高等数学3省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

第三章1/176一、罗尔(Rolle)定理比如,2/176几何解释:3/176证4/1765/176注意:若罗尔定理三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.比如,又比如,6/176例1证由介值定理即为方程小于1正实根.矛盾,7/176二、拉格朗日(Lagrange)中值定理8/176几何解释:证分析:弦AB方程为9/176作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式准确地表示了函数在一个区间上增量与函数在这区间内某点处导数之间关系.10/176拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理推论11/176例2证12/176例3证由上式得13/176三、柯西(Cauchy)中值定理14/176几何解释:证作辅助函数15/17616/176例4证分析:结论可变形为17/176四、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间关系；注意定理成立条件；注意利用中值定理证实等式与不等式步骤.18/176思索题试举例说明拉格朗日中值定理条件缺一不可.19/176思索题解答不满足在闭区间上连续条件；且不满足在开区间内可微条件；以上两个都可说明问题.20/176练习题21/17622/17623/176练习题答案24/176定义比如,25/176定理定义这种在一定条件下经过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值方法称为洛必达法则.26/176证定义辅助函数则有27/176例1解例2解28/176例3解例4解29/176例5解30/176注意：洛必达法则是求未定式一个有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更加好.例6解31/176例7解关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可处理类型.步骤:32/176例8解步骤:33/176步骤:例9解34/176例10解例11解35/176例12解极限不存在洛必达法则失效。注意：洛必达法则使用条件．36/176三、小结洛必达法则37/176思索题38/176思索题解答不一定．例显然极限不存在．但极限存在．39/176练习题40/17641/17642/176练习题答案43/176一、单调性判别法定理44/176证应用拉氏定理,得45/176例1解注意:函数单调性是一个区间上性质，要用导数在这一区间上符号来判定，而不能用一点处导数符号来判别一个区间上单调性．46/176二、单调区间求法问题:如上例，函数在定义区间上不是单调，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域某个区间内是单调，则该区间称为函数单调区间.导数等于零点和不可导点，可能是单调区间分界点．方法:47/176例2解单调区间为48/176例3解单调区间为49/176例4证注意:区间内个别点导数为零,不影响区间单调性.比如,50/176三、小结单调性判别是拉格朗日中值定理定理主要应用.定理中区间换成其它有限或无限区间，结论依然成立.应用：利用函数单调性能够确定一些方程实根个数和证实不等式.51/176思索题52/176思索题解答不能断定.例但53/176当时，当时，注意能够任意大，故在点任何邻域内，都不单调递增．54/176练习题55/17656/176练习题答案57/17658/176一、函数极值定义59/176定义函数极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值点称为极值点.60/176二、函数极值求法定理1(必要条件)定义注意:比如,61/176定理2(第一充分条件)(是极值点情形)62/176求极值步骤:(不是极值点情形)63/176例1解列表讨论极大值极小值64/176图形以下65/176定理3(第二充分条件)证66/176例2解图形以下67/176注意:68/176例3解注意:函数不可导点,也可能是函数极值点.69/176三、小结极值是函数局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)70/176思索题下命题正确吗？71/176思索题解答不正确．例72/176在–1和1之间振荡故命题不成立．73/176练习题74/17675/176练习题答案76/176一、最值求法77/176步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:假如区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)78/176二、应用举例例1解计算79/176比较得80/176点击图片任意处播放\暂停例2敌人乘汽车从河北岸A处以1千米/分钟速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟．问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？81/176解(1)建立敌我相距函数关系敌我相距函数得唯一驻点82/176实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;83/176例3某房地产企业有50套公寓要出租，当租金定为每个月180元时，公寓会全部租出去．当租金每个月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出房子每个月需花费20元整修维护费．试问房租定为多少可取得最大收入？解设房租为每个月元，租出去房子有套，每个月总收入为84/176（唯一驻点）故每个月每套租金为350元时收入最高。最大收入为85/176点击图片任意处播放\暂停例486/176解如图,87/176解得88/176三、小结注意最值与极值区分.最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值步骤.89/176思索题90/176思索题解答结论不成立.因为最值点不一定是内点.例在有最小值，但91/176练习题92/17693/17694/176练习题答案95/176一、曲线凹凸定义问题:怎样研究曲线弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦上方图形上任意弧段位于所张弦下方96/176定义97/176二、曲线凹凸判定定理198/176例1解注意到,99/176三、曲线拐点及其求法1.定义注意:拐点处切线必在拐点处穿过曲线.2.拐点求法证100/176方法1:101/176例2解凹凸凹拐点拐点102/176103/176方法2:例3解104/176注意:105/176例4解106/176四、小结曲线弯曲方向——凹凸性;改变弯曲方向点——拐点;凹凸性判定.拐点求法1,2.107/176思索题108/176思索题解答例109/176练习题110/176111/176练习题答案112/176113/176一、渐近线定义:1.铅直渐近线114/176比如有铅直渐近线两条:115/1762.水平渐近线比如有水平渐近线两条:116/1763.斜渐近线斜渐近线求法:117/176注意:例1解118/176119/176120/176二、图形描绘步骤利用函数特征描绘函数图形.第一步第二步121/176第三步第四步确定函数图形水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其它改变趋势;第五步122/176三、作图举例例2解非奇非偶函数,且无对称性.123/176列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:不存在拐点极值点间断点124/176作图125/176126/176例3解偶函数,图形关于y轴对称.127/176拐点极大值列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:拐点128/176129/176例4解无奇偶性及周期性.列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:130/176拐点极大值极小值131/176132/176四、小结函数图形描绘综合利用函数性态研究,是导数应用综合考查.最大值最小值极大值极小值拐点凹凸单增单减133/176思索题134/176思索题解答135/176练习题136/176练习题答案第三章习题课137/176洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理惯用泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形描绘;曲率;求根方法.导数应用一、主要内容138/1761、罗尔中值定理139/1762、拉格朗日中值定理有限增量公式.140/1763、柯西中值定理推论141/1764、洛必达法则定义这种在一定条件下经过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值方法称为洛必达法则.关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可处理类型.注意：洛必达法则使用条件.142/1765、导数应用定理(1)函数单调性判定法143/176定义(2)函数极值及其求法144/176定理(必要条件)定义函数极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值点称为极值点.极值是函数局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.145/176定理(第一充分条件)定理(第二充分条件)146/176求极值步骤:147/176步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:假如区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)(3)最大值、最小值问题148/176实际问题求最值应注意:1)建立目标函数;2)求最值;(4)曲线凹凸与拐点定义149/176150/176定理1151/176方法1:方法2:152/176利用函数特征描绘函数图形.第一步第二步(5)函数图形描绘153/176第三步第四步确定函数图形水平、铅直渐近线以及其它改变趋势;第五步154/176例1解二、经典例题155/176这就验证了命题正确性.156/176例2解1