随机变量及其分布课件市公开课一等奖省赛课微课金奖课件

1第二章随机变量及其分布随机变量随机变量分布函数离散型随机变量连续型随机变量随机变量函数分布第1页2从概率定义我们知道，概率是自变量为集合特殊函数；为了能用变量、函数及微积分等工具来研究事件发生概率，需要引入概率论中主要概念――随机变量。§2.1随机变量第2页3定义：设E是一个随机试验，Ω是其样本空间，假如对每一个，有唯一实数X(ω)与之对应，则称X是E一个随机变量。说明3引进随机变量后，随机事件能够用随机变量在实数轴上某一个集合中取值来表示。所以，研究随机事件概率就转化为研究随机变量取值概率。第3页4例2.观察某网站在一段时间内被点击次数。例3.观察灯泡使用寿命t.例1.从含有2个黑球，3个白球盒子中任取3个球，观察取出球情况。若令X表示取出3个球中黑球个数第4页5§2.2随机变量分布函数对于随机试验而言，仅仅知道可能出现随机事件并不主要，主要是这些事件出现可能性有多大。

对于随机变量X来说，就是X取什么值不主要，主要是X取这些值概率有多大。第5页6注意（1）分布函数定义域为一切实数；（2）分布函数在x处取值表示是随机变量X在上概率。定义：设X是一个随机变量，是一个实数，函数就称为随机变量X概率累积分布函数(cdf:cumulativedistributionfunction)，简称分布函数。第6页7分布函数性质：（1）单调增，即若，则有（2）且（3）右连续，即含有上述3条性质函数一定是某个随机变量分布函数。第7页8例1、判断以下函数是否为分布函数：第8页9关于分布函数还有一些惯用公式：（1）（2）（3）（4）第9页10§2.3离散型随机变量离散型随机变量：假如随机变量取值个数有限，或者可数，则其取值能按一定次序一一列举出来，这么随机变量称为离散型随机变量。第10页11定义：假如离散型随机变量X一切可能取值为，则称P(X=xk)＝pk为随机

变量X分布律(列),也称概率质量函数pmf:probabilitymassfunction。分布律常惯用表格形式表示：Xx1x2

…xk…Pp1p2

…pk…2.3.1离散型随机变量分布列第11页12分布律性质：反之，若数列满足这两条性质，则一定是某一离散型随机变量分布律。（1）（2）第12页13例1.设离散型随机变量X分布列为求正数a值。例2.设离散型随机变量X分布列其中，为已知，求常数C。第13页14离散型随机变量X分布函数为

例3.求随机变量X分布函数。

X分布列为X0123第14页15定义：把试验E在相同条件下重复进行n次，各次试验结果有限且互不影响，则称这n次试验为n次独立试验。假如试验只有两个结果（），则称为贝努里试验。n次独立贝努里试验又称为n重贝努里试验。第15页162.3.2常见离散型随机变量

（1）(0-1)分布(两点分布)(two-pointdistribution)其中，则称X服从（0-1）分布。（0-1）分布随机变量X对应贝努里试验里成功（A事件）次数。P(A)=p设随机变量X只可能取0和1两个数值，它分布律为第16页17（2）二项分布(Binomialdistribution)若随机变量X分布律为

其中，则称X服从参数为n,p二项分布，记为，当时，就是(0-1)分布。二项分布随机变量X对应n重贝努里试验中成功次数。P(A)=p第17页18定理：设X是n重贝努里试验中成功（A发生）

次数，则X~B(n,p)，其中p=P(A)第18页19定理：设X~B(n,p)，m=(n+1)p,则设k为事件A最可能成功次数，称P(X=k)为二项分布中心项。第19页20泊松定理可用泊松分布近似计算二项分布概率，通常要求第20页21例4.把3个球任意地放到4个盒子中，令X表示

落到第1个盒中球个数，求X分布列。第21页例5.甲乙两种名酒各4杯，从中任取4杯，若取

出都是甲种酒称试验成功（A），求：1.试验一次取得成功概率；

2.某人称能区分这两种酒，让他做了10次

试验，结果成功了3次，试判断此人是否

真有区分这两种酒能力。第22页23（3）泊松分布（Poissondistribution）设随机变量X可能取值为一切非负整数，而取值k概率为

，其中是常数，则称X服从参数为λ泊松分布，记为

X～P()。设k为最可能成功次数，则称P(X=k)为泊松分布中心项。第23页服从泊松分布随机现象尤其集中在两个领域中。一是社会生活中：如电话交换台中收到呼叫次数，公共汽车站到来乘客数，某地域某时间间隔内发生交通事故次数等等。二是物理学领域：放射性物质经过某区域质点数，显微镜下某区域微生物或血细胞数目等等。Poisson分布主要用于描述在固定时间(空间)中稀有事件发生数第24页Possion分布基本特征一个Poisson过程有三个基本特征：(1)在长度为t时间段内，发生一次事件机率与t成正比：。(2)瞬间发生两次及两次以上事件机率能够忽略。(3)在不重合时间段里，事件各自发生次数是独立。在长度为t时间段内，事件发生次数X～P()

。则在单位时间段内，事件发生次数X～P()

。第25页26泊松定理结论：1.泊松分布能够看做二项分布当n很大，p很小时极限分布,；2.可用泊松分布近似计算二项分布概率，通常要求第26页（4）超几何分布（Hypergeometricdistribution）若X分布律为实例：不放回摸球问题注：当N很大，n很小时，不放回摸球问题可近似当成有放回摸球问题处理，令p=M/N,第27页28（5）几何分布（Geometricdistribution）定义：若随机变量X分布律为，则称X服从几何分布。X含义：贝努里试验中首次成功事件出现所要进行试验次数。第28页29例1。一射手对某一目标进行射击，每一次

击中概率为0.8（1）求一次射击分布列；（2）求到击中目标为止所需射击次数分布列。第29页30（6）负二项分布（帕斯卡分布）

(negativebinomial/Pascaldistribution)尤其，当r=1时即为几何分布。X含义：贝努里试验中第r次成功事件出现所要进行试验次数。第30页312.4.1连续型随机变量概念假如随机变量取值能充满实数轴上某个区间，甚至于整个实数轴。这么随机变量称为连续型随机变量。§2-4连续型随机变量第31页32定义：设随机变量X分布函数为。若存在非负可积函数，使得对于任一实数x有①则称X是连续型随机变量，其中函数称为X概率密度函数ProbabilityDensityFunction，简称为概率密度pdf。第32页33概率密度性质：（1）（2）反之，对于任何一个满足这两条性质函数则由①定义也一定是某个连续型随机变量分布函数。（4）若在x处连续，则（3）是连续函数第33页34

对连续型随机变量X而言，概率为0事件未必是不可能事件；概率为1事件也未必是必定事件。（5）连续型随机变量X在一个点上取值概率恒为0。第34页35例1.设连续型随机变量X分布函数为求常数A及其概率密度函数。例2.设连续型随机变量X概率密度函数为

,－∞<x<+∞，求常数C。第35页36注意：普通，同一个连续型随机变量X概率密度函数能够有很多个，但它们只在有限个点或可数个点上取值不一样。

所以连续型随机变量X概率密度函数是“几乎处处”唯一。第36页372.4.2几个主要连续型随机变量

1、均匀分布Uniformdistribution

设有连续型随机变量X，其概率密度为记为。则称X在区间上服从均匀分布，分布函数：第37页例1.设随机变量K～，求方程有实根概率。解：K概率密度函数为：方程有实根，即第38页392、指数分布Exponentialdistribution若随机变量X含有密度：其中，是常数，则称X服从参数为λ

指数分布（寿命分布）。记为：X~。分布函数：性质：指数分布含有无记忆性MemorylessProperty第39页40例2.某种电器元件使用寿命X（单位：小时）服从

参数为λ＝1/指数分布。（1）任取一个元件，求能正常使用1000小时

以上概率。（2）求其正常使用1000小时后还能使用1000

小时概率。第40页例3.某种电子元件寿命(小时)服从参数为1/10000指数分布。

问：5个这么元件连续使用了小时后恰有2个损坏

概率和没有一只元件损坏概率。解：该种元件寿命概率密度为：一个元件寿命不超出小时概率为第41页记Y为5个元件使用小时后损坏个数，则：Y～所以，2个元件损坏概率没有元件损坏概率第42页3正态分布Normal/Gaussiandistribution若X

pdf为则称X服从参数为

,2正态分布(高斯分布)。记作X

～N(,2)为常数，1、定义第43页德国10马克现金上

Gauss与正态分布曲线第44页第45页2、f(x)性质：(1)图形关于直线x=

对称。(2)在x=

时,f(x)取得最大值。(3)

x=

±

为曲线

y=f(x)拐点。(4)曲线

y=f(x)以x轴为渐近线。(5)曲线

y=f(x)图形呈单峰状。yxμ(6)参数σ决定了正态曲线形状，

σ越小，曲线越陡峭数据越集中，

σ越大，曲线越扁平，数据越分散。第46页47标准正态分布：当μ＝0、σ＝1时分布称为标准正态分布，记为N(0,1)，则其分布函数为：定理：设X～，则。第47页48标准正态分布性质及应用

第48页例

设X~N(1,4),求P(0

X1.6)解查表第49页50α

分位点：给定常数

，若存在数满足，则称为随机变量X上α分位点（临界点）；当时，称为随机变量X中位数。yxo普通,上α分位点可查表得到。第50页51例1：公共汽车车门高度是按照男子与车门

顶碰头机会小于1%设计。假设男子身高X~N(175,25)，问车门高度应为多少适当？第51页例2.某医院新出生婴儿体重X近似服从正态分布，已知超出4千克和不到2.5千克人数各占了20％，求值及体重不到2千克人数所占百分比。解：第52页53例3.某科统考成绩近似服从正态分布，在参加统考人中，及格者100人（及格分数为60分）

计算：1）不及格人数。2）预计第10名成绩。第53页例4.

设测量误差X

～N(7.5,100)(单位：米),问要进行多少次独立测量，才能使最少有一次误差绝对值不超出10米概率大于0.9?解设A

表示进行n

次独立测量最少有一次误差绝对值不超出10米。n

>3.12所以最少要进行4次独立测量才能满足要求.第54页552-5随机变量函数分布已知随机变量X分布，是连续函数，

求分布律、分布函数或密度函数。第55页56则分布列为：

g(x1)

g(x2)…g(xk)…Pp1p2…pk…1.X是离散型随机变量：X

x1

x2…xk…P

p1p2…pk…