2020-2021学年广西北海市高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年广西北海市高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.设集合2={1,9,3},B=[1,3,7},则=()

A.{3}B.{1,3}C.{-1}D.0

2.已知四组函数：

①f(x)=x,g(x)=(Vx)2；

@/(x)=%，g(%)=3x3；

③f(n)=2n-l,g(n)=2n+l(nGN)；

@f(x)=x2—2x—1,g(t)=t2—2t—1.

其中是同一函数的()

A.没有B.仅有②C.④D.②③④

3.已知/(%)=/+3%+i,0(%)=铝+%,若/i(%)=/(%)-g(x)恰有两个零点，则实数q的取

值为（）

A.1B.-捺C.1或一捺D.[一卷,1]

4,若0<bVa<1,p=ab,q=ba,r=bb,则()

A.p>q>rB.p>r>qC.q>p>rD.r>q>p

.设是方程的解，则在下列哪个区间

5.7a21nl_?=-xa

A.(0,1)B.(3,4)c.(2⑶D.(l,2)

6.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为2的正方形，主视图与左视图是边长

为2的正三角形，则其全面积是（）

A.8

B.12

C.4(1+73)

D.4V3

7.已知时=蛔鼠小搀缈徵后磁》，把使得乘积阳一飓-:鸣…螂*为整数的制叫做"成功数”，则区

间以倒鼠1圈内所有成功数的和为（）

A.颂蝌B.W!C.W®D.巽制

8,下列命题正确的是（）

A.平行于同一平面的两条直线一定平行

B.夹在两平行平面间的等长线段必平行

C.若平面外的直线a与平面a内的一条直线平行，则a〃平面a

D.如果一平面内的无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行

9,若函数/（%）=6[-1，0）则/（logs%=（）

15X,xG[0,1].

A.|B.3C.1D.4

10.在正方体ABCD-&B1C1D1中，M和N分别为&Bi和B©的中点，那么直线AM与CN所成角的余

弦值是（）

A.3B.叵C.|D.1

21055

11.已知偶函数/（X）在区间[0,+8）上是减函数，则满足/（2x-1）>/（》的X的取值范围是（（）

4

A.（-00,B.6+8）

c.质》D.（—8,》u“+8）

12.在三棱锥P—ABC中，PA=PB=PC=V5,AB=AC=BC=V3,则三棱锥P—ABC外接球的

表面积是（）

A.9兀B.—7iC.4兀D.—7T

24

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.5.正四棱柱的侧面展开图是长为12,宽为8的矩形，则该正四棱柱的体积是.

14.在正项等比数列｛曰｝中，若N1,则1■...I-|

15.函数f（x）是连续的偶函数,方程f（x）=0仅有两个实根±1,且当x在（一2,0）U（2,+8）时（。）>0

恒成立，则不等式x/O）<。的解集为.

16.以下几个命题中真命题的序号为.

①在空间中，m>ri是两条不重合的直线，a、。是两个不重合的平面，如果al）S,an^=n,mln,

那么m1。；

②相关系数r的绝对值越接近于1,两个随机变量的线性相关性越强；

③用秦九昭算法求多项式f（x）=208+9/+6%4+一在％=—4时，%的值为22；

④过抛物线y2=4%的焦点作直线与抛物线相交于4B两点，则使它们的横坐标之和等于4的直线有

且只有两条.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知集合4={%|-1<%<3],B={x\x2—2x>0且x>1].

(1)求AUB,ACiB；

(2)若集合C={%|2x+a<0}和集合4没有公共元素，求实数a的取值范围.

18.如图，四棱锥P-4BCD中，底面4BCD是平行四边形,"CB=90。，/\、

平面P4。1平面PA=BC=1,PD=AB=五,E、F分别:

为线段PD和BC的中点.二

(I)求证：CE//平面P4F；.r"

(口)在线段BC上是否存在一点G,使得平面P4G和平面PGC所成二面角的大小为60。？若存在，试确

定G的位置；若不存在，请说明理由.

19.有甲乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为p和q(万元)；它们与投入资金x(万

元)的关系有经验函数：P=|x,q=|石.现有4万元资金投入经营甲乙两种商品，为获得最大

利润，对甲乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润为多少？

20.求函数/(%)=-x2+2x-3在区间[2a-1,2]上的最小值和最大值.

21.如图，四边形48CD与四边形J龈嫡都为正方形，/蛭1.罡廨，F为线段.蹒的中点，E为线

段BC上的动点.

(1)当E为线段BC中点时，求证：徽要7平面4EF；

(2)求证：平面麟窿嫡平面；

(3)设票口.热，写出於为何值时MF，平面4EF(结论不要求证明).

22.已知函数f(%)=——1,0(%)=%+1.

(1)求函数F。)=/(%)+|g(%)|在区间［-2,0］上的值域.

(2)若当久ER时，不等式/(%)N4g(%)恒成立，求实数2的取值范围.

参考答案及解析

L答案：B

解析：解：集合4={1,9,3},B=[1,3,7),

则2CB={1,3}.

故选：B.

根据交集的定义写出an艮

本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题.

2.答案：C

解析：

本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，属于基础题.

分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致即可判断.

解：①/(x)的定义域为R，而9。)的定义域为[0,+8),所以定义域不同，所以①不是同一函数；

②/(X)的定义域为R,g(x)的定义域为R，所以定义域相同，但是对应法则不相同，所以②不是同

一函数；

③因为g(n)=2n+l(neN)的定义域和f(n)的定义域不相同，所以③不是同一函数；

④两个函数的定义域相同，对应法则相同，所以④是同一函数.

故选C.

3.答案：B

解析：解：联立y=/(x)和y=g(x)得%2+3%+1=丐+%,

整理可得Q=X3+X2—X,且％。1.

令函数%(%)=%3+%2-%,可得函数九(%)的极值点在-1和1处，

画出以%)的草图，如图示:

当％=—1时，/i(x)=1；当％=1时，h(x)=—金

故当a=1时，y=a和y=h(%)l个交点，

因为(1,1)不在h(%)上，不满足条件.

故当a=-捺时，结合图象可得y=a和y=h(%)恰有2个交点.

综上，只有当a=-捺时，才能满足y=。和y=九(乃恰有2个/交点，

故选：B.

问题转化为a=+%2—。1)的交点问题，令%(%)=+为2一%,画出函数九(%)的图

象，结合图象求出a的值即可.

本题考查了函数的交点问题，考查数形结合思想以及转化思想，是一道中档题.

4.答案：B

解析：

本题主要考查了利用募函数和指数函数的单调性比较大小，是中档题.

由幕函数y=”的单调性可知丁<P，再根据指数函数丫=尹的单调性可知丁>q,从而得到p,q,T

三个数的大小关系.

解：:幕函数y=%匕在(0,+8)上单调递增，且0<b<a<1,

・•.bb<ab,即r<p,

•・・指数函数y=/在R上单调递减，且0<bVa<1,

・•.bb>ba,即r>q,

：.p>r>q,

故选：B.

5.答案：D

解析：令f(x)=21nx-3+x,由零点存在定理可验证各选项区间的端点值，若两端点值异号则存

在零点.

•••/(I)=-2<0

/(2)=2)2-1>0

由零点存在定理可得

在(1,2)内方程有实根.

故选D.

6.答案：B

解析：解：由题意几何体是一个四棱锥，其侧面三角形的高为2,底面是边长为2的正方形，

几何体的表面积为4x|x2x2+2x2=12

故选B

由题意及图象知，几何体是一个四棱锥，其侧面三角形的高为2,底面是边长为2的正方形，由公式

求表面积即可

本题考查由三视图求面积、体积，求解的关键是根据所给的三视图判断出几何体的几何特征，再根

据其几何特征选择求全面积的方法.

7.答案：C

解析：试题分析：由已知:%-%,•:%…稣=额舐察蛔翳不蜘辑S-__.-崛弘斓蒯书缈

=整-整1'整"一"整黑=/和|■孙为使蝇阚1■骞为整数，则有蒯#既=喷鲍住阊:‘

在区间虱含的蜀内，所有“成功数”为管一釐密一群.

它们的和为翳珏寓K―.#密，-&四=醐髓，选届.

考点：1.对数换底公式及对数运算；2.新定义.

8.答案：C

解析：解：4平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面直线，因此不正确；

8.夹在两平行平面间的等长线段必平行、相交或异面直线，不正确；

C若平面外的直线a与平面a内的一条直线平行，则a〃平面a,正确.

D如果一平面内的无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行或相交.

故选：c.

A平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面直线；

R夹在两平行平面间的等长线段必平行、相交或异面直线；

C.利用线面平行的判定定理即可判断出；

D利用平面平行的判定定理即可判断出.

本题考查了空间线面面面平行的判定定理及其性质定理，考查了推理能力，属于基础题.

9.答案：D

解析：解：•."(%)平尸”

卬,xG[0,1].

to4

.../■(log54)=5^=4.

故选：D.

利用函数性质和对数运算法则求解.

本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用.

10.答案:D

解析：

取4B中点E,BC中点F,连接/E,B#,则NEB/为直线4M与CN所成角，设正方体棱长为2a,然

后利用余弦定理求解.

本题考查异面直线所成的角，关键是找出角，是中档题.

解：如图，

取4B中点E,BC中点F,连接B/,

则四边形当FCN为平行四边形，

AM//BrE,CN//BrF,

・•・NEB/为直线AM与CN所成角(或补角)，

设正方体的棱长为2a,则BE=BF=a,EF=V2a,B】E=B/=小a.

・.COS乙EB#-2xV5axV5a~5,

；.直线AM与CN所成角的余弦值是:

故选：D.

11.答案：C

解析：

根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得;'(2x-1)>/(：)=>/(|2x-1|)>/(》今|2x-1|<%

解可得久的取值范围，即可得答案.

本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题.

解：根据题意，偶函数f。)在区间［0,+8)上是减函数，

f(2x-1)>6)0/(|2x-1|)>0|2久

—<2%-1<一,

44

解可得：I<X<I，

OO

即X的取值范围为

OO

故选C.

12.答案：D

解析：解：因为PA=PB=PC=亚,AB=AC=BC=百，

故三棱锥P-ABC是正三棱锥，

设PH为三棱锥P-28c的高，

则其外接球的球心在PH上，

设外接球的半径为R,

因为C”=苧x8=1,则PH=VPC2-CH2=2,

所以。C2=。"2+C”2,即R2=(2—R)2+12,解得R=、，

故三棱锥P-ABC外接球的表面积是S=4兀旌=4兀­(|)2=等.

故选：D.

由外接球的球心在正棱锥的高上，求出外接球的半径，由球的表面积公式求解即可.

本题考查了几何体的外接球问题，解题的关键是确定外接球球心的位置，三棱锥的外接球的球心在

过各面外心且与此面垂直的直线上，由此结论可以找到外接球的球心，考查了逻辑推理能力与空间

想象能力，属于中档题.

13.答案：72或48

正四棱柱的底面周长为12时，高为8,则底面面积为9,

__/.正四棱柱的体积为：9X8=72;

解析・____

正四棱柱的底面周长为8时，高为12,则底面面积为4,

二.正四棱柱的体积为：4X12=48.

14.答案:9

□

15.答案:(—1,0)U(1,4-00)

解析:

本题考查利用导数研究函数单调性，函数的奇偶性，以及函数图象的判断，不等式的解法，是中档

题.

结合函数的导数的符号，以及函数的零点，画出函数的示意图，然后求解不等式的解集即可.

解：函数是连续的偶函数，方程f(x)=0仅有两个实根±1,

且当％在(—2,0)U(2,+8)时/(为＞0恒成立，

可知函数在x6(-2,0),xe(2,+oo)时，都是增函数，

函数的示意图如图：

所以不等式＜。的解集为：(-1,0)U(1,4-00).

故答案为：(一1,0)乂1,+8).

16.答案：②③④

解析：对于①，因为根并不属于叫根据线面垂直的关系定理，不能得到机1。，即错误.

对于②，根据线性相关系数r的意义可知，当r的绝对值越接近于1时，两个随机变量线性相关性越

强，故正确；

对于③，=208+9%2+6x4+x6=(((((%)%+6)x)x+9)x)x+208,

当x=-4时，v0=1,=1X(-4)=-4,v2=—4X(—4)+6=22,故正确；

对于④，过抛物线f=4x的焦点F(l,0)作直线I与抛物线相交于4B两点,

当直线/的斜率不存在时，横坐标之和等于2,不合题意；

当直线/的斜率为0时，只有一个交点，不合题意；

•・・设直线［的斜率为k(k丰0),则直线I为y=k(x-1),

代入抛物线f=4x得，k2x2-2(/c2+2)x+/c2=0；

••・4、B两点的横坐标之和等于5,迎学=4,解得1=2,

这样的直线有且仅有两条.故正确；

故答案为：②③④

①，m并不属于a,根据线面垂直的关系定理，不能得到

②，利用线性相关系数的性质取判断.

③，先将多项式改写成如下形式：/(%)=(((((%)%+6)久)x+9)x)x+208,将x=-4代入并依次计

算为，%，吭的值，即可得到答案.

④,讨论直线/的斜率不存在和斜率为0时都不符合题意，设Z为y=k(x-1)与抛物线方程联立消去y,

得出4、B两点的横坐标之和，求得k的值，判定命题正确

本题考查了命题真假的判定，涉及到了大量的基础知识，属于中档题.

17.答案:解：(1)集合4={万一1<久<3},

B={x\x2-2x>0且x>1}={x\x>2}；

AC\B={x\2<%<3},

A\JB={x\x>—1}；

(2)集合C={x\2x+a<0}={x\x<一］},

由Cn2=0,得-1,

解得a的取值范围是aN2.

解析：(1)化简集合B,根据交集与并集的定义写出运算结果；

(2)化简集合C,根据CC2=。求出a的取值范围.

本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题.

18.答案：（I）证明：取P4中点为连结CE、HE、FH,

-1

•••”、E分别为PA、PD的中点，；.HE=-AD,

・••ABCD是平行四边形，且F为线段BC的中点，

•­.FC//AD,EC=^AD,

■-HE//FC,HE=FC,四边形FCEH是平行四边形，

EC//HF,又CE不包含于平面P4F,u平面P4F,丈

・•.CE//平面PAF….（4分）/\

（口）解：•••四边形4BCD为平行四边形且乙4cB=90。，二二公尸"

.­.CALAD,又由平面PA。，平面ABC。，®?~[

CA1平面PAD,CA1PA

由P4=4D=1,PD=四知,P4_L4D...（5分）

二建立如图所示的平面直角坐标系4-xyz

PA—BC=1,AB=V2,AC=1,

・・・B（L-L0），C（L0,0），P（（W），

假设BC上存在一点G,使得平面PNG和平面PGC所成二面角的大小为60。，

设点G的坐标为（1,%0），-l<a<0,

.•1=（1,00）,AP=（0,0,1），

设平面P/G的法向量为沅=（%,y,z）,

则｛:｝『一°，令％=a，y=-l,z=0,•<.m=（a,-1,0）,

又方=（0,仇0）,而=（-1,0,1）,

设平面PCG的法向量为元=（%,y,z）,

则｛%]：_（），令久y=0,z=L.,•元=（1,0,1），…（9分）

•・・平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60。，

.•.|3<记,元>|=|痂土或=,

a=+1,又—1<a<0,a=-1,…（11分）

所以线段BC上存在一点G,

使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°

点G即为B点....（12分）

解析：(1)取PA中点为H,连结CE、HE、FH,由已知得4BCD是平行四边形，四边形FCEH是平行四

边形，由此能证明CE〃平面PAF.

(2)由已知得C4LA。，CAl^PAD,CALPA,建立平面直角坐标系2-xyz,利用向量法能求出

平面PAG和平面PGC所成二面角的大小.

本题考查直线与平面平行的证明，考查满足条件的点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意空间

思维能力的培养.

19.答案：解：设对乙产品投入x万元，

••・共4万元资金投入经营甲乙两种商品，

0<x<4,对甲产品投入4一万万元，

•••甲乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为p和q(万元与投入资金双万元)的关系有

经验函数：p=-x,q=|Vx,

I.、2/-

p=-(4-%),q=-y/xf

・••总的利润为：

y=1(4-%)+|Vx,(0<X<4),

..~=_1+2+1

=-|(Vx-l)2+l<l.

当且仅当«=1,即X=1时，取等号.

・•・甲投3万元，乙投1万元，最大利润为1万元.

解析：本题可以先设对乙产品投入x万元，得到对甲产品投入4-%万元，利用利润与投入资金的关

系，得到相应的函数，配方得到函数的最值，得到本题结论.

本题考查了函数的实际应用，本题难度不大，属于基础题.

20.答案：解：〃久)=—(久―I/一2；

f(2)=-3,/(0)=-3；

:当2a-1<0即a<3时，=/(2a-1)=-4a2+8a—6；

12

当0<2a—1<2即5<a<5时，=/(2)=-3；

-4a2+8a—6d<—

i32

{-3-2<a<-2

—4a2+8a—6=—4(a—l)2—2；

•e•aW5时，—4小+8a—6单调递增；

aW|时>9(a)<5(|)=-3；

g(a)的最大值为-3；

即/(x)在［2a-1,2］上的最小值的最大值为-3.

解析：本题考查二次函数的定轴动区间的最值问题.

对/(%)配方即可知道f(x)的对称轴为％=1,且/(2)=/(0)=-3,所以讨论2a-1和0的关系，可结

—4a2+8a—6ci<—

.'i.2根据

-3-<a<-

{22

二次函数的最值及分段函数的最值即可求得g(a)的最大值.

21.答案：解：(1)证明：F为线段翩;•的中点，E为线段BC中点，所以庭防"球，

又羸鳏窿平面4EF,感声后平面4EF

所以统,代平面4EF

(2)证明：四边形,魂图与四边形都为正方形

所以J遨