4：函数概念与基础图像识别4.（2022秋•沙县期中）下列各曲线中表示y是x的函数的是（）A． B． C． D．【分析】根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，即可解答．【解答】解：A．对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故A不符合题意；B．对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故B不符合题意；C．对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故C不符合题意；D．对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查了函数的概念，关键是对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．【变式4-1】（2022秋•城关区校级期中）下列曲线中，不能表示y是x的函数的是（）A． B． C． D．【分析】根据函数的定义，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，确定正确的选项．【解答】解：∵A、B、D的图像都满足对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，∴A、B、D的图像能表示y是x的函数；C、对于x的每一个确定的值，y有不止一个值对应，不符合函数的定义，故选：C．【点评】本题考查了函数的定义，掌握函数的定义是解题关键．【变式4-2】（2022秋•蜀山区校级月考）下列各图象中，y不是x的函数有（）A． B． C． D．【分析】根据函数的定义解决此题．【解答】解：A．选项中的图象，在定义域内，任意x值，总有一个y值与之对应，那么y是x的函数，故A不符合题意．B．该选项中的图象，在定义域内，任意x值，总有一个y值与之对应，那么y是x的函数，故B不符合题意．C．该选项中的图象，在定义域内，任意x值，总有一个y值与之对应，那么y是x的函数，故C不符合题意．D．该选项中的图象，在定义域内，存在x值，存在两个y值与之对应，那么y不是x的函数，故D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查函数，熟练掌握函数的定义解决此题．自变量取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.注意：自变量的取值范围的确定方法：首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.题型5：自变量的取值范围5.（2022秋•罗湖区期中）函数的自变量x的取值范围是（）A．x⩾2 B．x＞2 C．x＜2 D．x⩽2【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2，故选：A．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．【变式5-1】．（2022春•凤庆县期末）函数y＝中自变量x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥1且x≠0 C．x＞1且x≠0 D．x≠0【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣1≥0且x≠0，解得：x≥1，故选：A．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．【变式5-2】（2022秋•瑶海区期中）函数y＝+中，自变量x的取值范围是（）A．x≥2 B．x≥2且x≠9 C．x≠9 D．2≤x＜9【分析】函数式中含有分式和二次根式，分式的分母≠0，二次根式的被开方数≥0．【解答】解：，解得x≥2且x≠9．故选：B．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围，解题的关键是分式的分母≠0，二次根式的被开方数≥0．【变式5-3】（2022秋•驻马店期中）中自变量x的取值范围是．【分析】根据函数的解析式的自变量的取值范围就是让函数的解析式由意义为依据列出式子，求出其解就可以了．【解答】解：由题意，得，解得：﹣3≤x＜0．∴故答案为：﹣3≤x＜0．【点评】本题是一道有关函数的解析式的题目，考查了函数自变量的取值范围，要求学生理解自变量的取值范围就是使其解析式有意义．【变式5-4】求下列函数中自变量x的取值范围．y=x-2+1x-3【答案】解:根据题意得：x-2≥0x-3≠0解得：x≥2且x≠3；【解析】【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围；函数值是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.注意：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.题型6：函数值的定义6.（2021秋•梧州期末）当x＝2时，函数y＝的函数值是（）A．y＝4 B．y＝3 C．y＝2 D．y＝1【分析】把x＝2代入计算，再根据算术平方根的定义可得答案．【解答】解：当x＝2时，y＝＝＝2，故选：C．【点评】本题考查函数值，将自变量的值代入求出函数值是解决问题的关键．【变式6-1】（2022春•大足区期末）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为﹣1和5时，输出的y的值相等，则b等于（）A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2【分析】把x＝﹣1与x＝5代入程序中计算，根据y值相等即可求出b的值．【解答】解：当x＝﹣1时，y＝﹣3+b，当x＝5时，y＝6﹣5＝1，由题意得：﹣3+b＝1，解得：b＝4，故选：A．【点评】此题考查了函数值，弄清程序中的关系式是解本题的关键．【变式6-2】已知一个长方体的体积是100cm3，它的长是10cm，宽是ycm，高是xcm．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当x＝2cm时，求y的值．【分析】（1）长方体的体积等于＝长×宽×高，把相关数值代入即可求解；（2）把x＝2代入（1）的函数解析式可得y的值．【解答】解：（1）由题意得，10xy＝100，∴y＝（x＞0）；（2）当x＝2cm时，y＝＝5（cm）．【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，掌握等量关系是关键．【变式6-3】已知函数y=2x-1x+2【答案】解：函数y=2x-1x+22a-1a+2两边都乘以（a+2）得2a﹣1=a+2解得a=3．【解析】【分析】根据函数值与自变量的关系是一一对应的，代入函数值，可得自变量的值．【变式6-4】当x=2及x=﹣3时，分别求出下列函数的函数值：（1）y=（x+1）（x﹣2）；（2）y=x+2x-1【答案】解：（1）当x=2时，y=（x+1）（x﹣2）=（2+1）（2﹣2）=0，当x=﹣3时，y=（x+1）（x﹣2）=（﹣3+1）（﹣3﹣2）=10；（2）当x=2时，y=x+2x-1=2+2当x=﹣3时，y=x+2x-1=-3+2-3-1=【解析】【分析】（1）把x=2和x=﹣3分别代入函数y=（x+1）（x﹣2）计算即可求解；（2）把x=2及x=﹣3分别代入函数y=x+2x-1题型7：构建简单函数（几何图形）7.如图，在靠墙（墙长8m）的地方围建一个矩形的养鸡场，另外三边用栅栏围成，如果栅栏总长为32m，求鸡场的一边y（m）与另一边x（m）的函数关系式，并求出自变量的取值范围．【答案】解：(1)根据题意得:鸡场的长y(m)与宽x(m)有y+2x=32:即y=-2x+32;(2)题中有8>y>0,-2x+32≤8∴x≥12又y>x-2x+35>x,解得x＜16则自变量的取值范围为故答案为:12≤x<16.【解析】【分析】根据长方形的面积公式和围成的长方形仅有三边,找到函数关系解答即可【变式7-1】（2022春•双塔区校级期中）如图所示，在一个边长为10cm的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化．（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？（2）如果小正方形的边长为xcm，图中阴影部分的面积ycm2，请写出y与x的关系式；（3）当小正方形的边长由1cm变化到4cm时，阴影部分的面积是怎样变化的？【分析】（1）根据常量与变量的定义即可求解；（2）用正方形的面积减去四周四个小正方形的面积列式即可得出y与x之间的关系式；（3）代值计算即可得解．【解答】解：（1）在这个变化过程中，自变量是小正方形的边长，因变量是阴影部分面积；（2）y与x之间的关系式为y＝102﹣4x2＝100﹣4x2；（3）当x＝1时，y＝100﹣4×1＝96；当x＝4时，y＝100﹣4×16＝36；∴小正方形的边长由1cm变化到4cm时，阴影部分面积由96cm2变化到36cm2．【点评】本题考查了函数关系式，常量与变量，函数求值，是基础题，熟练掌握长方形面积公式是解题的关键．【变式7-2】如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分的面积ycm2与MA的长度xcm之间的关系式，并指出其中的常量与变量．【答案】解：由题意知，开始时A点与M点重合，让正方形MNPQ向左运动，两图形重合的长度为AM=x，∵∠BAC=45°，∴S阴影=12×AM×h=12AM2=12则y=12x2其中的常量为等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，变量为重叠部分的面积y与MA的长度x．【解析】【分析】根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA的长度可得出y与x的关系．再根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得答案．【变式7-3】圆柱的底面半径是2cm，当圆柱的高h（cm）由大到小变化时，圆柱的体积V（cm3）随之发生变化．（1）在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？（2）在这个变化过程中，写出圆柱的体积为V与高h之间的关系式？（3）当h由5cm变化到10cm时，V是怎样变化的？（4）当h=7cm时，v的值等于多少？【答案】解：（1）自变量是圆柱的高，因变量是圆柱的体积；（2）体积V与高h之间的关系式V=4πh；（3）当h=5cm时，V=20πcm3；当h=10cm时，V=40πcm3．当h越来越大时，V也越来越大；（4）当h=7cm时，V=4π×7=28πcm3．【解析】【分析】（1）根据函数的定义，可得答案；（2）根据圆柱的体积公式，可得答案；（3）根据一次函数的性质，可得答案；（4）根据自变量的值，可得相应的函数值．题型8：构建函数（实际问题）8.（2022春•开江县期末）某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册，该纪念册每册需要10张A4大小的纸，其中4张为彩色页，6张为黑白页．印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成．制版费与印数无关，价格为：彩色页200元/张，黑白页50元/张；印刷费与印数的关系见下表印数a（单位：册）1≤a＜50005000≤a＜10000彩色（单位：元/张）2.22.0黑白（单位：元/张）0.60.5（1）直接写出印制这批纪念册的制版费为多少元；（2）若印制6000册，那么共需多少费用？（3）若印制x（1≤x＜10000）册，所需费用为y元，请写出y与x之间的关系式．【分析】（1）根据制版费＝彩页制版费+黑白制版费，代入数据即可求出数值；（2）根据总费用＝制版费+印刷费，代入数据即可求出数值；（3）分1≤x＜5和5≤x＜10两种情况找出y关于x的函数关系式，合并在一起即可得出结论．【解答】解：（1）200×4+50×6＝1100（元），（2）6000×（2×4+0.5×6）+1100＝67100（元），∴共需费用67100元．（3）当1≤x＜5000时，y＝1100+2.2×4x+0.6×6x＝12.4x+1100，当5000≤x＜10000时，y＝1100+2×4x+0.5×6x＝11x+1100，【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）（2）根据数量关系列式计算；（3）根据数量关系找出y关于x的函数关系式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列式计算（或找出函数关系式）是关键．【变式8-1】（2022春•临渭区期末）某市出租车收费标准如下：3千米以内（含3千米）收费8元；超过3千米的部分每千米收费1.6元，当出租车行驶路程为x千米时，应收费为y元．（1）请写出当x≥3时，y与x之间的关系式；（2）小亮乘出租车行驶4千米，应付多少元？【分析】（1）本题为分段函数，根据题意列出函数；（2）4千米应付多少元，也就是当自变量x＝4时代入满足自变量的函数式求出y的值即为所求．【解答】解：由题意得当x≤3时，y＝8；当x≥3时，y＝8+1.6（x﹣3）＝1.6x+3.2．（2）当x＝4时，y＝1.6×4+3.2＝9.6（元）．答：小亮乘出租车行驶4千米，应付9.6元．【点评】本题考查了分段函数的运用，一次函数的解析式的运用，由一次函数的解析式求自变量和函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．【变式8-2】（2022春•信都区期末）已知每千克化工原料的售价为120元，若x（元）表示购买m千克化工原料的总价钱．（1）写出m与x的函数关系式；（2）说出其中的变量与常量．【分析】（1）根据单价、购买的总重量和总钱数的关系列关系式即可；（2）根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可直接得到答案．【解答】解：（1）由题意得：120m＝x，∴．（2）变量：m，x，常量：120．【点评】本题考查了函数关系式的求法与常量和变量的定义，常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量．题型9：函数图像-路程和时间问题9.（2022春•武功县期末）小明家距离学校8千米．一天早晨，小明骑车上学途中自行车出现故障，他于原地修车，车修好后，立即在确保安全的前提下以更快的速度匀速骑行到达学校．如图反映的是小明上学过程中骑行的路程（千米）与他所用的时间（分钟）之间的关系，请根据图象，解答下列问题：（1）小明骑行了千米时，自行车出现故障；修车用了分钟；（2）求自行车出现故障前小明骑行的平均速度．【分析】（1）根据自行车出现故障后路程s不变解答，修车的时间等于路程不变的时间；（2）利用速度＝路程÷时间列式计算即可得解．【解答】解：（1）由图可知，小明行了3千米时，自行车出现故障，修车用了15﹣10＝5（分钟）；故答案为：3，5．（2）自行车出现故障前小明骑行的平均速度：3÷10＝0.3（千米/分）．【点评】本题考查了函数图象，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，解题的关键是准确识图，从图象获取必须的信息．【变式9-1】（2022春•章丘区期末）李老师一直坚持步行上下班．一天，李老师下班后，从学校出发以45米/分的速度走了900米时，遇到一个朋友，停下来交流了半个小时，然后回家，如图所示是李老师从学校到家这一过程中，距离家的路程S（米）与离开学校的时间t（分）之间的关系．（1）在如图所示反映的两个变量之间的关系中，自变量是；因变量是．（2）图中a表示的数值是；b表示的数值是；c表示的数值是．（3）李老师遇到朋友之前的行走速度快还是和朋友分开以后的行走速度快？和朋友分开后的平均速度是多少？【分析】（1）观察图象，横坐标为t，纵坐标为S，得出t是自变量，S是函数即因变量，因此自变量为李老师离开学校的时间，因变量是李老师距离家的路程．（2）图象的起点（0，2000）表示李老师从距离家2000米学校出发；然后以45米/分的速度回家，（a，b））表示走了900米时遇到朋友停下来，此时离家2000﹣900＝1100（米），所以a＝1100米，用时900÷45＝20（分），所以b＝20；停下来交流半小时，则c＝20+30＝50（分），表示离开学校第50分时接着往家走，（60，0）表示第60分时到家．（3）通过计算和朋友分开后的行走速度，与遇到朋友之前的行走速度比较，得出结论．【解答】解：（1）自变量是李老师离开学校的时间，因变量是李老师距离家的路程．故答案为：李老师离开学校的时间，李老师李老师距离家的路程．（2）a＝2000﹣900＝1100（米），b＝＝20（分），c＝20+30＝50（分）．故答案为：1100，20，50．（3）李老师和朋友分开后的速度＝＝110（米/分），李老师遇到朋友之前的行走速度＝45米/分，∵110＞45，∴李老师和朋友分开以后的行走速度快，和朋友分开后的平均速度是110米/分．【点评】本题考查函数的图象，能够从图象中找到自变量和函数，能够从图象中提取信息明确运动状态，从而解决问题．【变式9-2】（2022春•肃州区校级期中）小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回到家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况（如图所示）．（1）图象表示了哪两个变量的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？（3）他可能在哪段时间内休息，并吃午餐？（4）他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？【分析】（1）根据函数的定义结合题意即可求解；（2）根据函数图象即可求解；（3）根据常识结合函数图象即可求解；（4）根据列出除以时间即可求解．【解答】解：（1）根据题意，时间、距离的关系，自变量是时间，因变量是距离；（2）由图象看出12：00时到达离家最远的地方，离家30千米；（3）图象中有2段时间休息，其中12：00到13：00休息并吃午餐；（4）30÷2＝15（千米/时）【点评】本题考查了函数的定义，函数图象，数形结合是解题的关键．题型10：函数图像-两者距离和时间问题10.（2022秋•姜堰区月考）甲、乙两人驾车都从P地出发，沿一条笔直的公路匀速前往Q地，乙先出发一段时间后甲再出发，甲、乙两人分别到达Q地后停止．已知P、Q两地相距200km，设乙行驶的时间为t（h），甲、乙两人之间的距离为y（km），表示y与t函数关系的部分图象如图所示．请解决以下问题：（1）由图象可知，甲比乙迟出发h，解释图象中点B与点C的实际意义；（2）求甲、乙两人的速度．【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得线段BC所在直线的函数表达式，根据图形可以写出点B和点C的实际意义；（2）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲的速度．【解答】解：（1）由图象可知，甲比乙迟出发1h；设线段BC所在直线的函数解析式为y＝kx+b，根据题意得：，解得：，∴线段BC所在直线的函数解析式为y＝15x﹣40；点B：乙出发小时时，甲乙两人相遇；点C：乙行驶5小时时，甲乙两人相距35千米；故答案为：1；（2）设甲的速度为v1km/h，设乙的速度为v2km/h，由题意得：，解得，答：甲的速度为40km/h，乙的速度为25km/h．【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数的性质和数形结合的思想是关键．【变式10-1】（2022春•宜黄县期中）疫情防控常态化后，防控部门根据疫情的变化，积极调配防疫资源．为了调配医疗物资，甲、乙两辆汽车分别从A、B两个城市同时出发，沿同一条公路相向而行，匀速（v甲＞v乙）前往B地、A地，在途中的服务区两车相遇，休整了2h后，又各自以原速度继续前往目的地，两车之间的距离s（km）和所用时间t（h）之间的关系的图象如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题：（1）图中的自变量是，因变量是；（2）A、B两地相距km；（3）在如图中，x＝；（4）甲车的速度为km/h．【分析】（1）根据图象信息得出自变量和因变量即可；（2）根据图象信息得A、B两地相距900km；（3）根据“速度＝路程÷时间”列方程解答即可；（4）根据速度、时间与路程的关系列式计算解得即可．【解答】解：（1）横轴是时间，纵轴是两车之间的距离，所以自变量是时间（或t），因变量是两车之间的距离（或s）；故答案为：时间；两车之间的距离；（2）由图象可知，A、B两地相距900km；故答案为：900；（3）设甲车的速度为akm/h，乙车的速度为bkm/h，根据题意，得：，解得a＝90，b＝60且满足题意，∴＝12；故答案为：12；（4）由（3）可知，甲车的速度为90km/h．故答案为：90．【点评】此题考查函数图象问题，从图象中获取信息是学习函数的基本功，要结合题意熟练掌握．【变式10-2】（2022春•青岛期末）甲、乙两人在笔直的公路AB上从起点A地以不同的速度匀速跑向终点B地，先到B地的人原地休息，已知A、B两地相距1500米，且甲比乙早出发，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）的关系如图所示．（1）甲早出发秒，乙出发时两人距离米；（2）甲的速度是米/秒，甲从A地跑到B地共需秒；（3）乙出发秒时追上了甲；（4）甲出发秒时，两人相距120米．【分析】（1）根据图象解答即可；（2）根据题意和图象中的数据即可求出甲的速度，进而求出甲从A地跑到B地共需要的时间；（3）根据题意可知，当y＝0时，乙追上甲，由图象可得出结果；（4）根据题意列方程解答即可．【解答】解：（1）由图象可知，甲早出发30秒，乙出发时两人距离75米；故答案为：30；75．（2）根据题意得，甲的速度为：75÷30＝2.5米/秒，1500÷2.5＝600（秒）．即甲从A地跑到B地共需600秒．故答案为：2.5；600．（3）180﹣30＝150（秒），∴乙出发150秒时追上了甲．故答案为：150；（4）设甲出发x秒时，两人相距120米，根据题意得：3（x﹣30）﹣2.5x＝120或2.5x＝1500﹣120，解得x＝420或552．即甲出发420秒或552秒时，两人相距120米．故答案为：420或552．【点评】本题考查函数图象的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和时间﹣距离图象进行解答．题型11：函数图像-几何变化问题11.（2023•铁西区一模）如图Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝6，点P是线段BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于点F，四边形AEPF的面积记为S，BE＝x，则S关于x的函数关系图象是（）A．B．C． D．【分析】由EP∥AC，可得△BEP∽△BAC，得出EP＝x，根据矩形面积公式可得S＝﹣（x﹣2）2+6，顶点坐标为（2，6），即可得出答案．【解答】解：∵PE⊥AB，∴∠BEP＝∠A＝90°，∴EP∥AC，∴△BEP∽△BAC，∴＝，即＝，∴EP＝x，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝∠A＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∵AE＝AB﹣BE＝4﹣x，∴S＝x（4﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣2）2+6，∵点P是线段BC上一动点，∴点E是线段AB上一动点，∴0≤x≤4，抛物线S＝﹣（x﹣2）2+6的顶点坐标为（2，6），故选：C．【点评】此题是三角形和二次函数的综合题，主要考查了动点运动问题，矩形的面积，二次函数的应用，难度适中，正确表示出EP，AE的长是解题关键．【变式11-1】（2022秋•泗阳县期末）如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，若b﹣2a＝5，则长方形ABCD的周长为（）A．20 B．18 C．16 D．24【分析】根据函数的图象、结合图形可知BC＝a，AB×BC＝10，所以AB＝，根据b﹣2a＝，b﹣2a＝5，得＝5，求出a的值即可得出答案．【解答】解：根据图2的点（a，10），可知BC＝a，AB×BC＝10，∴AB＝，∴BC+CD+DA＝2a+＝b，∴b﹣2a＝，∵b﹣2a＝5，∴＝5，∴a＝4，∴AB＝5，BC＝4，∴长方形ABCD的周长为2×（5+4）＝18．故选：B．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出有关的线段的长度，从而得出长方形的周长是本题的关键．【变式11-2】（2022秋•香洲区校级期中）如图，正方形ABCD的边长为8cm，动点P、Q同时从点A出发，以2cm/s的速度分别沿A→B→C，和A→D→C的路径向点C移动．设运动时间为，由点P、B、D、Q确定的图形的面积为scm2，求s与t（0≤t≤8）之间的函数关系式．【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①0≤t≤4时，根据四边形PBDQ的面积＝△ABD的面积﹣△APQ的面积，列出函数关系式；②4≤t≤8时，根据四边形PBDQ的面积＝△BCD的面积﹣△CPQ的面积，列出函数关系式．【解答】解：①0≤t≤4时，∵正方形的边长为8cm，∴y＝S△ABD﹣S△APQ，＝×8×8﹣•2t•2t，＝﹣2t2+32，②4≤t≤8时，y＝S△BCD﹣S△CPQ，＝×8×8﹣•（16﹣2t）•（16﹣2t），＝﹣2t2+32t﹣96．综上所述，S＝．【点评】本题考查了动点问题函数关系，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．一、单选题1．（2023八上·绍兴期末）下列关系式中，y不是x的函数的是（）A．y=x B．y=x2 C．y=x【答案】D【解析】【解答】解：A、y=x，y是x的函数，故A不符合题意；B、y=xC、y=xD、|y|=x，当x=2∴y不是x的函数，故D符合题意.故答案为：D.【分析】在一个变化过程中，存在着两个变量x、y，对于其中一个变量x的每一个确定的值，另一个变量y都有唯一确定的值与之对应，则y就是x的函数，据此一一判断得出答案.2．李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（）A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和单价【答案】C【解析】【解答】解：A、金额是随着数量的变化而变化，是变量，不符合题意；B、数量会根据李师傅加油多少而改变，是变量，不符合题意；C、单价是不变的量，是常量，符合题意；D、金额是变量，单价是常量，不符合题意.故答案为：C.【分析】根据题意可得：总额=单价×数量，单价为固定值，金额是随着数量的变化而变化，据此判断.3．（2023八上·温州期末）函数y=1x-2A．x≠-2 B．x≠2 C．x<2 D．x>2【答案】B【解析】【解答】解：由题意得x-2≠0，解得x≠2.

故答案为：B.

【分析】根据分式的分母不能为0列出不等式，求解即可.4．（2022七下·雅安期末）跳高运动员跳跃横杆，高度与时间的关系可以用图形近似的刻画的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【解答】解：跳高运动员跳跃横杆，高度与时间的关系可以用图形近似的刻画是抛物线，开始跳时高度为0，

∴A，B，D不符合题意；C符合题意；

故答案为：C.

【分析】利用问题情境：跳高运动员跳跃横杆，可知此图象为抛物线，开始的高度为0，由此可得答案.5．（2022七下·化州期末）根据实验结果表明，在弹簧的承受范围内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)x01234y2021222324A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量B．弹簧不挂重物时的长度为0cmC．随着所挂物体重量的增加，弹簧长度逐渐变长D．所挂物体的重量每增加1kg，弹簧长度增加1cm【答案】B【解析】【解答】A、x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，此选项不符合题意；B、弹簧不挂重物时的长度为20cm，此选项符合题意；C、随着所挂物体的重量增加，弹簧长度逐渐变长，此选项不符合题意；D、所挂物体的重量每增加1kg，弹簧长度增加1cm，此选项不符合题意．故答案为：B．【分析】结合表格中的数据，对每个选项一一判断即可。6．（2022七下·历城期末）6月12日，京张高铁轨道全线贯通，它是2022年北京冬奥会的重要交通保障设施.全线运营后高铁将通过清华园隧道穿越北京市城市核心区，如图所示，当高铁匀速通过清华园隧道（隧道长大于火车长）时，高铁在隧道内的长度y与高铁进入隧道的时间x之间的关系用图象描述大致是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当火车开始进入时y逐渐变大，火车完全进入后一段时间内y不变，当火车开始出来时y逐渐变小，故反映到图象上应选D．故答案为：D．【分析】先分析题意，把各个时间段内y与x之间的关系分析清楚，本题是分段函数，分为三段解答即可。二、填空题7．（2022七下·宝鸡期末）变量x与y之间的关系式是y=-x+1，当自变量x=2时，因变量y的值是．【答案】-1【解析】【解答】解：∵y=-x+1，

∴当x=2时，y=-2+1=-1.

故答案为：-1.

【分析】直接把x=2代入变量x与y之间的关系式是y=-x+1求出y值，即可解答.8．（2022八上·紫金期中）一次函数y=-6x+5，当x=2时，则y＝．【答案】-7【解析】【解答】解：将x=2代入得y=-6×2+5y=-7故答案为：-7．【分析】根据题意先求出y=-6×2+5，再求解即可。9．表示函数的三种方法是：，，．【答案】列表法；解析式法；图象法【解析】【解答】解：表示函数的三种方法是：列表法、解析式法、图象法．故答案为：列表法；解析式法；图象法.【分析】函数的三种表示方法是：列表法、解析式法、图象法.10．已知变量x，y满足(x-2y)2=(x+2y)2+10，那么y【答案】y=-【解析】【解答】解：∵（x-2y）2=（x+2y）2+10，

∴x