2024年中考数学考点04 二次函数（原卷版）

知识必备04二次函数（知识清单+4种方法清单+9个考试清单真题专练）方法1：二次函数综合之“线段周长”问题(1)线段的数量关系此类问题一般是求满足线段数量关系的点的坐标，针对这种情况应先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；最后表示出线段的长度，列出满足线段数量关系的等式，从而求出未知数的值；(2)线段最值问题

此类问题通常有两类：

①设出关键的点的未知数(通常是一个跟所求线段关系紧密的点的横坐标)，通过题目中的函数和图形关系，用该点的横坐标表示出有关线段端点的坐标，进而表示出线段的长，通过二次函数的性质求最值，继而得到线段的最大值或最小值；

②在求线段最小值的时候可以利用轴对称模型.此类问题一般是要寻找一个动点，使其到两个顶点的距离最小，通常是作一个定点关于动点所在直线的对称点，连接这个对称点与另一个定点的线段即为所求的最小值；(3)周长最值问题

此类问题一般为所求图形中有一动点，对其求周长最值，解决此类问题时应利用转化思想，即先观察图形，结合题目，分清楚定线段和不定线段，然后将其所求图形周长的最值转化到求不定线段和的最值，进而转化为求线段最值问题，其方法同(2).1．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）抛物线经过点，与轴交于点，对称轴为，点是轴上一点，过点作垂直于轴的直线分别交抛物线和直线于点和点．(1)求二次函数的表达式；(2)若、、三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求点的坐标；(3)分别过点、向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点、，矩形与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作，的最高点的纵坐标为，最低点纵坐标为，当时，求点的坐标．2．（2023·内蒙古·内蒙古师范大学附属学校校考三模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，B点坐标为．与y轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求的最大值；(3)点D为抛物线对称轴上一点．当是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标．3．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．

(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？4．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．

(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求周长的最小值；(3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．方法2：二次函数综合之“面积”问题必备知识1二次函数的解析式结构、图形变换特征与类别2一次函数的概念、性质与图像特征3二次函数与一次函数相交的类别4坐标系中的面积求法:割补法、图形变换法、坐标法、共边共角、垂线段等核心方法1.核心思路:判定求面积类别——使用模型解法求解2.核心技巧:利用数学结合思想，将代数的距离问题转化为几何的底边与高等面积求解问题；割补类注意规则图形的结构特征；图形替换类注意替换角度。3.核心推理过程:识别基础条件，思考归属类别，采用核心技巧，判定解法考察重点1考察重点:坐标系中的面积求法；二次函数的面积相关描述条件；面积求解方法的特征2逻辑重点:识别二次函数的基础条件，直线交点，相交构图特征常见分析思路1先定面积求法:底X高;割补类;垂线段；将军饮马模型最大边2利用二次函数与直线等函数解析式，求解数值1．（2023·吉林松原·校联考三模）如图，抛物线过点，，点为x轴上一个动点（点M不与点A，C重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线和抛物线分别交于点D，N．

(1)求此抛物线的解析式；(2)求当点D是线段的中点时m的值；(3)当与的面积相等时，求点M的坐标；(4)过点D作轴于E，过点N作轴于F．直接写出在矩形内部的抛物线当y随x增大而增大时m的取值范围．2．（2023·广西贵港·统考三模）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于A，两点，点A在点左侧，点的坐标为，．

(1)求抛物线的解析式；(2)若点是第三象限抛物线上的动点，连接，当的面积为3时，求出此时点的坐标；(3)将抛物线向右平移2个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，在原抛物线的对称轴上，为平移后的抛物线上一点，当以A、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．3．（2023·海南海口·海师附中校考三模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，顶点为D，连接，P是第一象限内抛物线上的动点，连接，设点P的横坐标为t．

(1)求抛物线的解析式；(2)当t为何值时，的面积最大？并求出最大面积；(3)M为直线上一点，求的最小值；(4)过P点作轴，交于E点．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2023·吉林长春·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中．

(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；(2)当点在轴上时，求点的坐标；(3)该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值．(4)当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值．方法3：二次函数综合之“特殊三角形存在性”问题一、等腰三角形存在性根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB．但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意．1、知识内容：在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种：（1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边；（2）两点间距离公式：设A（x1，y1）、B（x2，y2）2、解题思路：（1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；（2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）（3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根．二、直角三角形存在性在考虑△ABC是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定理。以函数为背景的直角三角形存在性问题1、知识内容：在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作出垂直于坐标轴的直线来构造直角。另外，较困难的情况则需要用到全等或者勾股定理的计算来确定直角三角形．2、解题思路：（1）按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；（2）计算出相应的边长等信息；（3）根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标．1．（2023·广东汕头·汕头市潮阳实验学校校考二模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，拋物线的对称轴交轴于点，已知．

(1)求抛物线的解析式；(2)点是线段上的一个动点（不与重合），过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．2．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考三模）如图，在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于两点，与y轴交于点C．

(1)求的面积；(2)点P是直线下方抛物线上一动点，过作于点，求线段的最大值及此时点P的坐标；(3)将抛物线沿射线平移个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，将沿直线平移得到（不与重合），若以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程．3．（2022·广东梅州·一模）已知抛物线与轴有两个不同的交点．(1)试确定的取值范围．(2)设该抛物线与轴的交点为，，其中；抛物线与y轴交于点，如图所示．①求该抛物线的表达式并确定点坐标和点坐标；②连接，动点以每秒个单位长度的速度由向运动，同时动点E以每秒个单位长度的速度由向运动，连接，当点到达点的位置时，、同时停止运动，设运动时间为秒．当为直角三角形时，求的值．4．（2023·江苏淮安·统考三模）数学兴趣小组同学们对二次函数（n为正数）进行如下探究：(1)同学们在探究中发现，该函数图像除与y轴交点不变外，还经过一个定点，请写出点坐标；(2)有同学研究后认为，该二次函数图像顶点不会落在第一象限，你认为是否正确，请说明理由；(3)若抛物线与x轴有两个交点，且交点与顶点构成的三角形是直角三角形，请帮兴趣小组同学求出的值.5．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．6．（2023·四川·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；(2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；(3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．7．（2023·吉林松原·校联考三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线(a为常数，且)，此抛物线与y轴交于点A，过点A作y轴的垂线与此抛物线交于点B，点A与点B不重合．

(1)抛物线的对称轴为直线_______；(2)当抛物线经过坐标原点时，①求此抛物线所对应的二次函数表达式；②当(m为常数)时，y的最小值为，求m的值；(3)若点P是抛物线对称轴上的点，其纵坐标为，当以点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出a的值．方法4：二次函数综合之“特殊四边形存在性”问题一、平行四边形的存在性问题1.要先明确定点和动点，常以定点为对角线和边进行分类;2.三定一动，有三种情况，可借助平移，全等、中点公式等知识确定坐标..(坐标平移规律:左减右加变x上加下减变y如何平移?可先确定其中两点的变化作参照，以此变化确定)3.两定两动:以定线段作边或对角线，确定分类;常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐标公式建等式求解常见设问:已知A、B，求另外两点C、D与A、B两点构成平行四边形分类讨论:当AB为边时，找AB平行且等于的CD利用距离建立数量关系，求出相应点的坐标;当AB为对角线时，AB的中点即为对角线的交点，结合图形的对称性，围绕对角顶点的横坐标和纵坐标之和分别相等进行求解，列出两个二元一次方程组来求解.4.三动点或四动点:往往有不变特征，如两边始终平行，满足相等即可二、菱形的存在性问题(常为含60°角的菱形)通常有两大类:1.已知三个定点探究菱形时，分别以三个定点中的任意两个定点确定线段为要探究的菱形的对角线画出所有菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形;2已知两个定点去探究菱形时，以两个定点连线所成的线段作为要探究菱形的对角线或边长画出符合题意的菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形:3.计算:建立类似平行四边形的存在性问题来解三、矩形的存在性问题等价于直角三角形的存在性问题（其特点往往是2定点2动点），通过构造一线三等角模型或勾股定理，可以求出其中一个顶点的坐标，再根据对称性求出另一个顶点的坐标。分类的依据往往是以已知两点所在线段为边或对角线进行分类讨论。四、正方形存在性问题正方形是菱形和矩形特征的集结，因此同时采取菱形或矩形存在性问题解决的方法去求点的坐标。1．（2023·广西贵港·统考三模）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于A，两点，点A在点左侧，点的坐标为，．

(1)求抛物线的解析式；(2)若点是第三象限抛物线上的动点，连接，当的面积为3时，求出此时点的坐标；(3)将抛物线向右平移2个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，在原抛物线的对称轴上，为平移后的抛物线上一点，当以A、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．2．（2023·山西大同·校联考三模）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为，连接．

(1)求A，B，C三点的坐标；(2)当的面积等于的面积的时，求m的值；(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试探究是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2023·四川南充·统考中考真题）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．4．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，抛物线过点．

(1)求抛物线的解析式；(2)设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标；(3)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2023·山东日照·日照市新营中学校考三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和，与y轴交于点C，连接．

(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，在x轴上有一动点D，平面内是否存在一点E，使以点A、D、C、E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．(3)如图2，点M为抛物线上的一动点：①若点M为直线上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q，求周长的最大值；②若点M为抛物线上的任意一动点，且，请直接写出满足条件的点M的坐标．6．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．

(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标．(3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023·山东东营·东营市胜利第一初级中学校考三模）已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P是抛物线上位于直线下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线于点D，交x轴于点E，当取最大值时，求点P的坐标及最大值．(3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由．8．（2023·吉林松原·校联考三模）如图，抛物线过点，，点为x轴上一个动点（点M不与点A，C重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线和抛物线分别交于点D，N．

(1)求此抛物线的解析式；(2)求当点D是线段的中点时m的值；(3)当与的面积相等时，求点M的坐标；(4)过点D作轴于E，过点N作轴于F．直接写出在矩形内部的抛物线当y随x增大而增大时m的取值范围．9．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，已知拋物线与轴交于点与轴交于点．

(1)求的值及该抛物线的对称轴；(2)若点在直线上，点是平面内一点．是否存在点，使得以点为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．

(1)求抛物线的解析式；(2)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长；(3)点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．11．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．

(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？一．二次函数的性质（共4小题）1．（2023•大连）已知二次函数，当时，函数的最大值为A． B． C．0 D．22．（2023•台州）抛物线与直线交于，，，两点，若，则直线一定经过A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限3．（2023•扬州）已知二次函数为常数，且，下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当时，随的增大而减小；④当时，随的增大而增大．其中所有正确结论的序号是A．①② B．②③ C．② D．③④4．（2023•安徽）下列函数中，的值随值的增大而减小的是A． B． C． D．二．二次函数图象与系数的关系（共3小题）5．（2023•株洲）如图所示，直线为二次函数的图象的对称轴，则下列说法正确的是A．恒大于0 B．，同号 C．，异号 D．以上说法都不对6．（2023•眉山）如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（2023•烟台）如图，抛物线的顶点的坐标为，，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是A．1 B．2 C．3 D．4三．二次函数图象上点的坐标特征（共3小题）8．（2023•广东）如图，抛物线经过正方形的三个顶点，，，点在轴上，则的值为A． B． C． D．9．（2023•南充）若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是A． B． C． D．10．（2023•岳阳）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数，为常数，总有两个不同的倍值点，则的取值范围是A． B． C． D．四．二次函数图象与几何变换（共3小题）11．（2023•广西）将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是A． B． C． D．12．（2023•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为A． B． C． D．13．（2023•西藏）将抛物线平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度五．二次函数的最值（共3小题）14．（2023•杭州）设二次函数，，是实数），则A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为 C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为15．（2023•泰安）二次函数的最大值是．16．（2023•绍兴）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则．六．待定系数法求二次函数解析式（共2小题）17．（2023•宁波）如图，已知二次函数图象经过点和．（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．（2）当时，请根据图象直接写出的取值范围．18．（2023•绍兴）已知二次函数．（1）当，时，①求该函数图象的顶点坐标；②当时，求的取值范围；（2）当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式．七．抛物线与x轴的交点（共3小题）19．（2023•衡阳）已知，若关于的方程的解为，，关于的方程的解为，．则下列结论正确的是A． B． C． D．20．（2023•郴州）已知抛物线与轴有且只有一个交点，则．21．（2023•黑龙江）如图，抛物线与轴交于，两点．交轴于点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．八．二次函数与不等式（组）（共1小题）22．（2023•新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是A．4个 B．3个 C．2个 D．1个九．二次函数的应用（共3小题）23．（2023•天津）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中，正确结论的个数是A．0 B．1 C．2 D．324．（2023•宜昌）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度（单位：与水平距离（单位：之间的关系是，则铅球推出的距离．25．（2023•长春）2023年5月28日，商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口、的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点处相遇．此时相遇点距地面20米，喷水口、距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口