高中数学第三章导数及其应用3.3.2极大值与极小值省公开课一等奖新名师获奖课件

3.3.2极大值与极小值第3章§3.3导数在研究函数中应用1/321.了解函数极值概念，会从几何方面直观了解函数极值与导数关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值条件．学习目标2/32栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠3/32知识梳理自主学习知识点一极值点与极值概念(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近左侧

，右侧

，则把点a叫做函数y＝f(x)极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)极小值．答案f′(x)＜0f′(x)＞04/32(2)极大值点与极大值如(1)中图，函数y＝f(x)在点x＝b函数值f(b)比它在点x＝b附近其它点函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b左侧

，右侧

，则把点b叫做函数y＝f(x)极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)极大值．

、

统称为极值点，

和

统称为极值．答案f′(x)＞0f′(x)＜0极大值点极小值点极大值极小值思索极大值一定大于极小值吗？答案不一定．5/32知识点二求函数y＝f(x)极值方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)假如在x0附近左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是

．(2)假如在x0附近左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是

．极大值极小值答案返回6/32题型探究重点突破解析答案题型一求函数极值反思与感悟7/32解函数定义域为R.当x改变时，f′(x)，f(x)改变情况以下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘－3↗－1↘由上表能够看出：当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.令f′(x)＝0，得x＝－1，或x＝1.反思与感悟8/32反思与感悟求可导函数f(x)极值步骤：(1)确定函数定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0根；(3)用函数导数为0点，顺次将函数定义域分成若干个小开区间，并列成表格．检测f′(x)在方程根左右两侧值符号，假如左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；假如左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；假如左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．9/32解析答案令f′(x)＝0，得x＝1.当x改变时，f′(x)与f(x)改变情况以下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘3

↗所以当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝3.10/32解析答案题型二利用函数极值确定参数值例2

已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)求常数a，b，c值；解f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.∵x＝±1是函数f(x)极值点，∴x＝±1是方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0两根，又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.

③11/32解析答案(2)判断x＝±1是函数极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值．当x<－1或x>1时，f′(x)>0，当－1<x<1时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数，∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.反思与感悟12/32反思与感悟(1)利用函数极值确定参数值，常依据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根合理性．13/32解析答案跟踪训练2

已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝x0处取得极大值5，其导函数y＝f′(x)图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所表示，求：(1)x0值；解由图象可知，在(－∞，1)上f′(x)＞0，在(1,2)上f′(x)＜0，在(2，＋∞)上f′(x)＞0.故f(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以f(x)在x＝1处取得极大值，所以x0＝1.14/32解析答案(2)a，b，c值．解f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由f′(1)＝0，f′(2)＝0，f(1)＝5，解得a＝2，b＝－9，c＝12.15/32解析答案题型三函数极值综合应用例3设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)单调区间和极值；解f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，16/32解析答案(2)若关于x方程f(x)＝a有三个不一样实根，求实数a取值范围．解由(1)分析知y＝f(x)图象大致形状及走向如图所表示．直线y＝a与y＝f(x)图象有三个不一样交点，即方程f(x)＝a有三个不一样实根．反思与感悟17/32反思与感悟用求导方法确定方程根个数，是一个很有效方法．它经过函数改变情况，利用数形结合思想来确定函数图象与x轴交点个数，从而判断方程根个数．18/32解析答案跟踪训练3

设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)极值；解f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.因为当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，当x∈(－1,1)时，f′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，所以f(x)极小值为f(－1)＝a－2，极大值为f(1)＝a＋2.19/32解析答案(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a值；若不存在，请说明理由．20/32解因为f(x)在(－∞，－1)内单调递减，且当x→－∞时，f(x)→＋∞，f(x)在(1，＋∞)内单调递减，且当x→＋∞时，f(x)→－∞，而a＋2＞a－2，即函数极大值大于极小值，所以当极大值等于0时，极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＋2＝0，a＝－2，如图1所表示．当极小值等于0时，极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，解析答案21/32所以a－2＝0，a＝2，如图2所表示．总而言之，当a＝2或a＝－2时，方程f(x)＝0恰有两个实数根．22/32思想方法等价转化思想应用解析答案返回23/32解析答案分析

(1)对原函数求导，将导函数问题转化为由二次函数根分布探求开口方向问题，从而证得a＞0；(2)利用x1，x2为导函数两个根，将0＜x1＜1＜x2＜2等价转化为不等式组，利用线性规划求a＋2b最大值与最小值．(1)证实由函数f(x)在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，知x1，x2是f′(x)＝0两个根．由题意，得f′(x)＝ax2－2bx＋2－b，所以f′(x)＝a(x－x1)(x－x2)．由题意，知在x＝x1左侧有f′(x)＞0.由x－x1＜0，x－x2＜0，得a＞0.24/32此不等式组表示区域为平面aOb上三条直线2－b＝0，a－3b＋2＝0,4a－5b＋2＝0所围成△ABC内部，如图所表示.返回25/32当堂检测12345解析答案1.函数f(x)定义域为R，导函数f′(x)图象如图所表示，则函数f(x)有________个极大值点，________个极小值点.解析f′(x)符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点.2226/32解析答案123452.已知函数f(x)＝x3－px2－qx图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)极大值为________，极小值为________.解析f′(x)＝3x2－2px－q，依据题意，知x＝1是函数一个极值点，所以f′(x)＝3x2－4x＋1.027/32123453.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a取值范围为____________.解析f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)现有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.解析答案a>6或a<－328/32解析答案123454.设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2