专题04 曲线与方程-直击2021年高考中的圆锥曲线问题（理科数学）

专题04曲线与方程一、曲线与方程的概念一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)＝0的形式，其中F(x，y)是关于x，y的解析式．在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：①曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；②以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．那么，方程F(x，y)＝0叫做曲线的方程；曲线C叫做方程的曲线．特别提醒：(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程F(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．二、坐标法（直接法）求曲线方程的步骤求曲线的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件p的点M的集合；（3）用坐标表示条件p(M)，列出方程；（4）化方程为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写．若遇到某些点虽适合方程，但不在曲线上时，可通过限制方程中x，y的取值范围予以剔除．另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程．三、代入法（相关动点法）求曲线方程的步骤代入法(相关动点法)求轨迹方程：在一些问题中，动点满足的条件不宜直接用等式列出，但是动点随另一动点(称之为相关点)的运动而变化．如果相关点所满足的条件是明显的，这时，我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程，即可求得动点的轨迹方程，这种求动点轨迹方程的方法称为代入法(相关动点法)．代入法(相关动点法)求轨迹方程的一般步骤：技巧1曲线与方程的概念例1、如果曲线l上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则以下说法正确的是()A．曲线l的方程是F(x，y)＝0B．方程F(x，y)＝0的曲线是lC．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线l上D．坐标满足方程F(x，y)＝0的点在曲线l上[思路分析]从“曲线的方程”和“方程的曲线”两方面判断．[规范解答]直接法：原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是曲线l上的点，则M点的坐标适合方程F(x，y)＝0”，其逆否命题即“若M点的坐标不适合方程F(x，y)＝0，则M点不在曲线l上”，故选C．特值法：作如图所示的曲线l，考查l与方程F(x，y)＝x2－1＝0的关系，显然A、B、D中的说法全不正确．∴选C．点睛：说明曲线C是方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0是曲线C的方程时，必须严格考察纯粹性和完备性，即“多一点不行，少一点不可”．技巧2方程的曲线例2、方程x(x2＋y2－1)＝0和x2＋(x2＋y2－1)2＝0所表示的图形是(C)A．前后两者都是一条直线和一个圆B．前后两者都是两点C．前者是一条直线和一个圆，后者是两点D．前者是两点，后者是一条直线和一个圆[规范解答]x(x2＋y2－1)＝0⇔x＝0或x2＋y2＝1，表示直线x＝0和圆x2＋y2＝1.x2＋(x2＋y2－1)2＝0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,x2＋y2－1＝0))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝±1))表示点(0,1)、(0，－1)．点睛：判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，既不能扩大也不能缩小变量的取值范围．技巧3求曲线的方程例3、已知点M到x轴的距离和点M与点F(0,4)的距离相等，求点M的轨迹方程．[思路分析]由题意知已经建立了直角坐标系，因此只需设出点M的坐标，套用两点间距离公式根据条件建立等式即可．[规范解答]设动点M的坐标为(x，y)，且点M到x轴的距离为d，则d＝|y|.由距离公式得|MF|＝eq\r(x－02＋y－42)，由d＝|MF|，整理得x2－8y＋16＝0，即y＝eq\f(1,8)x2＋2.故所求点M的轨迹方程是y＝eq\f(1,8)x2＋2.点睛：1.如果题设条件有明显的等量关系或者可运用平面几何知识推导出等量关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、检验”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种方法叫做直接法．2．求动点的轨迹方程时，如果已知条件中没有坐标系，则应首先建立坐标系，建立坐标系的方式不同，得到的轨迹方程可能也不同．1．已知,满足的动点的轨迹方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，，则，动点满足，即，则的轨迹是以、为焦点的双曲线，其中，，即，则，双曲线的方程为：，故选A.点睛：本题考查双曲线的定义与标准方程，关键是结合双曲线的定义分析得到要求轨迹为双曲线；根据双曲线的定义，分析可得的轨迹是以、为焦点的双曲线，结合题意可得，，计算出的值，将其代入双曲线的方程计算可得答案．2．在中，已知，且，则的轨迹方程是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】据正弦定理，将化为，判断出点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，根据数据求出其方程即可．【详解】，由正弦定理得，即，由双曲线的定义可知：点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，且，，.顶点的轨迹方程为，故选B【点睛】本题考查双曲线轨迹方程的求解，同时也考查三角形正弦定理边角互化思想的应用，属于基础题.3．已知的周长为，，则顶点的轨迹方程为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据三角形的周长和定点，得到点到两个定点的距离之和等于定值，得到点的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．【详解】的周长为12，顶点，，，，，点到两个定点的距离之和等于定值，点的轨迹是椭圆，，，，椭圆的方程：故选：．【点睛】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．4．过点，且与直线相切的动圆圆心的轨迹方程为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，圆心到点与到直线的距离相等，所以轨迹方程为。故选B。5．已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】设再表达出的坐标代入圆方程化简即可.【详解】设，则满足.故.故.又点在圆上.故.故选:C【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法，属于基础题型.6．已知定点，且，则动点的轨迹方程________．【答案】.【解析】【分析】设点,由题中等量关系利用两点之间距离公式可得,化简即得答案.【详解】设,根据题意得到方程,解得.故答案为:.【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求解问题,熟练掌握两点之间距离公式是解题的关键,属于基础题.7．已知，，满足的动点的轨迹方程为__________．【答案】【解析】根据双曲线的定义可得:长轴长,半焦距,由,解得,故方程为,应填.点睛:本题考查学生的是由定义法求曲线的轨迹方程问题,属于基础题目.求动点的轨迹方程的一般步骤:(1)建系—建立适当的坐标系．(2)设点—设轨迹上的任一点P(x，y)．(3)列式—列出动点P所满足的关系式．(4)代换—依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．(5)证明—证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．8．已知点，动点满足条件，则动点的轨迹方程．【答案】【解析】试题分析：依题意，点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，又∵．∴，∴所求方程为：．考点：双曲线的定义．9．已知点,圆.(1)求圆中过点的弦的中点的轨迹方程；(2)点是圆上的动点，求中点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设圆中过点的弦的中点，根据几何条件得,再根据向量数量积为零得轨迹方程，（2）设,则,再代入圆方程解得轨迹方程.【详解】（1）圆,则,设圆中过点的弦的中点,则,所以,,即；（2）设,则,所以,即【点睛】本题考查直接法求轨迹以及转移法求轨迹，考查基本分析求解能力，属中档题.10．已知点和点，动点满足.（1）求动点P的轨迹方程；（2）过点作x轴的垂线，垂足为，求的中点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，利用向量的坐标表示可得结果；（2）设，则，将点的坐标代入可得结果.【详解】（1）设，则，，由得，所以，即，所以动点P的轨迹方程.（2）设，则，因为点在圆上，所以，即.所以的中点的轨迹方程是.【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，考查了求动点的轨迹方程，属于基础题.1．（2020年新课标全国I卷）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；【答案】（1）；【解析】【分析】（1）由已知可得：，，，即可求得，结合已知即可求得：，问题得解.【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程可得：，，，，椭圆方程为：2．（2017年新课标全国II卷）设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】【详解】（1）设P（x，y），M（）,则N（），由得.因为M（）在C上，所以.因此点P的轨迹为.（2）由题意知F（-1,0），设Q（-3，t），P（m，n），则，.由得-3m-+tn-=1，又由（1）知，故3+3m-tn=0.所以，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.点睛:定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.今天错在哪里啦？__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________