文科高中数学公式大全

高中文科数学公式总结

一、函数、导数

1.元素与集合的关系:xeAox任C°A,x&Cb,A<^>xA.00AoAw0

集合［4,4,,a,』的子集个数共有2"个；真子集有2"-1个；非空子集有2"-1个；非空的真子集

有2"-2个.

2.真值表

Pq非PP或qp且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

常见结论的否定形式;

原结论反设词原结论反设词

是不是至少有一个一个也没有

都是不都是至多有一个至少有两个

大于不大于至少有n个至多有(〃-1)个

小于不小于至多有“个至少有(”+1)个

对所有X,成立存在某X,不成立P或q~>p且-11

对任何X,不成立存在某龙，成立p且q-ip或-.q

四种命题的相互关系(下图)：(原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.)

逆否命题

若非q则非P

3.充要条件(记p表示条件，q表示结论)

(1)充分条件：若pnq,则p是4充分条件.

(2)必要条件：若qnp,则p是4必要条件.

(3)充要条件：若p=q,且则p是夕充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

4.全称量词V表示任意，三表示存在；V的否定是三，三的否定是V。

例：Vxe7?,x2+x+l>0的否定是去4

5.函数的单调性

⑴设X］、x2e［a,Z>J,X1<巧那么

/(%,)一/(/)<0o/(x)在［a,b］上是增函数；

/(%,)-f(x2)>0=/(x)在［a,切上是减函数.

⑵设函数y=/(x)在某个区间内可导，若_f(x)>0,则/*)为增函数；若_f(x)<0,则/⑴为减

函数.

6.复合函数y=〃g(x)］单调性判断步骤:

(1)先求定义域(2)把原函数拆分成两个简单函数y=/(“)和〃=g(x)

(3)判断法则是同增异减(4)所求区间与定义域做交集

7.函数的奇偶性

(1)前提是定义域关于原点对称。

(2)对于定义域内任意的X,都有/(—x)=/(x),则f(x)是偶函数；

对于定义域内任意的》,都有.f(—x)=—f(x),则/(x)是奇函数。

(3)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

8.若奇函数在x=0处有意义，则一定存在/(。)=0；

若奇函数在尤=0处无意义，则利用/(-x)=-/(x)求解；

9.多项式函数P(x)=anx"+...+%的奇偶性

多项式函数尸(x)是奇函数OP(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数P(x)是偶函数。P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

10.常见函数的图像:

11.函数的对称性

(1)函数y=/(x)与函数y=/(—x)的图象关于直线x=O(即)，轴)对称.

(2)对于函数y=/(x)(xeR),/(a+x)=/(a-x)恒成立,则函数/(x)的对称轴是'="

(3)对于函数y=.f(x)(xeR),f(x+a)=/S—x)恒成立,则函数f{x}的对称轴是x=;

12.由/(尤)向左平移一个单位得到函数f(x+D

由/(龙)向右平移一个单位得到函数/(*一1)

由/(X)向上平移一个单位得到函数一(“)+1

由一(X)向下平移一个单位得到函数/(幻一1

若将函数y=/(x)的图象向右移。、再向上移6个单位，得到函数y=/(x—a)+人的图象；若将曲

线/(x,y)=O的图象向右移。、向上移匕个单位，得到曲线/1(%一区y一。)=0的图象.

13.函数的周期性

(1)/(%)=/(%+«),则/(幻的周期T=|a|；

(2)f(x+a)=-f(x),则/(x)的周期T=2|a|

(3)/(%+«)=—1―,则/(x)的周期T=2|a|

fM

(4)/(x+a)=/(x+b),贝！If(x)的周期T=|a-0；

14.分数指数

(1)an-y/a^(a>O,m,n&N*,且〃>1).

11

(2)an-——=.——(a>0,m,〃£N*,且〃>1).

,标

15.根式的性质

(1)而)"=a.

(2)当〃为奇数时，归=a；

当〃为偶数时，"=|a'°

-a,a<0

16.指数的运算性质

(1)ar-as=ar+s(a>0,r,seQ)(2)aras=ar~s(4/>0,r,5eQ)

(3)(ar)s=ar\a>0,r,sGQ)(4)(ab)"=a1br(a>0,/?>0,rG2)-

17.指数式与对数式的互化式：log“N=Ooa"=N(a〉0,awl,N>0).

18.对数的四则运算法则：若a>0,a#l,M>0,N>0,则

M

⑴log”(AW)=log(,M+log〃N;(2)log“—=log.M-loguN;

n

(3)log”M'i=〃log”;(4)logN〃=—log.NQi,mGR)

m

(5)log“a=l(6)log〃l=°

logN

19.对数的换底公式:Tog。N=——~—(〃:>0,且。。1,〃z>(),且加wl,N>0).

log,"

倒数关系式：l0g，/xl°g»T

20.对数恒等式：。喻*=N(。〉()，且N>0).

21.零点存在定理：

如果函数/(*)在区间(a,b)满足/(a)x/S)<0,则A©在区间(a,b)上存在零点。

22.函数y=/(x)在点不处的导数的几何意义

函数y=/(x)在点/处的导数是曲线y=/(x)在尸(公,/(/))处的切线的斜率/'(Xo)，相应的切线

方程是y-%=/'(玉))(%一天))-

23.几种常见函数的导数

为常数)n

(1)C'=()(C(2)(xn)=nx~'(n&Q)

⑶(sinx)r=cosx(4)(cosx)r=—sinx

⑸(Inx)r=—(6)(logx)-

Xaxlna

⑺(")'="(8)(axy=ax\na.

24.导数的运算法则

,c、uv-uv.八、

(1)(w±v)=u±v(2)(wv)=uv+uv(3)(-)=一—("0)

VV

25.复合函数的求导法则

设函数〃=9(x)在点x处有导数〃；=0(X)，函数y=/(〃)在点工处的对应点U处有导数

M

yu=/())则复合函数y-/(0(x))在点x处有导数，且yx=yu-ux,或写作/(°(x))—f\u)(p(x).

26.求切线方程的步骤：

①求原函数的导函数/'(X)

②把横坐标毛带入导函数/'(X),得到尸(%),则斜率左=/'(%)

③点斜式写方程y—%=r(』)(x—Xo)

27.求函数的单调区间

①求原函数的导函数/'(x)

②令/'(x)>0,则得到原函数的单调增区间。

②令/'(x)<0,则得到原函数的单调减区间。

28.求极值常按如下步骤：

①求原函数的导函数/'(x)；

②令方程/'(x)=0的根，这些根也称为可能极值点

③检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。(可以通过列表法)如果在X。附近的左侧

/'(x)>0,右侧/'(x)<0,则./•(%)是极大值；如果在小附近的左侧/'(x)<0,右侧/'(x)>0,

则/(x0)是极小值.

④将极值点带入到原函数中，得到极值。

29.求最值常按如下步骤：

①求原函数的极值。

②将两个端点带入原函数，求出端点值。

③将极值与端点值相比较，最大的为最大值，最小的为最小值。

二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量

30.同角三角函数的基本关系式

sin20+cos20=l>tan0=S*n^-.

cos(9

31.正弦、余弦的诱导公式

奇变偶不变，符号看象限。

32.和角与差角公式

sin(a±J3)=sinacos/3±cosasin?；

cos(a±/?)=cosacosf3sinasinp；

,,“、tan«±tanB

tan(a±/?)=-----------.

1tanatan0

33.二倍角公式

sin2a=sinacosa.

cos2a=cos2<z-sin2a=2cos2a-1=l-2sin2a.

2tana

tanla=

1-tan2tz

2cos2a=l+cos2a,cos2a=1+0°、2a

公式变形：_2

2sin2a=l-cos2«,sin2a=--

34.三角函数的周期

24

函数y=sin（4x+0）,周期T=—；

co

函数y=COS(GX+0),周期T二—；

CD

TT

函数y=tan(69x+°),周期T=—.

co

35.函数y=sin(s+0)的周期、最值、单调区间、图象变换(熟记)

36.辅助角公式(化一公式)

y=6isinx+/7cosx=y/a2+h2sin(x+^9)其中tan夕=2

a

36.正弦定理

4=上=，=2n

sinAsinBsinC

37.余弦定理

a2=b2+c2-2/?ccosA；

b1=c2+a2-2cacosB；

c2-a2+b2—2abeosC.

38.三角形面积公式

S--absinC--besinA--casinB.

222

39.三角形内角和定理

在△ABC中，有A+B+C=%oC=4一(A+3)sin(A+8)=sinC

40.a与否的数量积（或内积）

a-b^\a\-1A>|cos^

41.平面向量的坐标运算

（1）设A（X］，X）,B（X2，%），则.=03~3=（%2一3，%一,）,

（2）设a=（X］,yJ,Ax9,%）,则+%2，y+%）.

（3）设a=（X］，x）,3=（x2，%），贝I。一3=区一芍,%一内）.

（4）设a=（X］，x）,1=（工2，乂），则a$=Xi%2+%%•

（5）设a=（x,>）,则忖=正+/

42.两向量的夹角公式

设。=（工］,弘）"=（%2，%），且。彳0，则

a-b七七+呼

c°sa6==

aM&；+y；、尤2+4

43.向量的平行与垂直

a//bb=Aa<^>xly2=0.

a±b{a0）a-b=0^>xix2+yiy2=0.

44.向量的射影公式

若，2与3的夹角为。，则3在Z的射影为।,cose

三'数列

45.数列他“}的通项公式与前n项的和的关系（递推公式）

数列｛a,J的前n项的和为s“=q+4++a“).

46.等差数列｛%｝的通项公式

=a

%\+(〃一l)d=dn+a｝—d(neN*)；

47.等差数列｛%｝的前n项和公式

_n(al+an)_n(n-l)d21,

Sn----------+-7-〃-5"+(«|--«)«■

48.等差数列｛a,｝的中项公式

0一%+4+1

册一2

49.等差数列｛%｝中，若？n+n=p+q,则a,”+a“=a°+/

50.等差数列｛/｝中，s.,52“—s“，$3”—成等差数列

51.等差数列｛4｝中，若〃为奇数，则s,=〃3

2

52.等比数列的通项公式

«„=qqi=幺♦g"(〃eN*)；

q

53.等比数列前n项的和公式为

s“=ji-q或，=｛i-q

nax,q=\\na[,q=\

当q=1时，an-na]

54.等比数列｛为｝的中项公式

X

<=«„-!«„+l

55.等比数列｛%｝中，若m+n=p+q,则a,,xaa=a,x4

56.等比数列｛%｝中，sn,s2n-sn,与“一与”成等比数列

四、均值不等式

57.均值不等式：如果a,beR+,那么a+622，万。“一正二定三相等”

58.已知都是正数，则有节之之历，当x=y时等号成立。

(1)若积W是定值p,则当x=y时和x+)有最小值2折；

1。

(2)若和x+y是定值s,则当x=y时积孙有最大值一SJ

4

五、解析几何

59.斜率的计算公式

(1)katana(2)k=―—―(3)直线一般式中上=一义

X2—XjB

60.直线的五种方程

（1）点斜式y-y=《（》一玉）（直线/过点q（X|，x）,且斜率为k）.

（2）斜截式y=^+b（b为直线/在y轴上的截距）.

⑶两点式―t="'（y尸丛）（\（工1，乂）、巴（工2，丫2）（工尸修））.

%-y々一玉

（4）截距式二+2=1（。、6分别为直线的横、纵截距，。、b^O）

ab

（5）一般式井+3），+。=0（其中人、B不同时为0）.

61.两条直线的平行

若4：y=^x+4，/2:y—/G,x+b2

（1）%=%2出工用：

（2）..均不存在

62.两条直线的垂直

若4»=仁无+4，/,:y—k2x+b2

（1）kyk2=—1-

（2）4=0,总不存在

63.平面两点间的距离公式

22

dAB=yl（x2-xi）+（y2-yt）（A（5,y）,B（马,必））•

64.点到直线的距离

dJAx+Byn+C\（点2（工％）,直线/：Ax+By+C=0）.

VA2+B2

65.圆的三种方程

（1）圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2.

（2）圆的一般方程x1+y2+Dx+Ey+F^0（D2+E2-4F>0）.

22

圆心坐标（-2,-马半径=ylD+E-4F

22

66.直线与圆的位置关系

直线Ar+By+C=0与圆（%—。产+（y—切2=/的位置关系有三种:

d>ro方目离oA<0;

d=r<=>木目切<=>A=0;

d<ro相交=△>（）.弦长=2）产_d?

67.椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质

椭圆：T+与=1（。>匕〉0）,a2-c2=b2,离心率e=£<l.准线方程：x=±—

双曲线：与―4=l(a>0,b>0),c2-a2=b2,离心率e=£>l,准线方程：x=±±

ab~ac

渐近线方程是y=±?x.

抛物线：V=2px,焦点（券Q）,准线》=一日。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.

68.双曲线的方程与渐近线方程的关系

2222

（1）若双曲线方程为二一二=1=渐近线方程：=―==0=y=±2x.

a2b-a2b2?a

22

（2）若渐近线方程为^=±2》0±±2=0=双曲线可设为一—马=九.

aahab

2222

（3）若双曲线与0—4=1有公共渐近线，可设为j—4=入（入＞0,焦点在x轴上，入＜0,

a2b2a2b2

焦点在y釉上）.

69.抛物线V=2px的焦半径公式

抛物线V=2。矢（〃＞0）焦半径|。/hx0+日.（抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。）

70.过抛物线焦点的弦长网"+g9+5=玉+马+P.

六、立体几何

71.证明直线与直线平行的方法

（1）三角形中位线（2）平行四边形（一组对边平行且相等）

72.证明直线与平面平行的方法

（1）直线与平面平行的判定定理（证平面外一条直线与平面内的一条直线平行）

（2）先证面面平行

73.证明平面与平面平行的方法

平面与平面平行的判定定理（一个平面内的西条相交直线分别与另一平面平行）

74.证明直线与直线垂直的方法

转化为证明直线与平面垂直

75.证明直线与平面垂直的方法

（1）直线与平面垂直的判定定理（直线与平面内两条相变直线垂直）

（2）平面与平面垂直的性质定理（两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面）

76.证明平面与平面垂直的方法

平面与平面垂直的判定定理（一个平面内有一条直线与另一个平面垂直）

77.柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式

圆柱侧面积=2m7,表面积=2m7+2勿-2

圆椎侧面积=加7,表面积=勿，/+42

匕主体=：S6（5是柱体的底面积、h是柱体的高）.

（S是锥体的底面积、力是锥体的高）・

42

球的半径是R,则其体积丫=1乃后，其表面积s=41R-9

/体=?S上+又+际”

78.异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算（构造二面角的平面角）

79.点到