立体几何总复习总结市公开课一等奖省赛课微课金奖课件

第一节空间几何体结构及其三视图和直观图第九单元立体几何基础梳理1.多面体(1)有两个面相互平行,其余各面都是四边形,而且每相邻两个四边形公共边都相互平行,由这些面所围成多面体叫做棱柱.(2)有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点三角形,由这些面所围成多面体叫做棱锥.(3)用一个平行于棱锥底面平面截棱锥,底面和截面之间这部分多面体叫做棱台.第1页2.旋转(1)以矩形一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成面所围成旋转体叫做圆柱.(2)以直角三角形一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成面所围成旋转体体叫做圆锥.(3)以半圆直径所在直线为旋转轴,将半圆旋转一周形成旋转体叫做球体,简称球.3.三视图和直观图(1)三视图是从一个几何体正前方、正左方、正上方三个不一样方向看这个几何体,描绘出图形,分别称为正视图、侧视图、俯视图.(2)三视图排列次序:先画正视图,俯视图放在正视图下方,侧视图放在正视图右方.(3)三视图三大标准:长对正、高平齐、宽相等.第2页(4)水平放置平面图形直观图斜二测画法：①在已知图形中,取相互垂直x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应x′轴和y′轴,两轴相交于O′,且使∠x′O′y′=45°(或135°),用它们确定平面表示水平面.②已知图形中平行于x轴或y轴线段,在直观图中,分别画成平行于x′轴或y′轴线段.③已知图形中平行于x轴线段,在直观图中保持原长度不变；平行于y轴线段,在直观图中长度变为原来二分之一.典例分析题型一空间几何体结构特征【例1】依据以下对几何体结构特征描述,说出几何体名称.(1)由八个面围成,其中两个面是相互平行且全等正六边形,其它各面都是矩形;(2)一个等腰梯形绕着两底边中点连线所在直线旋转180°形成封闭曲面所围成图形;(3)一个直角梯形绕较长底边所在直线旋转一周形成曲面所围成几何体.第3页分析要判断几何体类型,从各类几何体结构特征入手，以柱、锥、台定义为依据，把复杂几何体分割成几个简单几何体.解(1)如图1所表示,该几何体满足有两个面平行,其余六个面都是矩形,可使每相邻两个面公共边都相互平行,故该几何体是正六棱柱.(2)如图2所表示,等腰梯形两底边中点连线将梯形平分为两个直角梯形,每个直角梯形旋转180°形成半个圆台,故该几何体为圆台.(3)如图3所表示,由梯形ABCD顶点A引AO⊥CD于O点,将直角梯形分为一个直角三角形AOD和矩形AOCB,绕CD旋转一周形成一个组合体,该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成.图1图2图3第4页学后反思对于不规则平面图形绕轴旋转问题,要对原平面图形作适当分割,再依据圆柱、圆锥、圆台结构特征进行判断.举一反三1.观察如图几何体,分析它们是由哪些基本几何体组成,并说出主要结构特征.解析(1)是一个四棱柱和一个四棱锥组成,它有9个面,9个顶点,16条棱.(2)是由一个四棱台、一个四棱柱和一个球组成,其主要结构特征就是对应四棱台、四棱柱和球结构特征.第5页题型二柱、锥、台中计算问题【例2】正四棱台高是17cm,两底面边长分别是4cm和16cm,求棱台侧棱长和斜高.分析求棱台侧棱长和斜高关键是找到相关直角梯形,然后结构直角三角形,处理问题.解如图所表示,设棱台两底面中心分别是、O,和BC中点分别是和E,连接、、、OB、、OE,则四边形和都是直角梯形.∵=4cm,AB=16cm,∴=2cm,OE=8cm,=2cm,OB=8cm,∴=19cm,∴棱台侧棱长为19cm,斜高为cm.第6页学后反思（1）把空间问题转化为平面问题去解是处理立体几何问题惯用方法.（2）找出相关直角梯形，结构直角三角形是解题关键，正棱台中许多元素都能够在直角梯形中求出.举一反三2.（·上海）若等腰直角三角形直角边长为2，则以一直角边所在直线为轴旋转一周所成几何体体积是_____.解析如图，等腰直角三角形旋转而成旋转体为圆锥.V=S·h=π·h=π××2=.答案

第7页流连染紫旳悯〆看，熟悉旳风景ヽら用生命回想从前聆听ゝ尔伈钢琴上芭蕾*烛光里愿思念幻化成海。化思念为星。纯纯记忆微笑、侧脸蒲公英梦想Φ-我在地狱仰视天堂花开ヽ似水￠破晓←前身居梦海°▽倒流时光往返流年△半颗心暖下一个转角★左拐地平线、无际。落日夕阳╰╰つ一个人丶听歌c。≯半盏流年如花旋律微光倾城丅①站_恋爱拂晓前う平静ら天空内抹蓝ミ漫步云海涧遥望地平线尽头春日夕后那—缕艳阳。月色下肆无忌惮浅谈ゞ寂寞嘚街道美得⒋5℃倾斜﹏゛定格。那瞬间‖╭ァ月、很美一米阳光平静照耀っ潮起潮落最终一抹阳光阳光温暖空屋仰视丶那一缕微光紫风铃、摇曳着回想草尖上花泪阳光透过窗台゛温存︿一曲女人花栺简哋悇烟----影子海消失后鱼死了”彩虹╭指间de嗳╮时光在唱歌约好以后。途经你时光深渊那支花漫步巴黎生命在聆听灬时空转角、盛夏落幕╮尔ф氵曼埗〆残阳々且听、风铃〆聆听、你呼吸旋律ㄟ飞舞头发夜凉如水々紫色彩虹等候繁荣能开满天际°张望时光夹缝瑰丽黑、魅惑轻轻┒想念微笑恍若阳光灿烂题型三三视图与直观图【例3】螺栓是由棱柱和圆柱组成组合体,以下列图,画出它三视图.分析螺栓是棱柱、圆柱组合而成，按照画三视图三大标准“长对正，高平齐，宽相等”画出.解该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成,正视图反应正六棱柱三个侧面和圆柱侧面,侧视图反应正六棱柱两个侧面和圆柱侧面,俯视图反应该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合).它三视图以下列图:第8页学后反思在绘制三视图时,若相邻两物体表面相交,表面交线是它们分界限,在三视图中,分界限和可见轮廓线都用实线画出.比如上图中,表示上面圆柱与下面棱柱分界限是正视图中线段AB、侧视图中线段CD以及俯视图中圆.举一反三3.(·广东)将正三棱柱截去三个角(如图1所表示,A、B、C分别是△GHI三边中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所表示方向侧视图为()第9页解析由正三棱柱性质得,侧面AED⊥底面EFD,则侧视图必为直角梯形,且线段BE在梯形内部.答案A题型四几何体直观图【例4】(12分)用斜二测法画出水平放置等腰梯形直观图.分析画水平放置直观图应遵照以下标准:(1)坐标系中∠x′O′y′=45°;(2)横线相等,即A′B′=AB,C′D′=CD;(3)竖线是原来,即O′E′=OE.第10页画法(1)如图1,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立直角坐标系,…………..3′画对应坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°……….5′(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′=AB,在y′轴上取O′E′=OE,以E′为中点画C′D′∥x′轴,并使C′D′=CD……………10′(3)连接B′C′、D′A′,所得四边形A′B′C′D′就是水平放置等腰梯形ABCD直观图,如图2……………..12′图1图2学后反思在原图形中要建立适当直角坐标系，普通取图形中某一横线为x轴，对称轴为y轴，或取两垂直直线为坐标轴，原点可建在图形某一顶点或对称中心、中点等.坐标系建得不一样，但画法规则不变，关键是画出平面图形中相对应顶点.第11页举一反三4.如图所表示，矩形O′A′B′C′是水平放置一个平面图形直观图，其中O′A′=6cm，O′C′=2cm，则原图形是（）A.正方形B.矩形C.菱形D.普通平行四边形解析∵在直观图中，平行于x轴边长度不变，平行于y轴边长度变为原来，∴原图中，OA=6cm,OD=4cm，∴OC=6cm,BC=AB=6cm，∴原图形为菱形.答案C第12页易错警示【例】画出如图1所表示零件三视图.错解图1零件可看做是一个半圆柱、一个柱体、一个圆柱组合,其三视图如图2.图1图2错解分析错误原因是图中各视图都没有画出中间柱体和圆柱交线，画图时应画出其交线.正解第13页考点演练10.（·潍坊模拟）如图，已知正四棱台ABCD-上底面边长为1，下底面边长为2，高为1，则线段长是_____.解析连接上底面对角线中点和下底面BD中点O，得棱台高，过点作平行线交BD于点E，连接CE.在△BCE中，由BC=2，BE=,∠CBE=45°，利用余弦定理可得CE=，故在Rt△中易得答案

第14页11.圆台两底面半径分别为5cm和10cm,高为8cm,有一个过圆台两母线截面,且上、下底面中心到截面与两底面交线距离分别为3cm和6cm,求截面面积.解析如图所表示截面ABCD,取AB中点F,CD中点E,连接OF,，EF,,OA,则为直角梯形,ABCD为等腰梯形,EF为梯形ABCD高,在直角梯形中,（cm），在Rt△中，∴（cm）,同理,（cm）,第15页12.圆台一个底面周长是另一个底面周长3倍,轴截面面积等于392,母线与轴夹角是45°,求这个圆台高、母线长和两底面半径.解析圆台轴截面如图所表示,设圆台上、下底面半径分别为xcm,3xcm.延长交延长线于S,在Rt△SOA中,∠ASO=45°,则∠SAO=45°,∴SO=AO=3x,=x，∴=2x,又,∴x=7.故圆台高=14cm,母线长==14cm,两底面半径分别为7cm,21cm.第16页第二节空间几何体表面积与体积基础梳理1.柱体、锥体、台体侧面积,就是各侧面面积之和；表面积是各个面面积之和,即侧面积与底面积之和.2.把柱体、锥体、台体面展开成一个平面图形,称为它展开图,它表面积就是展开图面积.3.圆柱、圆锥、圆台侧面积及表面积第17页4.柱、锥、台体体积这是柱体、锥体、台体统一计算公式,尤其地，圆柱、圆锥、圆台还能够分别写成:

5.球体积及球表面积设球半径为R,第18页典例分析题型一几何体表面积问题【例1】已知一个正三棱台两底面边长分别为30cm和20cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台高.分析要求正棱台高，首先要画出正棱台高，使其包含在某一个特征直角梯形中，转化为平面问题，由已知条件列出方程，求解所需几何元素.解如图所表示,正三棱台ABC-中,O、分别为两底面中心,D、分别为BC和中点,则为棱台斜高.设=20,AB=30,则OD=5,=,由,得∴在直角梯形中,∴棱台高为4cm.第19页学后反思(1)求解相关多面体表面积问题,关键是找到其特征几何图形,处理旋转体表面积问题,要利用好旋转体轴截面及侧面展开图.（2）借助于平面几何知识,利用已知条件求得所需几何要素.举一反三1.圆台侧面母线长为2a,母线与轴夹角为30°,一个底面半径是另一个底面半径2倍.求两底面半径与两底面面积之和.解析如图,设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r,∠ASO=30°,在Rt△SO′A′中,=sin30°,∴SA′=2r.在Rt△SOA中,=sin30°,∴SA=4r.∴SA-SA′=AA′,即4r-2r=2a,r=a.∴∴圆台上底面半径为a,下底面半径为2a,两底面面积之和为.第20页题型二几何体体积问题【例2】已知四棱台两底面均为正方形，边长分别为4cm，8cm，侧棱长为8cm，求它侧面积和体积.分析由题意知,需求侧面等腰梯形高和四棱台高,然后利用平面图形面积公式和台体体积公式求得结论.解如图,设四棱台侧棱延长后交于点P,则△PBC为等腰三角形,取BC中点E,连接PE交于点,则PE⊥BC,E为侧面等腰梯形高,作PO⊥底面ABCD交上底面于点,连接、OE.在△P和△PBC中,∴,为PB中点,为PE中点.在Rt△PEB中,第21页在Rt△POE中,学后反思（1）求棱台侧面积与体积要注意利用公式以及正棱台中“特征直角三角形”和“特征直角梯形”，它们是架起“求积”关系式中未知量与满足题设条件中几何图形元素间关系“桥梁”.（2）平行于棱台底面截面分棱台侧面积与体积比问题，通常是“还台为锥”，而后利用平行于棱锥底面截面性质去解.“还台为锥”借助于轴截面，将空间问题转化为平面问题，求出相关数据，进行计算.“还台为锥”是处理棱台问题主要方法和伎俩.第22页举一反三2.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1正方形,且△ADE、△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体体积为

.解析如图,分别过A、B作EF垂线,垂足分别为G、H,连接DG、CH,易求得EG=HF=,AG=GD=BH=HC=,答案

第23页题型三组合体体积和表面积问题【例3】(12分)如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB中点,将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合,求形成三棱锥外接球体积.分析易知折叠成几何体为棱长为1正四面体,欲求外接球体积，求其外接球半径即可.解由已知条件知,在平面图形中,AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1……………….1′所以折叠后得到一个正四面体.方法一:如图，作AF⊥面DEC,垂足为F,F即为△DEC中心…………3′取EC中点G,连接DG、AG,过外接球球心O作OH⊥面AEC,则垂足H为△AEC中心…….5′∴外接球半径可利用△OHA∽△GFA求得.∵AG=,∴AH=AG=，∴AF=,…………7′第24页在△AFG和△AHO中,依据三角形相同可知,…………...10′∴外接球体积为…………….12′方法二:如图,把正四面体放在正方体中.显然,正四面体外接球就是正方体外接球…………..4′∵正四面体棱长为1,∴正方体棱长为,………….6′∴外接球直径2R=,…10′∴R=,∴体积为………………12′第25页学后反思(1)折叠问题是高考经常考查内容之一,处理这类问题要注意对翻折前后线线、线面位置关系，所成角及距离加以比较.普通来说，位于棱两侧同二分之一平面内元素其相对位置关系和数量关系在翻折前后不发生改变，分别位于两个半平面内元素其相对位置关系和数量关系则发生改变;不变量可结合原图形求证，改变量应在折后立体图形中求证.对一些翻折不易看清元素，可结合原图形去分析、计算，即将空间问题转化为平面问题.（2）由方法二可知，相关柱、锥、台、球组合体，经常是把正方体、长方体、球作为载体，去求一些量.处理这类问题，首先要把这些载体图形形状、特点及性质掌握熟练，把问题进行转化，使运算和推理变得更简单，表达了转化思想是立体几何中一个非常主要思想方法.举一反三3.已知正四棱锥底面边长为a,侧棱长为a.求它外接球体积.第26页解析设外接球半径为R,球心为O,则OA=OC=OS,所以O为△SAC外心,即△SAC外接圆半径就是外接球半径,∵AB=BC=a,∴AC=a,∵SA=SC=AC=a,∴△SAC为正三角形.由正弦定理,得第27页易错警示包括组合体问题，关键是正确地作出截面图形，把立体几何问题转化为平面问题进行处理，解这类问题时往往因不能正确地作出截面图形而造成错误.【例】已知球内接正方体体积为V，求球表面积.错解分析过球内接正方体一个对角面作球大圆截面，得到一个矩形，矩形对角线长为x，不是x.错解如图所表示，作圆内接正方形表示正方体截面，设正方体棱长为x，球半径为R，则有=V,x=2R，解得第28页正解如图所表示，过正方体对角面作球大圆截面，设正方体棱长为x，球半径为R,则有

=V,x=2R，解得考点演练10.（·辽宁）设某几何体三视图以下（长度单位为m）：求该几何体体积.第29页解析三视图所对应立体图形如图所表示.由题意可得平面PAC⊥平面ABC，V=×4×3×2=4().11.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱=8.若侧面水平放置时，液面恰好过AC、BC、、中点.当底面ABC水平放置时，液面高为多少？解析当侧面水平放置时，水形状为四棱柱形，底面ABFE为梯形，设△ABC面积为S，则第30页

当底面ABC水平放置时，水形状为三棱柱形，设水面高为h，则有=Sh，∴6S=Sh,∴h=6.故当底面ABC水平放置时，液面高为6.12.（·广东改编）某高速公路收费站入口处安全标识墩如图1所表示.墩上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.图2、图3分别是该标识墩正视图和俯视图.（1）请画出该安全标识墩侧视图；（2）求该安全标识墩体积.图1图2图3第31页解析（1）侧视图同正视图，如图2所表示.（2）该安全标识墩体积为第32页第三节空间点、直线、平面之间位置关系基础梳理1.平面基本性质名称图形

文字语言符号语言公理1假如一条直线上有两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内

公理2经过不在同一条直线上三个点确定一个平面A、B、C不共线A、B、C∈平面α且α是唯一公理3假如不重合两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点公共直线若P∈α,P∈β,则α∩β=a,且P∈a第33页公理4平行于同一条直线两条直线相互平行若a∥b,b∥c,则a∥c公理2推论推论1经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面若点A直线a,则A和a确定一个平面α推论2两条相交直线确定一个平面a∩b=P有且只有一个平面α,使aα,bα推论3两条平行直线确定一个平面a∥b有且只有一个平面α,使aα,bα第34页2.空间直线与直线位置关系(1)位置关系相交共面①共面是否平行异面一个公共点:相交②公共点个数平行无公共点异面(2)公理4(平行公理):平行于同一直线两条直线相互平行.(3)定理:空间中假如两个角两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.第35页（4）异面直线夹角①定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线a′∥a,b′∥b，我们把两相交直线a′、b′所成角叫做异面直线a、b所成角（或夹角）.②范围：θ∈（0,].尤其地，假如两异面直线所成角是，我们就称这两条直线垂直，记作a⊥b.3.空间中直线与平面位置关系直线在平面内——有没有数个公共点直线与平面相交——有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行——无公共点4.平面与平面位置关系平行——无公共点相交——有且只有一条公共直线第36页典例分析题型一点、线、面位置关系【例1】以下命题:①空间不一样三点确定一个平面;②有三个公共点两个平面必重合;③空间两两相交三条直线确定一个平面;④三角形是平面图形;⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形;⑥垂直于同一直线两直线平行;⑦一条直线和两平行线中一条相交,也必和另一条相交;⑧两组对边相等四边形是平行四边形.其中正确命题是_______.分析依据公理及推论作判断.第37页解由公理2知,不共线三点才能确定一个平面,所以命题①、②均错,②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时);③空间两两相交三条直线有三个交点或一个交点,若为三个交点,则这三线共面,若只有一个交点,则可能确定一个平面或三个平面;④正确;⑤中平行四边形及梯形由公理2推论及公理1可得必为平面图形,而四边形有可能是空间四边形;如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,直线BB′⊥AB,BB′⊥BC,但AB与BC不平行,所以⑥错;AB∥CD,BB′∩AB=B,但BB′与CD不相交,所以⑦错;四边形AD′B′C中,AD′=D′B′=B′C=CA,但它不是平行四边形,所以⑧也错.学后反思平面性质三个公理及其推论是论证线面关系依据,在判断过程中要注意反例和图形应用.第38页举一反三1.给出以下命题：①假如平面α与平面β相交,那么它们只有有限个公共点;②经过空间任意三点平面有且只有一个;③假如两个平面有三个不共线公共点,那么这两个平面重合为一个平面;④不平行两直线必相交.其中正确命题序号为______.解析由公理3知，①错;由公理2知，②错;③对;不平行两直线可能异面，故④错.答案③题型二证实三点共线【例2】已知△ABC三个顶点都不在平面α内,它三边AB、BC、AC延长后分别交平面α于点P、Q、R.求证:P、Q、R三点在同一条直线上.第39页分析要证实P、Q、R三点共线,只需证实这三点都在△ABC所在平面和平面α交线上即可.证实由已知条件易知,平面α与平面ABC相交.设交线为,即=α∩面ABC.∵P∈AB,∴P∈面ABC.又P∈AB∩α,∴P∈α,即P为平面α与面ABC公共点,∴P∈.同理可证,点R和Q也在交线上.故P、Q、R三点共线于.学后反思证实多点共线方法是：以公理3为依据，先找出两个平面交线，再证实各个点都是这两个面公共点，即在交线上，则多点共线.或者，先证实过其中两点直线是这两个平面交线，然后证实第三个点也在交线上.同理，其它点都在交线上，即多点共线.第40页举一反三2.如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD(四条线段首尾相接,且连接点不在同一平面内,所组成空间图形叫空间四边形)各边AB、AD、CB、CD上点,且直线EF和GH交于点P,如图所表示.求证:点B、D、P在同一条直线上.证实因为直线EF和GH交于点P,∴P∈EF,又∵EF平面ABD,∴P∈平面ABD.同理,P∈平面CBD.∴P在平面ABD与平面CBD交线BD上,即B、D、P三点在同一条直线上.题型三证实点线共面【例3】求证:两两相交且不共点四条直线在同一平面内.分析由题知，四条直线两两相交且不共点，故有两种情况：一个是三条交于一点，另一个是任何三条都不共点，故分两种情况证实.要证实四线共面，先依据公理2推论证两条直线共面，然后再证第三条直线在这个平面内，同理第四条直线也在这个平面内，故四线共面.第41页证实(1)如图,设直线a,b,c相交于点O,直线d和a,b,c分别相交于A,B,C三点,直线d和点O确定平面α,由O∈平面α,A∈平面α,O∈直线a,A∈直线a,知直线a平面α.同理b平面α,c平面α,故直线a,b,c,d共面于α.(2)如图,设直线a,b,c,d两两相交,且任何三线不共点,交点分别是M,N,P,Q,R,G,由直线a∩b=M,知直线a和b确定平面α.由a∩c=N,b∩c=Q,知点N、Q都在平面α内,故cα.同理可证dα,故直线a,b,c,d共面于α.由(1)、(2)可知,两两相交且不共点四条直线必在同一平面内.学后反思证多线共面方法：（1）以公理、推论为依据先证两直线共面，然后再由公理1证第三条也在这个平面内.同理其它直线都在这个平面内.（2）先由部分直线确定平面，再由其它直线确定平面,然后证实这些平面重合.第42页举一反三3.在正方体ABCD-中,E是AB中点,F是中点.求证:E、F、、C四点共面.证实如图，连接,EF,.∵E是AB中点,F是中点,∴EF∥.∵∥,∴EF∥.故E、F、、C四点共面.题型四异面直线及其所成角问题【例4】(·全国Ⅱ)已知正四棱锥S-ABCD侧棱长与底面边长都相等，E是SB中点，则AE、SD所成角余弦值为（）A.B.C.D.第43页分析经过作平行线找到AE与SD所成角，再利用三角形求解.解如图，连接AC、BD交于点O，连接OE.因为OE∥SD，所以∠AEO为所求.设侧棱长与底面边长都等于2，则在△AEO中，OE=1，AO=，AE=，于是cos∠AEO=.故选C.学后反思求异面直线所成角方法：（1）依据平行线定义，作出异面直线所成角.（2）证实作出角是异面直线所成角.（3）在三角形内求得直线所成角某个三角函数值.第44页举一反三4.在四面体A-BCD中，AB=CD，且其所成角是60°，点M，N分别是BC，AD中点.求直线AB与MN所成角大小.解析如图，取BD中点E，连接NE，EM，则ENAB,EMCD,故△EMN为等腰三角形，由条件∠MEN=60°，∴△EMN为等边三角形，且∠ENM即为AB与MN所成角，∴∠ENM=60°.题型五证实三线共点【例5】(12分)已知四面体A-BCD中,E、F分别是AB、AD中点,G、H分别是BC、CD上点,且.求证:直线EG、FH、AC相交于同一点P.分析先证E、F、G、H四点共面，再证EG、FH交于一点，然后证实这一点在AC上.第45页证实∵E、F分别是AB、AD中点,∴EF∥BD且EF=BD….2′又∵,∴GH∥BD且GH=BD,∴EF∥GH且EF>GH,……4′∴四边形EFHG是梯形,其两腰所在直线必相交,设两腰EG、FH延长线相交于一点P,……………..6′∵EG平面ABC,FH平面ACD,∴P∈平面ABC,P∈平面ACD…………..8′又∵平面ABC∩平面ACD=AC,∴P∈AC,…………10′故直线EG、FH、AC相交于同一点P………………12′学后反思证实三线共点方法:首先证实其中两条直线交于一点，然后证实第三条直线是经过这两条直线两个平面交线；由公理3可知，两个平面公共点必在这两个平面交线上，即三条直线交于一点.第46页举一反三5.如图所表示,已知空间四边形ABCD,点E,F,G,H,M,N分别是AB,BC,CD,DA,AC,BD中点.求证:三线段EG,FH,MN交于一点,且被该点平分.证实如图所表示,连接EF,FG,GH,HE,MF,FN,NH,MH.∵E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA中点,∴EF∥GH,EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形.设EG∩FH=O,则O平分EG,FH.同理,四边形MFNH是平行四边形.设MN∩FH=O′,则O′平分MN,FH.∵点O,O′都平分线段FH,∴O与O′两点重合，∴MN过EG和FH交点,即三线段共点且被该点平分.第47页易错警示【例】过已知直线a外一点P,与直线a上四个点A、B、C、D分别画四条直线.求证:这四条直线在同一平面内.错解∵P、A、B三点不共线,∴P、A、B共面,即PA、PB、AB共面,同理,PB、PC、BC共面;PC、PD、CD共面.∵A、B、C、D均在直线a上,∴PA、PB、PC、PD四条直线在同一平面内.错解分析错解在证实了四条直线分别在三个平面(平面PAB、平面PBC、平面PCD)内后,经过A、B、C、D均在a上,而认为三个平面重合在同一个平面内,这种方法是错误.错误在于没有依据地用一条直线来确保三个平面重合.正解过直线a及点P作一平面α,∵A、B、C、D均在a上,∴A、B、C、D均在α内.∵直线PA、PB、PC、PD上各有两点在α内,∴由公理1可知,直线PA、PB、PC、PD均在平面α内,即四直线共面.第48页考点连接10.已知a、b为异面直线，则①经过直线a,存在唯一平面α，使b∥α；②经过直线a，若存在平面α使b⊥a,则α唯一；③经过直线a、b外任意一点，存在平面α，使a∥α且b∥α.上述命题中，真命题是________.（写出真命题序号）解析①平移b到b′，使b′、a交于点O，则a与b′确定平面为α，b∥α，α唯一，故①正确.②a、b为异面直线，故无法确定a是否垂直于b.③如图，a平移到a′，b平移到b′，a′、b′交于点O，则a′、b′确定平面α唯一.答案①③11.（·滨州质检）已知正方体ABCD-棱长为a，求异面直线和所成角.第49页解析如图所表示，连接,

∴异面直线和所成角为90°.12.已知直线a∥b∥c,直线∩a=A,∩b=B,∩c=C.求证:a、b、c、共面.证实如图，∵a∥b,∴a、b能够确定一个平面α.又∵∩a=A,∩b=B,∴A∈a,B∈b,A∈α,B∈α,ABα;又A∈,B∈,∴α.另首先,∵b∥c,∴b、c能够确定一个平面β.同理可证,β.∵平面α、β均经过直线b、,且b和是两条相交直线,它们确定平面是唯一,∴平面α与β是同一个平面,∴a、b、c、共面.第50页第四节直线、平面平行判定及其性质1.平行直线(1)定义:同一平面内不相交两条直线叫做平行线.(2)公理4:平行于同一条直线两条直线相互平行.(3)线面平行性质定理:假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线平面和这个平面相交,那么这条直线就和两平面交线平行.(4)面面平行性质定理:假如两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们交线平行.(5)线面垂直性质定理:假如两条直线垂直于同一平面,那么这两条直线平行.2.直线与平面平行(1)定义:直线a和平面α没有公共点,叫做直线与平面平行.(2)线面平行判定定理:假如不在一个平面内一条直线和平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.基础梳理第51页(3)面面平行性质:假如两平面相互平行,那么一个平面内任意一条直线平行于另一个平面.3.平面与平面平行(1)定义:假如两个平面没有公共点,那么这两个平面叫做平行平面.(2)面面平行判定定理:假如一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(3)判定定理推论:假如一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内两条直线,则这两个平面平行.(4)线面垂直性质:假如两平面垂直于同一直线,则这两个平面平行.(5)平行公理:假如两平面平行于同一平面,则这两个平面平行.典例分析题型一线线平行【例1】已知四边形ABCD是空间四边形,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.第52页分析若证四边形是平行四边形,只需证一组对边平行且相等或两组对边分别平行即可.证实如图,连接BD.∵EH是△ABD中位线,∴EH∥BD,EH=BD.又∵FG是△CBD中位线,∴FG∥BD,FG=BD.∴FG∥EH,且FG=EH,∴四边形EFGH是平行四边形.学后反思若证实四边形EFGH是平行四边形,可有两条路径：一是证实两组对边分别平行,二是证实一组对边平行且相等.第53页举一反三1.已知E、分别是正方体ABCD-棱AD、中点.求证:∠BEC=∠.证实如图,连接.∵,E分别为,AD中点,∴∴四边形为平行四边形，∴四边形是平行四边形，∴∥EB.同理∥EC.又∵∠与∠CEB方向相同，∴∠=∠CEB.第54页题型二线面平行【例2】如图,正方体ABCD-中,侧面对角线上分别有两点E,F,且.求证:EF∥平面ABCD.分析要证EF∥平面ABCD,方法有两种:一是利用线面平行判定定理,即在平面ABCD内确定EF平行线;二是利用面面平行性质定理,即过EF作与平面ABCD平行平面.证实方法一:过E作EM⊥AB于M,过F作FN⊥BC于N,连接MN(如图)，则EM∥,FN∥,∴EM∥FN.∵∴AE=BF,第55页∴EM=FN,∴四边形EMNF是平行四边形,∴EF∥MN.又∵EF平面ABCD,MN平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.方法二:连接,并延长交BC延长线于点P,连接AP(如图).∽△PFB,第56页又∵EF平面ABCD,AP平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.方法三:过点E作EH⊥于点H,连接FH(如图)，则EH∥AB,∵EH∩FH=H,∴平面EFH∥平面ABCD.∵EF平面EFH,∴EF∥平面ABCD.第57页学后反思判断或证实线面平行惯用方法有:(1)利用线面平行定义(无公共点);(2)利用线面平行判定定理(aα,bα,a∥ba∥α);(3)利用面面平行性质定理(α∥β,aαa∥β);(4)利用面面平行性质(α∥β,aα,aβ,a∥αa∥β).举一反三2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,E为PC中点.求证:PA∥平面EDB.第58页证实如图，连接AC交BD于O,连接EO.∵四边形ABCD为正方形,∴O为AC中点.∵E为PC中点,∴OE为△PAC中位线,故EO∥PA.又∵EO平面EDB,PA平面EDB,∴PA∥平面EDB.题型三面面平行【例3】如图,正方体ABCD-棱长为1.求证:平面∥平面分析要证实平面∥平面,依据面面平行判定定理或推论，只要证实AC∥平面，∥平面,且AC∩=A即可.第59页证实方法一:

四边形为平行四边形第60页方法二:易知和确定一个平面,于是,学后反思证实平面与平面相互平行,普通利用面面平行判定定理或其推论,将面面平行转化为线面平行或线线平行来证实.详细方法有:(1)面面平行定义;(2)面面平行判定定理：假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行;(3)利用垂直于同一条直线两个平面平行;(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”相互转化.第61页举一反三3.在正方体ABCD-中,M、N、E、F分别是棱中点.求证:平面AMN∥平面EFDB.证实如图，连接MF,∵M、F分别是中点,且四边形为正方形,又∴四边形ADFM为平行四边形,∴AM∥DF.又∵AM平面EFDB,DF平面EFDB,∴AM∥平面EFDB.同理可证AN∥平面EFDB.∵AM,AN平面AMN,AM∩AN=A,∴平面AMN∥平面EFDB.第62页题型四平行探究问题【例4】（·银川模拟）如图，在四棱锥S-ABCD中，SA=AB=2，SB=SD=2，底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，E为CD中点.(1)求证：CD⊥平面SAE；(2)侧棱SB上是否存在点F，使得CF∥平面SAE？并证实你结论.分析（1）先利用勾股定理和线面垂直判定定理证实直线SA⊥底面ABCD，再证实直线SA⊥CD，证实直线与平面垂直时，必须证实直线与平面内两条相交直线垂直.（2）先回答下列问题，再证实充分条件.探究点往往是特殊点（中点）.证实（1）∵ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AB=AC=AD=2,∴△ACD为正三角形.又E为CD中点，∴CD⊥AE.∵SA=AB=AD=2,SB=SD=2,第63页则有∴SA⊥AB,SA⊥AD.又∵AB∩AD=A,∴SA⊥底面ABCD,∴SA⊥CD.由CD⊥AE,SA⊥CD,AE∩SA=A,∴CD⊥平面SAE.(2)侧棱SB上存在点F，当F为SB中点时，使得CF∥平面SAE.证实假设侧棱SB上存在点F，使得CF∥平面SAE.不妨取SA中点N，连接EN，过点N作NF∥AB,交SB于F点，连接CF.则作图知NFAB,点F为SB中点.又∵CEAB，∴NFCE，∴四边形CENF为平行四边形,∴CF∥EN.第64页又∵EN平面SAE，CF平面SAE，∴CF∥平面SAE.即当F为侧棱SB中点时，CF∥平面SAE.学后反思定理、定义是做题依据，具备了条件，便可得到结论；条件不足，要经过题设和图形结构特征、性质去寻求，增添辅助线是处理问题关键.举一反三4.长方体ABCD-A′B′C′D′，点P∈BB′（不与B、B′重合），PA∩BA′=M,PC∩BC′=N,求证：MN∥平面AC.第65页证实如图，连接A′C′,AC,∵ABCD-A′B′C′D′为长方体，∴AC∥A′C′.∵AC平面A′C′B,A′C′平面A′C′B,∴AC∥平面A′C′B.又∵平面PAC过AC与平面A′C′B交于MN，∴MN∥AC.∵MN平面AC，AC平面AC，∴MN∥平面AC.题型五平行关系综合应用【例5】(12分)求证:若一条直线分别和两个相交平面平行,则这条直线必与它们交线平行.分析此题可先过直线作平面分别与已知两平面相交,由线面平行性质定理及公理4,可证得两交线平行,从而深入证得一条交线与另一平面平行,进而可证得结论.第66页证实∥α,∥β,α∩β=a.过作平面γ交α于b,过作平面δ交β于c,……………………..3′∵∥α,γ,α∩γ=b,∴∥b.(线面平行性质定理)同理∥c……………….5′∴b∥c………………….6′又∵cβ,bβ,∴b∥β.(线面平行判定定理)……………..8′又∵bα,α∩β=a,∴b∥a.(线面平行性质定理)10′∴∥a.(公理4)…………………..12′学后反思把文字语言转化成符号语言和图形语言，过作平面γ和δ与α、β得到两条交线，利用线面平行性质定理及公理4可证得交线平行，从而深入证实一条交线与另一个平面平行，进而可证得结论.举一反三第67页5.如图所表示,在四面体A-BCD中,截面EFGH平行于对棱AB和CD.试问:截面在什么位置时,截面面积最大?解析∵AB∥平面EFGH,平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH,∴AB∥FG,AB∥EH,∴FG∥EH.同理可证,EF∥GH.∴四边形EFGH是平行四边形.设AB=a,CD=b,∠FGH=α(a、b、α均为定值,其中α为异面直线AB与CD所成角),又设FG=x,GH=y,由平面几何知识,得两式相加,得,即第68页∵x>0,a-x>0,且x+(a-x)=a(定值)，∴当且仅当x=a-x,即x=时,故当截面EFGH顶点E、F、G、H分别为棱AD、AC、BC、BD中点时,截面面积最大.易错警示【例】如图所表示，平面α∥平面β，点A∈α,C∈α，点B∈β，D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB=CF∶FD.求证：EF∥β.第69页错解∵α∥β，∴AC∥BD.又AE∶EB=CF∶FD，∴EF∥BD.又EFβ，BDβ，∴EF∥β.错解分析上述解法错误在于未讨论AB与CD是否共面，而直接把AB、CD作为共面处理，忽略异面情况.本题中对AB、CD位置关系讨论含有一定代表性，可见分类讨论思想在立体几何中也多有表达.正解①当AB，CD在同一平面内时，由α∥β，α∩平面ABDC=AC，β∩平面ABDC=BD，∴AC∥BD,∵AE∶EB=CF∶FD,∴EF∥BD,又EFβ，BDβ，∴EF∥β.第70页②当AB与CD异面时，如右图所表示，设平面ACD∩β=DH，且DH=AC.∵α∥β，α∩平面ACDH=AC，∴AC∥DH,∴四边形ACDH是平行四边形.在AH上取一点G，使AG∶GH=CF∶FD，又∵AE∶EB=CF∶FD，∴GF∥HD,EG∥BH，又EG∩GF=G，BH平面β，DH平面β，∴平面EFG∥平面β.∵EF平面EFG，∴EF∥β.综上，EF∥β.考点演练10.如图,以下四个正方体图形中,A、B为正方体两个顶点,M、N、P分别为其所在棱中点,能得出AB∥面MNP图形序号是——.(写出全部符合要求图形序号)第71页解析①图中,∵MN∥AD,NP∥AC,∴平面MNP∥平面AB，∴AB∥平面MNP.②图中,AB不平行于平面MNP(反证法).连接BE,分别交CD、MP于R、Q,若AB∥平面MNP,则AB∥NQ.又由N为AE中点,R为BE中点，得AB∥NR.在平面ABE中过点N有两条直线平行于AB,与平行公理矛盾.故AB不平行于平面MNP.③图中,∵ADBC,∴四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD.又∵MP∥CD,∴AB∥MP，故AB∥平面MNP.④图中,AB不平行于面MNP(反证法).若AB∥平面MNP,则AB∥DM.又由ADBC,得四边形ABCD是平行四边形,故AB∥CD.在平面ABCD中过点D有两条直线平行于AB,与平行公理矛盾.故AB不平行于平面MNP.答案①③第72页11.已知正方体ABCD-A′B′C′D′，求证：平面ACD′∥平面A′BC′.证实∵正方体ABCD-A′B′C′D′中,AD′∥BC′,CD′∥A′B,又∵AD′∩CD′=D′,BC′∩A′B=B,∴平面ACD′∥平面A′BC′.12.（·扬州模拟）如图所表示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.第73页证实连接AC，交OB于O，连接MO.∵OC=OA,CM=MP,∴OM∥AP.∵AP平面DBM，OM平面DBM，∴AP∥平面DMB,∵AP平面APGH，平面APGH∩平面DMB=GH，∴AP∥GH.第74页第五节直线、平面垂直判定及其性质 基础梳理1.直线与平面垂直(1)定义:假如直线与平面α内任意一条直线都垂直,我们就说直线与平面α相互垂直.这条直线叫做平面垂线,这个平面叫做直线垂面,交点叫做垂足.垂线上任意一点到垂足间线段,叫做这个点到这个平面垂线段,垂线段长度叫做点到平面距离.(2)性质:假如一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内任意一条直线垂直.(3)判定定理:假如一条直线与平面内两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直.(4)推论:假如在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.(5)性质定理:假如两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.第75页2.平面与平面垂直(1)定义:普通地,两个平面相交,假如它们所成二面角是直二面角,就称这两个平面相互垂直.(2)判定定理:假如一个平面过另一个平面一条垂线,则这两个平面相互垂直.(3)性质定理:假如两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线直线垂直于另一个平面.典例分析题型一线线垂直【例1】如图,α∩β=CD,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,求证:CD⊥AB.第76页分析要证CD⊥AB,只需证CD⊥平面ABE即可.证实∵α∩β=CD,∴CDα,CDβ.又∵EA⊥α,CDα,∴EA⊥CD,同理EB⊥CD.∵EA⊥CD,EB⊥CD,EA∩EB=E,∴CD⊥平面EAB.∵AB平面EAB,∴AB⊥CD.学后反思证实空间中两直线相互垂直,通常先观察两直线是否共面.若两直线共面,则普通用平面几何知识即可证出,如勾股定理、等腰三角形性质等.若两直线异面,则转化为线面垂直进行证实.举一反三1.如图所表示,四边形ABCD为正方形,SA垂直于四边形ABCD所在平面,过A且垂直于SC平面分别交SB、SC、SD于E、F、G.求证:AE⊥SB,AG⊥SD.第77页证实∵SA⊥平面ABCD,BC平面ABCD,∴SA⊥BC.又∵BC⊥AB,SA∩AB=A,∴BC⊥平面SAB.∵AE平面SAB,∴BC⊥AE.∵SC⊥平面AEFG,AE平面AEFG,∴SC⊥AE.又∵BC∩SC=C,∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SB.同理可证AG⊥SD.题型二线面垂直【例2】如图,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F.求证:(1)BC⊥平面PAB;(2)AE⊥平面PBC;(3)PC⊥平面AEF.第78页分析要证实线面垂直，只要证实这条直线与这个平面内两条相交直线垂直即可.证实(1)PA⊥平面ABCPA⊥BCAB⊥BCBC⊥平面PAB.PA∩AB=A(2)AE平面PAB,由(1)知AE⊥BCAE⊥PBAE⊥平面PBC.PB∩BC=B(3)PC平面PBC,由(2)知PC⊥AEPC⊥AFPC⊥平面AEF.AE∩AF=A学后反思本题证实过程是很有代表性,即证实线面垂直,可先证线线垂直,而已知线线垂直又能够产生有利于题目标线线垂直,在线线垂直和线面垂直相互转化中,平面在其中起着至关主要作用,因为线线垂直是相互,应充分考虑线和线各自所在平面特征,以顺利实现证实所需要转化.第79页举一反三2.如图所表示,P是△ABC所在平面外一点,且PA⊥平面ABC,若O、Q分别是△ABC和△PBC垂心，求证:OQ⊥平面PBC.证实如图，连接AO并延长交BC于E,连接PE.∵PA⊥平面ABC,BC平面ABC,∴PA⊥BC.又∵O是△ABC垂心,∴BC⊥AE.∵PA∩AE=A,∴BC⊥平面PAE,∴BC⊥PE,∴PE必过Q点，∴OQ平面PAE,∴OQ⊥BC.连接BO并延长交AC于F.∵PA⊥平面ABC,BF平面ABC,∴PA⊥BF.又∵O是△ABC垂心,∴BF⊥AC,∴BF⊥平面PAC.∵PC平面PAC,∴BF⊥PC.第80页连接BQ并延长交PC于M,连接MF.∵Q为△PBC垂心,∴PC⊥BM.∵BM∩BF=B,∴PC⊥平面BFM.∵OQ平面BFM,∴OQ⊥PC.∵PC∩BC=C,∴OQ⊥平面PBC.题型三面面垂直【例3】如图所表示,在斜三棱柱-ABC中,底面是等腰三角形,AB=AC,侧面⊥底面ABC.(1)若D是BC中点,求证:AD⊥;(2)过侧面对角线平面交侧棱于M,若AM=,求证:截面⊥侧面第81页分析（1）要证实AD⊥,只要证实AD垂直于所在平面即可.显然由AD⊥BC和面面垂直性质定理即可得证.（2）要证实截面⊥侧面，只要证实截面经过侧面一条垂线即可.证实(1)∵AB=AC,D是BC中点,∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥侧面∴AD⊥侧面，∴AD⊥.(2)延长与BM延长线交于点N,连接.第82页学后反思本题中平面ABC⊥平面应用是关键,普通地，有两个平面垂直时要用性质定理,在一个平面内作交线垂线,使之转化为线面垂直,然后深入转化为线线垂直.举一反三3.如图，在直三棱柱ABC-中，AC=BC，点D是AB中点.（1）求证：∥平面；（2）求证：平面⊥平面第83页证实（1）如图，连接交于E，连接DE，∵为矩形，则E为中点.又∵D是AB中点，∴在△中，DE∥.又∵DE平面，平面，∴∥平面.（2）∵AC=BC,D为AB中点，∴在△ABC中，AB⊥CD.又∵⊥平面ABC，CD平面ABC，∴⊥CD.又∩AB=A，∴CD⊥平面.又∵CD平面，∴平面⊥平面题型四垂直问题探究第84页【例4】（12分）在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,又侧棱PA⊥底面ABCD.(1)当a为何值时,BD⊥平面PAC?试证实你结论;(2)当a=4时,求证:BC边上存在一点M,使得PM⊥DM;(3)若在BC边上最少存在一点M,使PM⊥DM,求a取值范围.分析（1）本题第(1)问是寻求BD⊥平面PAC条件,即BD垂直于平面PAC内两相交直线,易知BD⊥PA,问题归结为a为何值时,BD⊥AC,从而知ABCD为正方形.（2）若PM⊥DM,易知DM⊥面PAM，得DM⊥AM,由AB=2，a=4知，M为BC中点时得两个全等正方形，满足DM⊥AM.解(1)当a=2时,ABCD为正方形,则BD⊥AC,………2′又∵PA⊥底面ABCD,BD平面ABCD,∴BD⊥PA,又∵PA∩AC=A,…….3′∴BD⊥平面PAC.故当a=2时,BD⊥平面PAC……….4′第85页(2)证实:当a=4时,取BC边中点M,AD边中点N,连接AM、DM、MN……..5′∵四边形ABMN和四边形DCMN都是正方形,…………………..6′∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°,…………………..7′即DM⊥AM.又∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥DM,∴DM⊥面PAM，得PM⊥DM,………..9′故当a=4时,BC边中点M使PM⊥DM.(3)设M是BC边上符合题设点M,∵PA⊥底面ABCD,∴DM⊥AM………………11′所以,M点应是以AD为直径圆和BC边交点,则AD≥2AB,即a≥4为所求…………….12′学后反思不论是线面垂直还是面面垂直,都源自于线线垂直.在处理实际问题过程中,能够先从题设条件入手,分析已经有垂直关系,再从结论入手分析所要证实垂直关系,从而架起已知与未知之间桥梁.举一反三第86页4.（·海南、宁夏）如图，A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=，等边三角形ADB以AB为轴转动.（1）当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；（2）当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD?证实你结论.解析（1）取AB中点E，连接DE、CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC=AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.由已知得DE=，EC=1.在Rt△DEC中，（2）当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证实以下：①当D在平面ABC内时，因为AC=BC，AD=BD，所以C、D都在线段AB垂直平分线上，即AB⊥CD；②当D不在平面ABC内时，由（1）知AB⊥DE.又因为AC=BC，所以AB⊥CE.又DE、CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD平面CDE，得AB⊥CD.总而言之，总有AB⊥CD.第87页易错警示【例】设平面α与平面β交线为,直线AB在平面α内,且AB⊥,垂足为B,直线CD垂直于平面β,且CD∥平面α.求证:AB⊥平面β.错解如图1所表示,∵CD⊥平面β,且CD∥平面α,而AB⊥,∴AB∥CD,∴AB⊥平面β.错解分析错解仅将已知条件复述一遍,就直接从CD∥平面α,得出CD∥AB,这是没有依据,犯了论据不足错误.正解如图2所表示,过CD及平面α内任一异于AB点P作平面γ,设平面α与平面γ交线为EF.∵CD∥平面α,∴EF∥CD.∵CD⊥平面β,∴EF⊥平面β,EF⊥.∵EF、AB均在平面α内,且EF、AB均与垂直，∴AB∥EF,而EF⊥平面β,∴AB⊥平面β.第88页考点演练10.E、F分别是正方形ABCD边AB和CD中点，EF、BD相交于点O，以EF为棱将正方形折成直二面角，则∠BOD=——.解析设正方形边长为2，BD=，，所以θ=120°.答案120°11.（创新题）如右图所表示，在直三棱柱ABC-中，AB=BC=，D为AC中点.（1）求证：∥平面；（2）若⊥平面，求证：⊥平面；（3）在（2）条件下，设AB=1，求三棱锥B-体积.第89页解析（1）证实：如图，连接交于E，连接ED.∵ABC-是直三棱柱，且AB=，∴侧面是正方形，∴E是中点.又已知D为AC中点，∴在△中，ED是中位线，∴∥ED，∴∥平面.（2）证实：∵⊥平面，∴⊥.又∵侧面是正方形，∴⊥，∴⊥平面，∴⊥.又∵ABC-是直三棱柱，∴∴⊥平面.第90页(3)∵AB=BC，D为AC中点，∴BD⊥AC,∴BD⊥平面，∴BD就是三棱锥B-高，由（2）知⊥平面，∴BC⊥平面.∴BC⊥AB，∴△ABC是等腰直角三角形.又∵AB=BC=1,∴BD=，∴AC=∴三棱锥B-体积12.(·潍坊模拟)如图,正三棱柱ABC-中,AB=2,=1,D是BC中点,点P在平面内,(1)求证:⊥BC;(2)求证:∥平面;(3)求证:⊥平面第91页证实(1)如图，取中点Q,连接,PQ,∵△和△是等腰三角形,∴⊥,⊥PQ,∴⊥平面,∴⊥.∵BC∥,∴BC⊥(2)连接BQ,在△中,,=2,Q为中点,∴PQ=1,∴=PQ.又∵⊥,PQ⊥,且,,PQ在同一平面内.∴∥PQ,∴四边形为平行四边形,∴∥BQ.第92页∵BD,四边形为平行四边形,∴BQ∥,∴又∵面,∴∥平面(3)在矩形中,BC=2,=1,D为BC中点,∴∠=90°,即∵平面ABC⊥平面,AD⊥BC,∴AD⊥平面∵平面∴AD⊥,∴⊥平面第93页第六节空间直角坐标系基础梳理1.空间直角坐标系概念如图,OABC-D′A′B′C′是单位正方体,以O为原点,分别以射线OA,OC,OD′方向为正方向,以线段OA,OC,OD′长为单位长,建立三条数轴:x轴、y轴、z轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴,经过每两个坐标轴平面叫做坐标平