高级微观经济学基於偏好的需求

高级微观经济学基於偏好的需求一、需求的决定、连续性与可微性

根据效用最大化理论，理性消费者

(X

,

)

的需求是明确的、实在的：((

p,

r))(

D(

p,

r)

=

{x

(

p,

r):(

y

(

p,

r))(

y

x)}

)。这样的需求可以通过边际方程加以确定，即对任何(

p,

r)，都有：(

x

X

)(

(x

D(

p,

r))(

>

0)((u(x)

=

p)(

px

=

r))

)

●需求集映

D

:

X

是上半连续的。

●二阶条件决定了可微的需求函数。

第2页,共40页，2024年2月25日，星期天(一)一阶条件决定连续需求预算连续性：设消费集合是下有界非空闭凸子集，则预算集映

:

X是连续的闭对应。需求上半连续性：设消费集合

是下有界非空闭凸子集，偏好关系

连续。则需求D:

X

是上半连续的闭集值集映，并且还是对应。需求函数的连续性：在假设HC和HP下，需求映射

:

X

是连续的，从而各个需求函数

h(

p,

r)

(h

=

1,2,

,

)都是连续函数。需求是预算集合中最好的消费，需求的连续性以预算连续性为基础。预算连续性通过预算集映

:

X

来表达。第3页,共40页，2024年2月25日，星期天例1.移动通讯需求

信息技术的发展让移动通讯业在全球迅速兴盛起来，尤其在中国，手机的使用已经比较普遍，移动通讯需求相当旺盛，移动通讯业的竞争也迅速展开。我们来分析一下移动通讯市场的需求情况。假定市场上有两家公司A和B(比如联通公司和移动公司)在提供移动通讯业务，这两家公司提供的服务相同，但话费可能不同。

p1：公司A的话费(元/分种)。

p2：公司B的话费(元/分种)。

x1：消费者使用公司A的网络通话的时间(分钟)。

x2：消费者使用公司B的网络通话的时间(分钟)。

r：消费者准备用于支付话费的收入。这样，平面上的向量

x

=

(x1,x2)

表示着消费者的通话选择：使用网络A通话

x1分钟，使用网络B通话

x2分钟。这样，消费者的消费集合便为。第4页,共40页，2024年2月25日，星期天(1)偏好关系的确定

既然两家提供的服务完全相同，那么在不考虑价格因素的情况下，不论是用谁的网络服务，对消费者来说都是一样的。因此，消费者移动通讯消费方案的评价可以按照通话总时间多少来确定的：(

x,

yX)(

((x1,x2)

(

y1,y2))

(x1+x2

y1+y2)

)即消费者认为，移动通话的总时间越多越好。这样，无差异曲线为直线：x1+x2=U(0

U

<

)

通话向量

x

=

(x1,x2)

的话费为：

px=p1x1+

p2

x2

预算集合为：

(

p,

r)={x

X

:px

r}

下面来找出

(

p,

r)中所有最好的通话向量，即确定移动通讯需求

D(

p,

r)。为此，对任何(

p,

r)，可按照p1>

p2、p1<

p2、p1=

p2三种情形分别讨论。x1x2o

(

p,

r)无差异曲线第5页,共40页，2024年2月25日，星期天(2)移动通讯需求的确定我们通过图示来直观地说明移动通讯需求的确定。可见，在两家公司提供的服务相同的情况下，话费价格低的公司完全占领市场。小灵通公司正是看到了这一特点，在2002年果断采取降价策略，在中国移动通讯市场上一举获得成功。r/p2x1r/p1px

=

rD(

p,

r)(1)p1>

p2的情形(2)p1<

p2的情形(3)p1=

p2的情形通话时间越多越好

(

p,

r)

(

p,

r)通话时间越多越好通话时间越多越好D(

p,

r)D(

p,

r)x1x1x2x2x2r/p2r/p2r/p1r/p1ooo

(

p,

r)r/p2第6页,共40页，2024年2月25日，星期天

为此，任意给定收入r

>

0和价格，选一个开球V使得。则对包含

p

的任何开集U以及U中这样的点p

=

(

p1,p2)：p1

p2，都有D(

p,

r)

V

=

。故D(

p,

r)在(

p,

r)处不是下半连续的。(3)移动通讯需求的上半连续性和非下半连续性

移动通讯消费者明显地满足需求上半连续性定理的条件，因此移动通讯需求集映

D(

p,

r)是上半连续的。但它不是下半连续的，这一事实的证明思路是去证明在

p1=

p2>

0

的地方D(

p,

r)不下半连续。x1x2ooVpp1>

p2D(

p,

r)wD(w,

r)w1<

w2D(

p,

r)

V

=

=V

D(w,

r)价格空间消费集合第7页,共40页，2024年2月25日，星期天例2.线性支出系统

消费者为了生存，需要保证每种商品的一个最低消费。假设商品

i

的最低消费量为

i

(i

=

1,2,

,

)，则向量

=(

1,

2,

,

)

代表生活基本需要。当收入用于支付生活必需后还有剩余时，为了得到更大的满足，需要进行更多的消费。那么，消费者如何把剩余收入用于增加各种商品消费呢？这个问题较实际，现实中常常会碰到。下面，我们应用消费最优化理论来分析这一问题。这个问题中，消费集合，价格收入空间为：假定消费者具有Cobb-Douglass形式的效用函数：这种效用函数表示的消费者偏好是连续的、无满足的、内部严格凸的，并且满足假设HU和边界最差假设。因此，消费者均衡必然在消费集合内部实现。偏好的内部严格凸性还保证了消费者均衡的唯一性，从而需求映射是确定的。第8页,共40页，2024年2月25日，星期天其中

1+

2+

+

=

1，

i

0

(i

=

1,2,

,

)。需求完全由边际方程唯一确定：x

=

(

p,

r)

((

p,

r))。用效用函数u(x)写出边际方程：

，故边际方程为。(1)效用函数的变形

可对上述效用函数进变形以便于使用。第一步，采用与v

(x)等价的效用函数w(x)：其中

i=

i

/(

1+

2+

+

)

(i

=

1,2,

,

)。第二步，既然均衡在消费集合内部实现，故可不必考虑边界消费，从而效用函数w(x)可以进一步变成为更简单的形式：第9页,共40页，2024年2月25日，星期天(2)需求函数的求解

解的意义：p

是消费者必需的最小支出，pi

i

是消费者要花费在商品

i

上的最小支出。上式说明,

消费者把剩余收入

r

p

按照比例

i

用于增加商品

i

的消费量。在这个需求系统中,pi

x

i

=

pi

i

+

i

(r

p

)。这表明：消费者在商品i上的支出是各种商品的价格和收入的线性函数。鉴于此,

人们把这个需求系统叫做线性支出系统，它在计量经济学中有重要应用。第10页,共40页，2024年2月25日，星期天(二)二阶条件决定可微需求

现在，我们来考察效用最大化的二阶条件。从边际方程可以看出，假若x

X

是效用最大化问题max

u(x)

s.t.

px

=

r

的解，那么

x

必是效用函数

u

在点

x

处的切平面

T(x)

上的最大值点。这里，T(x)的定义如下：根据微积分知识可知，u在该点x处的海森矩阵在切空间(x)上半负定，即对任何z(x)，都有，其中切空间(x)的定义为：。这就得到了效用最大化二阶必要条件：海森矩阵u(x)在切空间(x)上半负定。第11页,共40页，2024年2月25日，星期天oT(x)xu(x)=

p(x)yz(二)二阶条件决定可微需求第12页,共40页，2024年2月25日，星期天1.二阶充分条件：效用函数强拟凹强拟凹性的定义

设效用函数

u(x)

二阶可微。称

u

在点

x

X

处强拟凹，是指

u(x)

在切空间

(x)

上负定，即对任何

z(x)，z

0，都有。称

u

是强拟凹的效用函数，是指

u

在

X

内部各点处都强拟凹。

强拟凹性是关于偏好的性质，与效用函数选择无关：若

u

和

v

是等价的二阶可微效用函数，则u

强拟凹

v

强拟凹。T在假设HU下，若

x

X

满足边际方程且u(x)

在切空间

(x)

上负定，则

x

是效用最大化问题maxu(x)s.t.px=r的局部唯一解。二阶充分条件也叫做效用函数的强拟凹性，具体定义如下。第13页,共40页，2024年2月25日，星期天2.强拟凹效用函数的特点函数u(x)在点x处的加边海森矩阵H(u(x))是指下述矩阵：拟凹性定理1

设消费集合X满足假设HC，效用函数

u(x)

弱拟凹且满足假设HU。则u(x)强拟凹当且仅当

u(x)在

X

内部严格拟凹并且对任何x

X

，加边海森矩阵H(u(x))都可逆。T第14页,共40页，2024年2月25日，星期天2.强拟凹效用函数的特点拟凹性定理

2设效用函数

u(x)

满足假设

HU。对任何

x

X

，如果

u

在点

x

处强拟凹，则对任何实数

0，矩阵

H(u(x),

)

都是可逆的。这里，矩阵

H(u(x),

)

的定义如下：第15页,共40页，2024年2月25日，星期天

假设HC、HP

和

HU

保证边际方程“u(x)

p

=

0

&

r

px

=

0”唯一确定了需求映射

x

=

(

p,

r)

并且

(

p,

r)

连续，即需求函数是边际方程确定的隐函数。隐函数存在定理指出，需求函数的连续可微性取决于边际方程的雅克比矩阵

J(x,

)

是否可逆。计算

J(x,

)：

3.需求函数的可微性第16页,共40页，2024年2月25日，星期天3.需求函数的可微性可微性定理

在假设HC、HP和HU下，如果效用函数

u

强拟凹，(

p,

r)

且

x

=

(

p,

r)

X

，则需求映射

在(

p,

r)附近连续可微。“HC、HP、HU、内部均衡、强拟凹”

需求函数连续可微。第17页,共40页，2024年2月25日，星期天二、价格与收入变动对需求的影响消费集合

X满足假设HC，偏好关系

满足假设HP；

的效用函数

u

满足假设HU并且强拟凹；(3)均衡在消费集合内部实现：((

p,

r))(

(

p,

r)X

)。

在以上假定下，消费者的需求影射x

=

(

p,

r)由边际方程唯一确定。把

x

=

(

p,

r)代入边际方程，即得到恒等式：其中

=

(p,r)为拉格朗日乘数。第18页,共40页，2024年2月25日，星期天(一)基本矩阵方程假定价格

p发生了微小变化，收入

r

发生了微小变化

d

r，引起需求发生变化(不带转置符号“T”的向量均可看成行矩阵)，同时引起拉氏乘数

发生微小变化d

。这些变化之间的关系可通过对边际等式求微分加以确定：

第19页,共40页，2024年2月25日，星期天写成矩阵形式，即用E

表示

阶单位方阵，则上式又可改写成：此式称为需求的基本矩阵等式或基本矩阵方程。

(一)基本矩阵方程第20页,共40页，2024年2月25日，星期天

注意，

p

=

u(x)。因此，基本矩阵方程左边的矩阵为：矩阵S

叫做斯勒茨基矩阵，其元素

shk

叫做斯勒茨基系数。1.

Slutsky’sMatrix效用函数拟凹性定理2表明，这个矩阵是可逆的，故可以令第21页,共40页，2024年2月25日，星期天于是，从而，即。

1.

Slutsky’sMatrix第22页,共40页，2024年2月25日，星期天

求解基本矩阵方程：2.

Slutsky’sEquation第23页,共40页，2024年2月25日，星期天

斯勒茨基方程表明了价格与收入变动引起的需求变动情况：此公式叫做需求变动的微分公式。3.

需求变动的微分公式与导数公式第24页,共40页，2024年2月25日，星期天从微分公式又可得到需求对价格和收入的导数公式：即3.

需求变动的微分公式与导数公式第25页,共40页，2024年2月25日，星期天(二)价格与收入变动的效应分析当商品价格不发生变化而收入发生变化时，商品的需求量明显地会受到影响。这种纯粹因收入变动而引起的需求量的变动，叫做收入效应。价格变化导致消费者实际收入水平发生变动，从而产生收入效应；价格变动还引起商品便宜贵贱情况发生相对变化，从而产生替代。在扣除收入效应(即让实际收入水平不变)后，这种纯粹因商品之间的相互替代而引起的需求变动，叫做替代效应。价格与收入变动引起的需求总变动叫做总效应，它等于替代效应与收入效应之和：总效应

=收入效应

+替代效应。第26页,共40页，2024年2月25日，星期天1.微分公式揭示的收入效应价格和收入变动引起的实际收入总变动值为dr

xdp。注意,x

/

r表示收入增加一单位所引起的需求增加量，而实际收入变动为dr

–

xdp，故二者之积表示纯粹由实际收入水平变动引起的需求变动量——收入效应。

根据

xh

/

r

的含义，可把

xh

/

r

叫做商品h的收入效应系数，把列向量

x

/

r

叫做商品

h

的收入效应系数向量。(dr

–

xdp)

x

/

r

正是价格和收入变动对需求产生的收入效应。第27页,共40页，2024年2月25日，星期天2.价格变动的收入效应

在收入效应(dr

–

xdp)

x

/

r

中，第一项

dr

x

/

r

表示直接由收入变动所产生的效应，属于直接收入效应；第二项(–

xdp)

x

/

r表示由价格变动引起实际收入变动，进而由实际收入变动所引起的需求变动，是一种间接收入效应，纯粹反映了价格变动的收入效应。●系数

hk

=

xk

xh

/

r

=

zh

xk

叫做商品

h

对

k

的(价格)收入效应系数。商品

h

对

k

的(价格)收入效应系数

hk表示纯粹由商品

k

的价格变动对商品

h

的需求产生的收入效应率。第28页,共40页，2024年2月25日，星期天3.价格变动的替代效应●

Sdp代表价格变动的替代效应。●价格变动

dp

引起消费者实际收入发生变动

xdp，此时，让收入

r

发生一个补偿性的变化

dr

=

xdp，则可保证实际收入水平不变：dr

–

xdp

=

0。这样，需求变动就为dx

=

Sdp。由此可见，Sdp表示当价格发生变动时，给消费者进行收入补偿以使实际收入水平不变，而发生的商品需求量的变动量，这正是替代效应。

斯勒茨基系数

shk

表示在实际收入水平不变的条件下，商品

k

的价格上升一单位所引起的商品

h

的需求增加量。第29页,共40页，2024年2月25日，星期天4.替代效应系数斯勒茨基系数

s

hk表示纯粹由商品

k

的价格变动对商品

h

的需求产生的替代效应率，故可称为商品

h

对

k

的(价格)替代效应系数。根据

xh

/

pk=

shk

–

zh

xk，zh=

xh

/

r(

h,

k

=

1,2,

,

)可知，第30页,共40页，2024年2月25日，星期天(三)替代矩阵与需求变动的特点鉴于斯勒茨基系数的替代效应意义，斯勒茨基矩阵

S

可称作替代效应系数矩阵，简称替代矩阵。注意S的定义S

=

Z及Z的定义：我们有：。第31页,共40页，2024年2月25日，星期天(三)替代矩阵与需求变动的特点替代效应的实际支出不变：解释：在商品k的价格上升一单位情况下，各种商品h的替代效应分别为shk(h

=

1,2,

,

)。若按变化前的价格计算(即按实际收入水平不变的价格计算)，因替代而引起的消费支出增加量为，这个量为0。所以，替代效应的实际支出不变。增加的收入等于增加的支出：解释：收入增加一单位引起支出增加，其值为1。第32页,共40页，2024年2月25日，星期天

矩阵是对称的，逆矩阵也就是对称的，从而替代矩阵S是对称的。1.

替代矩阵的对称性与商品替代的相互性替代效应的对称性商品

h

对

k

的替代效应系数等于商品

k

对

h

的替代效应系数：shk=

skh(h,

k

=

1,2,

,

)，即。

第33页,共40页，2024年2月25日，星期天

从现实经济生活看，替代效应的对称性也是必然的，它来自于现实中商品替代的相互性：另一种商品能够替代这一种，那么这一种商品也就能够替代另一种商品；同时，另一种商品是以怎样的程度来对这一种商品产生替代作用的，那么这一种商品也就以怎样的程度来对另一种商品产生替代作用。因此，商品替代的相互性蕴含着替代效应的对称性意义。从这一点上说，基于偏好的需求符合现实需求的特点和规律。1.

替代矩阵的对称性与商品替代的相互性第34页,共40页，2024年2月25日，星期天

进一步，可以证明：替代矩阵

S

是半负定的。由此可得：需求量与价格反向变动，这是一个在正常商品之中普遍出现的实际现象。替代矩阵的半负定性说明了这一现象，可见基于偏好的需求能够描述实际现象，符合现实需求的特点和规律。2.

替代矩阵的半负定与需求变动的反向性需求法则任何一种商品的价格变动对该商品自己的替代效应都非正，即

shh

0

(h

=

1,2,

,

)，从而正常商品的需求必然服从需求法则，即正常商品的需求量与该商品的价格反向变动，用公式表达，即

xh

ph

=

shh

xh

xh

r

<

0，其中

h

为正常商品(即

xh

/

r

>

0)。第35页,共40页，2024年2月25日，星期天例3.奇异的替代矩阵消费集合：效用函数：需求函数：3.

不可祈求替代矩阵负定计算行列式：。因此，S是奇异矩阵。第36页,共40页，2024年2月25日，星期天

商品h的价