山东省烟台市莱州大郎中学高三数学文上学期期末试卷含解析

山东省烟台市莱州大郎中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.点M（2，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，则a的值为（）A． B． C．或 D．或参考答案：C【考点】抛物线的简单性质；直线与抛物线的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的准线方程，利用已知条件列出方程求解即可．【解答】解：抛物线y=ax2的标准方程为：x2=y，a＞0时，准线方程为：y=﹣，a＜0时准线方程为：y=点M（2，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，可得1+=2，解得a=，﹣﹣1=2，解得a=﹣．故选：C．【点评】本题考查抛物线方程的简单性质的应用，注意抛物线方程的标准方程的应用，是易错题．2.若集合E={x|﹣1＜x＜9，x∈N}，F={y|y=x﹣5，x∈E}，则E∩F=（）A．{1，2，3} B．? C．{0，1，2，3} D．{0，1，2，3，4}参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合E，F，由此能求出E∩F．【解答】解：∵集合E={x|﹣1＜x＜9，x∈N}={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，F={y|y=x﹣5，x∈E}={﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴E∩F={0，1，2，3}．故选：C．3.下列函数中,在区间上为增函数的是(

).A．

B． C． D．参考答案：A略4.已知函数f（x）=的图象上存在不同的两点A、B，使得曲线y=f（x）在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（）A．（，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣1，）参考答案：A【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出a=（t4+2t2+8t+1），t＞0，由单调性可得出a的取值范围．【解答】解：当x＜0时，f（x）=x2+x+a的导数为f′（x）=2x+1；当x＞0时，f（x）=的导数为f′（x）=﹣，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2，当x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2时，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2，当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为：y﹣（x12+x1+a）=（2x1+1）（x﹣x1）；当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为y﹣=﹣（x﹣x2）．两直线重合的充要条件是﹣=2x1+1①，=a﹣x12②，由x1＜0＜x2得0＜＜1，由①②令t=，则t＞0，且a=（t4+2t2+8t+1）在（0，+∞）为增函数，∴a＞，故选：A．5.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了20000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，按月收入用分层抽样方法抽样，若从月收入[3000，3500)(元)段中抽取了30人．则在这20000人中共抽取的人数为(

)

A.200

B.100

C.20000

D.40参考答案：A略6.若函数是偶函数,则(

). A． B． C． D．参考答案：C7.（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．8B．18C．26D．80参考答案：C由程序框图可知，当n=1，S=0时，S1=0+31﹣30=2；同理可求n=2，S1=2时，S2=8；n=3，S2=8时，S3=26；执行完后n已为4，故输出的结果为26．故选C．8.在整数集z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，则[k]=[5n+k]，k=0，1，2，3，4，则下列结论错误的是（） A． 2013∈[3] B． Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4] C． “整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a﹣b∈[0]” D． 命题“整数a，b满足a∈[1]，b∈[3]，则a+b∈[4]”的原命题与逆命题都为真命题参考答案：D略9.设实数x，y满足，则目标函数（

）A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，无最大值C.有最小值-1，最大值3 D.既无最小值，也无最大值参考答案：B【分析】先作出不等式的可行域，再利用数形结合分析得解.【详解】由题得不等式的可行域如图所示，由题的y=-x+z,直线的纵截距为z,当直线y=-x+z经过点A时，直线的纵截距z最小，联立得A(2,0),所以z最小=2+0=2，由于纵截距没有最大值，所以z没有最大值.故选：B10.某程序框图如右图所示，若输出的S=57，则判断框内填A. B. C. D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数、满足，则的最大值是 ．参考答案：112.对于正整数n，设xn是关于x的方程nx3+2x﹣n=0的实数根，记an=[（n+1）xn]（n≥2），其中[x]表示不超过实数x的最大整数，则（a2+a3+…+a2015）=

．参考答案：2017【考点】8E：数列的求和．【分析】根据条件构造f（x）=nx3+2x﹣n，求函数的导数，判断函数的导数，求出方程根的取值范围进行求解即可．【解答】解：设f（x）=nx3+2x﹣n，则f′（x）=3nx2+2，当n是正整数时，f′（x）＞0，则f（x）为增函数，∵当n≥2时，f（）=n×（）3+2×（）﹣n=?（﹣n2+n+1）＜0，且f（1）=2＞0，∴当n≥2时，方程nx3+2x﹣n=0有唯一的实数根xn且xn∈（，1），∴n＜（n+1）xn＜n+1，an=[（n+1）xn]=n，因此（a2+a3+a4+…+a2015）=（2+3+4+…+2015）==2017，故答案为：2017．【点评】本题考查递推数列的应用以及函数的单调性的应用函数的零点，数列求和的基本方法，考查分析问题解决问题以及计算能力，综合性较强，难度较大．13.已知等比数列{an}的各项均为正数，若a1=3，前三项的和为21，则a4+a5+a6=

．参考答案：168【考点】等比数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得公比，而a4+a5+a6=（a1+a2+a3）?q3，代入求解可得．【解答】解：可设等比数列{an}的公比为q，（q＞0）由题意可得a1+a2+a3=3+3q+3q2=21，解之可得q=2，或q=﹣3（舍去）故a4+a5+a6=（a1+a2+a3）?q3=21×8=168故答案为：168【点评】本题考查等比数列的性质，整体法是解决问题的关键，属中档题．14.设函数的定义域为,值域为,若的最小值为,则实数的值为

．参考答案：略15.函数的值域为_____________.参考答案：16.设实数x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，记m为的最小值，则y=sin（mx+）的最小正周期为．参考答案：π【考点】简单线性规划．【分析】首先根据线性规划问题和基本不等式求出函数的最值，再利用正弦型函数的最小正周期，求出结果．【解答】解：设x、y的线性约束条件，如图所示：解得A（1，1）目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，即：a+b=2，所以：+=≥2，则y=sin（2x+）的最小正周期为π，故答案为：π．【点评】本题考查的知识要点：线性规划问题，基本不等式的应用，正弦型函数的最小正周期，属于基础题型．17.已知在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则

．参考答案：4．试题分析：由题意可建立如图所示的坐标系，可得，，或，所以可得或，，，所以，所以或．故应填4．考点：平面向量的数量积的运算．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy

中，曲线C1的参数方程为:（为参数），M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程;(2)在以O为极点，x

轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.参考答案：（1）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以

从而的参数方程为（为参数）

（2）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。

射线与的交点的极径为，

射线与的交点的极径为。所以.19.以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的长度单位,直线的参数方程为,圆的极坐标方程.1.求直线的普通方程与圆的直角坐标方程;2.设曲线与直线交于两点,若点的直角坐标为,求的值.参考答案：1.直线的普通方程为:,,所以.所以曲线的直角坐标方程为(或写成)..

2.点在直线上,且在圆内,把代入,得,设两个实根为,则,即异号.所以.20.已知函数若函数的最小值是，且对称轴是，

求的值：(2）在（1）条件下求在区间的最小值

参考答案：（1）

(2）当时，即时

在区间上单调递减当时，即时

在区间上单调递减，在区间上单调递增

当时，在区间上单调递增，

21.（本小题满分13分）已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为.(Ⅰ)已知函数，若且，求实数的取值范围；(Ⅱ)已知，且的部分函数值由下表给出，

求证：；(Ⅲ)定义集合请问：是否存在常数，使得，，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.参考答案：解：（I）因为且，即在是增函数，所以

………………1分而在不是增函数，而当是增函数时，有，所以当不是增函数时，综上，得

………………4分(Ⅱ)因为，且

所以，所以，同理可证，三式相加得

所以

………………6分因为所以而，所以所以

………………8分(Ⅲ)因为集合

所以，存在常数，使得

对成立我们先证明对成立假设使得，记因为是二阶比增函数，即是增函数.所以当时，，所以

所以一定可以找到一个，使得这与

对成立矛盾

………………11分对成立

所以，对成立下面我们证明在上无解假设存在，使得，则因为是二阶增函数，即是增函数一定存在，，这与上面证明的结果矛盾所以