新人教版高中数学教材例题课后习题必修二71复数的概念

7.1复数的概念

7.1.1数系的扩充和复数的概念

例1当实数m取什么值时，复数z=〃?+l+(〃?-l)i是下列数？

(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.

分析：因为所以加+1,m一1都是实数.由复数z=a+bi(a,beR)是实数、虚数

和纯虚数的条件可以确定m的取值.

解：(1)当加-1=0,即〃7=1时，复数Z是实数.

(2)当加一1W0,即用01时，复数z是虚数.

(3)当加+1=0,且〃?一1片0,即，〃=-1时，复数z是纯虚数.

练习

1.说出下列复数的实部和虚部：S向i,巨「瓜0

32

【答案】实部分别为-2,后,日,0,0,0;虚部分别为;,1,0,-百,1,0.

【解析】

【分析】

根据复数的概念，复数z=a+bi(a,bwR),则。为实部，6为虚部，解答即可.

【详解】解：—2+」i,0+i,也6//,0的实部分别为—2,血，也,0,0,0;

322

虚部分别为g,1,0,-石,1,0.

【点睛】本题考查复数的相关概念，属于基础题.

2.指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.为什么？

2+V7,0.618,-z,0,f,5z+8,3-9伍i(l-拘，夜-".

7

【答案】实数有2+近。618,0;虚数有25，+8,3-9氏(1-伤四-向纯

虚数有,。，"(1-百).

【解析】

【分析】

根据复数的概念解答即可.

【详解】解：对于复数z=。+历(a,beR),若6=0,则z为实数；若则z为

虚数；若且。=0,则z为纯虚数；可知

实数有：2+J7,0.618,0;

虚数有：/,5/+8,3-9V2/,z(l-V3),V2-"；

7

纯虚数有：，虚数一6).

【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.

3.求满足下列条件的实数x,y的值：

(1)(x+y)+。-l)i=(2x+3y)+(2y+l)z；

(2)(x+^-3)+(x-2)z=0

x=4[x=2

【答案】(1)c；(2),.

[y=-2[y=l

【解析】

【分析】

(1)根据复数相等的充要条件为实部和实部相等，虚部和虚部相等，得到方程组，

解得；

(2)复数为零的充要条件为实部和虚部同时为零，得到方程组，解得；

【详解】解：(1)v(x+y)+(y-1);=(2x+3y)+(2y+1)/

x+y=2x+3y

y-l=2y+l，

x=4

解得;

U=-2

(2)(x+y—3)+(x—2)i=0

卜+y-3=0

'[x-2=0

[x=2

解得।

5=1

【点睛】本题考查复数相等和复数为零求参数的值，属于基础题.

7.1.2复数的几何意义

例2设复数Z]=4+3i,z2=4-3i.

(1)在复平面内画出复数4,Z2对应的点和向量：

(2)求复数ziZ2的模，并比较它们的模的大小.

解：(1)如图，复数％,Z2对应的点分别为Z-Z2,对应的向量分别为西，0Z2.

22

(2)|Z||=|4+3i|=V4+3=5.

上|=|4-3i|=押+(-3)2=5.

所以㈤=卜|.

例3设zeC,在复平面内z对应的点为Z,那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？

(1)忖=1；

(2)l<|z|<2.

解：⑴由忖=1得，向量反的模等于1,所以满足条件忖=1的点Z的集合是以原点。

为圆心，以1为半径的圆.

।।Iz<2,

(2)不等式1<目<2可化为不等式z〉]

不等式|z|<2的解集是圆忖=2的内部所有的点组成的集合，不等式|z|>1的解集是圆

匕|=1外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满

足条件1<目<2的点Z的集合.容易看出，所求的集合是以原点。为圆心，以1及2为半径

的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界（图）.

练习

4.说出图中复平面内各点所表示的复数（每个小方格的边长为1）.

【答案】N：4+3i,B:3-3i,C:-3+2i,D:-3-3i,E:5,F:-2,G:5i,H:-5i.

【解析】

【分析】

根据各点坐标确定对应复数.

【详解】因为幺(4,3),5(3,-3),C(-3,2),0(-3,-3),颐5,0),尸(—2,0),G(0,5),

”(0,-5).

所以力：4+3z,B*3-3ifC*~3+27,D*.—3—3i,E:5,F*.—2,G:5i,H:—5i.

【点睛】本题考查复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.

5.在复平面内，描出表示下列复数的点：

(1)2+5i；

(2)-3+2i；

(3)2-4i；

(4)-3-i；

(5)5；

(6)-3i.

【答案】（1）答案见解析

（2）答案见解析（3）答案见解析

（4）答案见解析（5）答案见解析

（6）答案见解析

【解析】

【分析】（1）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点A,在坐标系画出;

（2）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点8,在坐标系画出;

（3）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点C,在坐标系画出;

（4）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点。，在坐标系画出;

（5）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点E,在坐标系画出;

（6）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点在坐标系画出;

【小问1详解】

对应点为A（2,5）,

y

5

4

3

【小问2详解】

►

2x

对应点为8(-3,2),

【小问3详解】

对应点。(2,-4),

y

【小问4详解】

对应点。(-3,-1)

【小问5详解】

对应点七(5,0),

【小问6详解】

对应点厂(。，-3),

3

6.己知复数2+，,-2+4—己-旬.

2

（1）在复平面内画出这些复数对应的向量；

（2）求这些复数的模.

【答案】（1）见解析（2）V5;275;2；4；叵.

2

【解析】

【分析】

（1）根据复数几何意义确定点坐标，再在复平面内作向量;

（2）根据复数模的定义求模.

【详解】解：（1）如图所示.

(2)12+z|=y/5；|—2+4z|=2^5；I-2i|=2；I41=4；——4/=~~~~•

【点睛】本题考查复数几何意义以及复数的模，考查基本分析求解能力，属基础题.

习题

复习巩固

7.符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子若不存在，请说明理由.

（1）实部为-血的虚数；

（2）虚部为一后的虚数；

（3）虚部为-0的纯虚数.

【答案】（1）存在，例如-返+/；-啦―

（2）存在，例如—

2

（3）存在，只能是

【解析】

【分析】

根据复数的概念求解.

【详解】（1）存在，例如-+夜-0i.

（2）存在，例如1-

2

（3）存在，只能是-Jli.

【点睛】本题考查复数的概念，掌握复数概念是解题关键.

8.实数加分别为何值时，复数2=（加2-5加+6）+（加2-3〃?》是

（1）实数；

（2）虚数；

（3）纯虚数.

【答案】（1）加=0或〃尸3；（2）/”片0且小。3；（3）m=2.

【解析】

【分析】（1）当复数的虚部等于零，复数为实数，由此求得加的值；

（2）当复数的虚部不等于零，复数为虚数，由此求得”的值；

（3）当复数的实部等于零且虚部不等于零时，列方程组,即由此求得〃?的值.

【详解】复数z=（加2—5加+6）+（加2_3加».

（1）要使Z为实数，只需加2—3加=0,解得：加=0或加=3；

（2）要使z为虚数，只需〃?2一3加10,解得：加工0且加工3；

[m2—5m+6=0

（3）要使z为纯虚数，只需2.八，解得：加=2.

[m

9.求适合下列方程的实数x与y的值：

（1）（3x+2y）+（5x-y）i=17-2i；

(2)(x+y-3)+(x-4)i=0.

x=I

【答案】（1）〈

「7

【解析】

【分析】（1）根据复数相等的定义计算.

（2）根据复数相等的定义计算.

【小问1详解】

3x+2y=17[x=\

由题意解得r

5x-y=-2U=7

【小问2详解】

x+y-3=0x=4

由题意解得

x-4=0g-l

10.如果尸是复平面内表示复数。+加（a,6eR）的点，分别指出在下列条件下点P的

位置.

（1）a>0,6>0；（2）a<0,b>0；

（3）a=0,b<0；（4）6<0.

【答案】（1）第一象限；

（2）第二象限；

（3）位于原点或虚轴的负半轴上；

（4）位于实轴下方（不包括实轴）

【解析】

【分析】

由复数的几何意义解答.

【详解】⑴。＞0力＞0；点P在第一象限；

（2）。＜04＞0；点尸在第二象限；

（3）40；点尸位于原点或虚轴的负半轴上；

（4）6＜0.点P位于实轴下方（不包括实轴）.

【点睛】本题考查复数的几何意义，复数。+应（a,beR）对应的点为尸（出份.

11.求复数4=3+4，及22=；-丁云的模，并比较它们的模的大小.

【答案】团=5,区|=5，团＞|22

【解析】

【分析】

由复数模的定义计算.并比较大小.

【详解】解：匕|=行不=5,㈤伪2=|,..阂〉㈤.

【点睛】本题考查复数模的运算，掌握模的定义是解题基础.复数a+bi（a,6eR）的

模为+bi\=yja2+b2.

综合运用

12.实数/取什么值时，复平面内表示复数z=（卬2-8/+15）+（苏一5加一14）i的

点.

⑴位于第四象限？

⑵位于第一、三象限？

⑶位于直线y=x上？

29

【答案】（1）—2＜切＜3或5〈加＜7；（2）用＜—2或3＜掰＜5或加＞7；（3）—

3

【解析】

【详解】试题分析：（1）由题意得，复数位于第四象限，则实部大于0,虚部小于0,

列出方程组即可求解实数〃?的取值范围；

(2)根据复数的定义和复数的表示，列出不等式组，即可求解实数机的取值范围;

(3)使得复数位于直线V=x上，只需实部与虚部相等即可求解实数机的值.

试题解析：

8/150.|永3或巾5,

⑴由今

a5»-14<0I-2<«C7.

解得一2<m<3或5cm<7,此时复数z对应的点位于第四象限.

,4kidHirl150.

⑵由或［

a5«r11>0-IIO.

可等价转化为(m2—8m+15)(m2-5tn—14)>0»BP(m—3)(m—5)(m+2)(m—7)>0,

利用“数轴标根法”可得：m<-2或3<m<5或m>7,此时复数z对应的点位于第一、

三象限.

(3)要使点Z在直线y=x上，需rrP—8m+l5=m2—5m—14,解得m=f.此时，复

数z对应的点位于直线y=x上.

点睛：复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的

条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即

可.复数z=a+对应复平面内的点Z(a,b)(a,beH).复数

z=a+bi(a,be&)对应平面向量历.

13.在复平面内，。原点，向量为对应的复数是2+i.

(1)如果点4关于实轴的对称点为点8,求向量砺对应的复数；

(2)如果(1)中点8关于虚轴的对称点为点C,求点C对应的复数.

【答案】(1)2-z(2)-1-1

【解析】

【分析】

(1)求出A点坐标，再得出8点坐标后可得对应复数；

(2)求出。点坐标后可得对应复数.

【详解】解：由于向量方是以原点为始点，故终点/的坐标为(2,1).

(1)点42,1)关于实轴的对称点5的坐标为(2,-1),则向量砺对应的复数为2-i.

(2)点5(2,-1)关于虚轴的对称点C的坐标为(-2,-1),则点C对应的复数是-2-九

【点睛】本题考查复数的几何意义,复数a+尻QbeR）对应的点为P（a,b）.

14.设：2eC,在复平面内z对应的点为Z,那么满足下列条件的点Z的集合是什么图

形？

（1）Iz|=3；

（2）2,.\z\<5.

【答案】（1）以原点。为圆心，以3为半径的圆.

（2）以原点。为圆心，以2及5为半径的两个圆所夹的圆环，包括内边界，但不

包括外边界

【解析】

【分析】

根据模的几何意义说明.

【详解】解：（1）由|z|=3得，向量反的模等于3,所以满足条件|z|=3的点Z的集

合是以原点。为圆心，以3为半径的圆.

[|z|...2

（2）不等式2.|z|<5可化为不等式组「不等式|z|<5的是圆|z|=5的内部所

旧<5

有的点组成的集合，不等式|z|...2的解集是圆|z|=2上的点及其外部所有的点组成

的集合，所以，满足条件2,|z|<5的集合是以原点。为圆心，以2及5为半径的两

个圆所夹的圆环，包括内边界，但不包括外边界（如图所示）.

【点睛】本题考查复数模的几何意义，复数z的模忖表示其在复平面上对应点Z到

原点的距离|OZ|.

15.如果复数z的实部为正数，虚部为3,那么在复平面内，复数z对应的点应位于怎

样的图形上？

【答案】位于没有顶点的射线N=3(x>0)上.

【解析】

【分析】

根据复数的几何意义求解.

【详解】设z=“+bi(a,beA),由题意。>0,b=3,.•.点(%b)在无顶点的射线

y=3(x>0)上.

【点睛】本题考查复数的几何意义，复数。+位(a,beR)对应的点为尸伍力).

拓广探索

16.已知复数z的虚部为6,在复平面内复数z对应的向量的模为2,求这个复数z.

【答案】z=1+J5/或z=—1+百i.

【解析】

【分析】

可设复数2=。+行，仅€©，由目=2计算.

【详解】解：由题意可设复数2=。+百(7€火)，因为复数Z对应的向量的模为2.

所以/+3=4,解得。=±1,所以复数z=l+Vii或Z=—1+V5/.

【点睛】本题考查复数的模，属于基础题.解决复数问题，常常设复数

z=a+bi(a,b&R),然后代入计算.

17.在复平面内指出与复数4=1+2，/2=&+61/3=6-&，，Z4=-2+1对应的

点Z1,Z2，Z3，Z4,判断这4个点是否在同一个圆上，并证明你的结论.

【答案】4个点在以原点为圆心，V5

【解析】

【分析】

由复数几何意义，得出对应点的坐标，对应向量的坐标，计算它们的模，由模的几

何意义可得.

【详解】解：在复平面内与题中所给四个复数对应的点依次为

Z«,2),Z2(A/2,V3),Z3(V3,-A/2),Z4(-2,l),

得到对应的以原点为始点的向量依次为西，区，西，垣，则

OZ\=(1,2),应2=(后，百)，应3=(6，-&),反4=(-2,1),可得

|西|="+22=6

同理可得I运1=逐,|区1=指,|运1=逐，

所以Z”Z2，Z3，Z4,这4个点在以原点为圆心，为半径的圆上.

【点睛】本题考查复数的几何意义，由向量模的几何意义可得结论.

变式练习题

18.写出复数4,一兀，2-3i,0,--+-i,V3i-2,6i的实部与虚部，并指出哪

23

些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】结合复数的类型直接辨别即可.

【详解】4,—71,2—3i,0,---+—i,JJi一2,6i的实部分别是4,一兀，2,0,--,

232

—2,0；

4

虚部分别是0,0,—3,0,-,6,6.

4,一兀，0是实数；2—3i,+Gi-2,6i是虚数，其中6i是纯虚数.

19.当实数也为何值时，复数z=立丝心+佃2一2加-15)i是实数、纯虚数、虚

数？

【答案】能=5时，复数z为实数；加=3或/〃=-2时，复数z为纯虚数；〃?。-3且

加时，复数z为虚数.

【解析】

【分析】由复数的概念求解即可

【详解】解：当加2一2加-15=0且m+3。0时，复数Z为实数，解得加=5,所以当

〃?=5时，复数z为实数；

当〃广一〃'-6=0且〃?+300,且〃?2一2朗—1500时，复数z为纯虚数，由

加+3

———~-=0>得〃？=3或加=—2,由+3。0,且加2-2m一15Ho得〃2H—3且

m+3

m^5,

所以当〃?=3或机=-2,复数z为纯虚数；

当〃2〃?一15。0且加+3。0时，复数z为虚数，解得〃件一3且相。5,所以当

3且加。5时，复数z为虚数

综上，当加=5时，复数z为实数；机=3或机=-2时，复数z为纯虚数；加。-3且

〃?。5时，复数z为虚数

20,已知"={1,（加2—2加）+（川+加一2）i},P={-l,l,4i},若MUP=P,求实数〃?

的取值集合.

【答案】{1,2}

【解析】

【分析】先由MUP=P,得到M=

对（评_2加）+"+加_2》进行分类讨论：

当小+加―2=0时，解出加，再根据M=P和集合中元素的互异性进行排除；

当加2+加一2。0,列方程组解出m.

【详解】因为〃11尸二尸，所以"口尸.

因为A/={1,（阳2-2〃?）+®?+加一2）i},P={-l,l,4i},

所以当〃?2+加一2=0时，,解得加=1或加=一2；

若m=l,则有M={1「1},尸={—l,l,4i},符合MqP；

若加=—2,则有M={1,8},P={-l,l54i},