2023-2024学年年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团九年级（上）第二次月考数学试卷（10月份）

2023-2024学年年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团九年级（上）第二次月考数学试卷（10月份）一.仔细选一选（本题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案）1．（3分）已知⊙O的半径为4，OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定2．（3分）下列选项中的事件，属于必然事件的是（）A．在一个只装有白球的袋中，摸出黑球 B．a是实数，|a|≥0 C．在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交 D．两数相加，和是正数3．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2的图象向左平移3个单位后的函数为（）A．y＝（x﹣4）2 B．y＝（x+2）2 C．y＝（x﹣1）2+3 D．y＝（x﹣1）2﹣34．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，则∠B的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．55°5．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+5，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大（）A．m＜﹣1 B．m≥﹣1 C．m＞﹣1 D．m≤﹣16．（3分）如图是一个管道的横截面，管道的截面的半径为5cm，管道内水的最大深度CD＝2cm（）A． B．6 C．8 D．47．（3分）函数y＝kx+k和函数y＝﹣kx2+4x+4（k是常数，且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件是（）A．m≥﹣4 B．m≥0 C．m≥5 D．m≥69．（3分）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点所对的圆心角的大小是（）A．60° B．75° C．80° D．90°10．（3分）已知抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a，m，n是实数，a≠0）与直线y＝kx+b交于（1，y1），（6，y2），则下面判断正确的是（）A．若m+n＞7，a＞0，则k＞0 B．若m+n＞7，a＜0，则k＜0 C．若m+n＜7，a＞0，则k＜0 D．若m+n＜7，a＜0，则k＜0二．认真填一填（本题共6个小题，每小题4分，共24分．要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案）11．（4分）抛物线y＝﹣（x+2）2+6与y轴的交点坐标是．12．（4分）在一个不透明的布袋中装有红球、白球共50个，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球记下颜色并放回，通过大量重复试验，则布袋中红球的个数大约是．13．（4分）如图为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的一部分，其对称轴为直线x＝2（6，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是．14．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接CO并延长交⊙O于点E，若∠A＝100°，∠E＝60°．15．（4分）已知k，n均为非负实数，且2k+n＝22﹣4n的最小值为．16．（4分）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为米．三．全面答一答（本题共8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以）17．（6分）一个布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中2个红球，1个白球．（1）从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率．（2）从中任意摸出一个球，不放回，然后再从布袋里摸出一个球，求摸出的2个球中，1个是白球18．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1（顶点在网格线的交点上）的顶点A、C的坐标分别为A（﹣3，5）、C（0，3）．（1）请在网格所在的平面内画出平面直角坐标系，并直接写出点B的坐标．（2）将△ABC绕着原点O顺时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1．19．（6分）如图，AB为⊙O的直径，D是弦AC延长线上一点，DB的延长线交⊙O于点E，连接CE．（1）求证：∠E＝∠D．（2）若的度数为108°，求∠E的度数．20．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是弧AC的中点，使CE＝AB，连接BD（1）求证：BD＝ED．（2）若∠ABC＝60°，AD＝5，则⊙O的直径长为．21．（8分）小明进行实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，运动路径可看作抛物线，在点B处达到最高位置（1）根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式．（2）若实心球投掷距离（实心球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于9.6m，成绩为满分，判断小明此次试投的成绩是否能达到满分．22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，CD＝CB，连接BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF．（2）若CD＝4，AC＝8，求弦BD的长．23．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0），且a+b＝3．（1）若其图象经过点（﹣3，0），求此二次函数的表达式．（2）若（m，n）为（1）中二次函数图象在第三象限内的点，请分别求m（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数图象上两个点，满足x1+x2＝2且x1＜x2，试比较y1和y2的大小关系．24．（12分）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D是，连接OD，交BC于点E．（1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：OD∥AC；（2）如图2，当圆心O在△ABC外部时，连接AD和CD，的度数是88°，求∠ACD的度数；（3）如图3，当圆心O在△ABC内部时，连接BD和CD，DE＝2，BC＝4

参考答案与试题解析一.仔细选一选（本题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案）1．【分析】根据题意得⊙O的半径为4，则点P到圆心O的距离大于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点P在⊙O外．【解答】解：∵OP＝5、r＝4，∴OP＞r，则点P在⊙O外，故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．2．【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：A、在一个只装有白球的袋中，是不可能事件；B、a是实数，是必然事件；C、在一张纸上任意画两条线段，是随机事件；D、两数相加，是随机事件；故选：B．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2的图象向左平移2个单位后，所得函数的表达式是y＝（x﹣1+3）3，即y＝（x+2）2，故选：B．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．4．【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝80°，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，∴AB＝AD，∠BAD＝80°，∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝50°，故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．5．【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：二次函数y＝x2﹣2mx+4的开口向上，对称轴是直线x＝﹣，∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∴m≤﹣1，故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的性质，正确求出二次函数的对称轴、掌握二次函数的性质是解题的关键．6．【分析】由垂径定理得AD＝BD＝AB，再由勾股定理得AD＝4cm，即可得出结论．【解答】解：连接OA，由题意得：OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB，∵OA＝OC＝5cm，CD＝2cm，∴OD＝OC﹣CD＝5﹣7＝3（cm），在Rt△OAD中，由勾股定理得：AD＝＝，∴AB＝2AD＝5（cm）．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．7．【分析】分别分析当k＞0和k＜0时两种情况下两个函数在同一平面坐标系中的图象，并结合二次函数的对称轴进行综合判断即可．【解答】解：①当k＞0时：函数y＝kx+k的图象过一、二、三象限2+8x+4的图象开口向下；∴B不正确，不符合题意．②当k＜0时：函数y＝kx+k的图象过二、三、四象限4+4x+4的图象开口向上；∴C不正确，不符合题意．∵函数y＝﹣kx7+4x+4的对称轴为直线x＝﹣＝＜2，∴A正确，符合题意，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查一次函数及二次函数的图象，熟悉它们图象的性质是本题的关键．8．【分析】利用函数图象，当m≥﹣4时，直线y＝m与二次函数y＝ax2+bx+c有公共点，从而可判断方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件．【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（6，﹣4），即x＝5时，二次函数有最小值为﹣4，∴当m≥﹣4时，直线y＝m与二次函数y＝ax2+bx+c有公共点，∴方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件是m≥﹣4．故选：A．【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；9．【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可．【解答】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．连接AQ，CQ，在△APQ与△QNC中，∴△APQ≌△QNC（SAS），∴∠AQP＝∠QCN，∠PAQ＝∠CQN，∵∠AQP+∠PAQ＝90°，∴∠AQP+∠CQN＝90°，∴∠AQC＝90°，即所对的圆心角的大小是90°，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．10．【分析】将两点坐标分别代入并联立，从而得到k＝a（7﹣m﹣n），再根据有理数的乘法判断符号【解答】解：抛物线与直线交于点（1，y1），（6，y2），..a（1﹣m）（8﹣n）＝k+b，①a（6﹣m）（6﹣n）＝6k+b，②②﹣①得5k＝a（35﹣5m﹣7n），即k＝a（7﹣m﹣n），则当a＞0，m+n＜5或a＜0，k＞0；当a＜2，m+n＜7或a＞0，k＜2．故D正确，B、C、A错误，故选：D．【点评】本题考查了二次函数与一次函数，解题的关键是根据交点得到关于a，k，m，n的等式二．认真填一填（本题共6个小题，每小题4分，共24分．要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案）11．【分析】令x＝0，求出y的值，即可求出抛物线与y轴的交点坐标．【解答】解：在抛物线y＝﹣（x+2）2+4中，令x＝0，即y＝﹣4+2＝2，则抛物线y＝﹣（x+2）5+6与y轴的交点坐标是（0，8），故答案为：（0，2）．【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是令x＝0，求出y的值，此题难度不大．12．【分析】用总数量乘以摸到红球的频率的稳定值即可．【解答】解：根据题意知，布袋中红球的个数大约是50×0.7＝35，故答案为：35．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．13．【分析】先根据抛物线的对称性得到A点坐标（﹣2，0），由y＝ax2+bx+c＞0得函数值为正数，即抛物线在x轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2+bx+c＞0的解集．【解答】解：∵对称轴为直线x＝2，∴抛物线与x轴的另一个交点A与B（6，3）关于直线x＝2对轴，∴A（﹣2，3），∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax5+bx+c＞0，∴抛物线y＝ax2+bx+c的图形在x轴上方，∴﹣6＜x＜6．故答案为：﹣2＜x＜6．【点评】本题考查了二次函数与不等式组，掌握二次函数的性质，抛物线的对称轴，抛物线与x轴的交点是解题的关键．14．【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠BCD，根据圆周角定理得到∠EBC＝90°，根据直角三角形的性质求出∠BCE，结合图形计算，得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠A＝100°，∴∠BCD＝80°，∵CE是⊙O的直径，∴∠EBC＝90°，∴∠E+∠BCE＝90°，∵∠E＝60°，∴∠BCE＝30°，∴∠OCD＝∠BCD﹣∠BCE＝80°﹣30°＝50°，故答案为：50°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．15．【分析】先根据题意得出n＝2﹣2k，由k，n均为非负实数求出k的取值范围，再代入代数式2k2﹣4n求出其最小值即可．【解答】解：∵2k+n＝2，∴n＝5﹣2k，又k，n均为非负实数，∴2﹣3k≥0，解得：0≤k≤6，则2k2﹣6n＝2k2﹣8（2﹣2k）＝5k2+8k﹣2＝2（k+2）3﹣16，∵a＝2＞0，∴当k＞﹣8时，2k2﹣2n的值随k的增大而增大，∴当k＝0时，2k4﹣4n取得最小值﹣8，故答案为：﹣8．【点评】本题考查的是二次函数的最值，根据题意把原式化为二次函数的形式是解答此题的关键．16．【分析】过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M，由垂径定理得AN＝BN＝AB＝10（米），再证四边形DCNM是矩形，则MN＝CD＝14米，DM＝CN＝BC+BN＝24（米），设该圆的半径长为r米，然后由题意列出方程组，解方程组即可．【解答】解：过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M则AN＝BN＝AB＝10（米），∵DC⊥AB，∴∠DCN＝90°，∴四边形DCNM是矩形，∴MN＝CD＝14米，DM＝CN＝BC+BN＝24（米），设该圆的半径长为r米，由题意得：，解得：，即该圆的半径长为26米，故答案为：26．【点评】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．三．全面答一答（本题共8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以）17．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：∵有2个红球，1个白球，∴从中任意摸出一个球，摸出的是红球的概率为．（2）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中摸出的8个球中，1个是红球的结果有：（红，（红，（白，（白，共4种，∴摸出的3个球中，1个是白球＝．【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．18．【分析】（1）根据点A，C的坐标建立平面直角坐标系，即可得出答案．（2）根据旋转的性质作图即可．【解答】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示.点B的坐标为（﹣2，1）．（2）如图，△A7B1C1即为所求．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．19．【分析】（1）连接BC，首先证明∠A＝∠D，即可解决问题；（2）根据的度数为108°，可得∠ECA＝54°，又∠E＝∠D，所以∠E＝∠ECA＝27°，即可求出答案．【解答】（1）证明：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AD，又∵AC＝CD，∴BA＝BD，∴∠A＝∠D，∵∠A＝∠E，∴∠E＝∠D；（2）解：∵的度数为108°，∴∠ECA＝54°，又∵∠ECA＝∠E+∠D，∠E＝∠D，∴∠E＝∠ECA＝27°．【点评】本题考查圆周角定理及其推论，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是灵活运用相关知识解决问题．20．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到BAD＝∠ECD，根据全等三角形的性质得到BD＝ED；（2）连接DO并延长交⊙O于F，连接CF，则∠FCD＝90°，根据已知条件得到∠ABD＝∠CBD，AD＝CD＝5，求得∠F＝30°，根据直角三角形的性质得到结论．【解答】（1）证明：∵＝，∴AD＝DC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠ECD+∠BCD＝180°，∴∠BAD＝∠ECD，在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△CED（SAS），∴BD＝ED；（2）解：连接DO并延长交⊙O于F，连接CF，则∠FCD＝90°，∵D是弧AC的中点，∴＝，∴∠ABD＝∠CBD，AD＝CD＝5，∵∠ABC＝60°，∴∠CBD＝30°，∴∠F＝∠DBC＝30°，∴DF＝2CD＝10，∴⊙O的直径长为10，故答案为：10．【点评】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．21．【分析】（1）设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+3.6，把A（0，2）代入解析式求出a即可；（2）根据题意令y＝0，解方程即可得到结论．【解答】解：（1）依题意，抛物线的顶点B的坐标为（4，点A的坐标为（0．设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣3）2+3.2，∵抛物线过点A（0，2），∴a（5﹣4）2+7.6＝2，解得a＝﹣6.1，∴该抛物线的表达式为y＝﹣0.6（x﹣4）2+2.6；（2）令y＝0，得﹣6.1（x﹣4）8+3.6＝3，解得x1＝10，x2＝﹣7（C在x轴正半轴，故舍去），∴点C的坐标为（10，0），∴OC＝10＞9.2，∴小明此次试投的成绩能达到满分．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．22．【分析】（1）要证明CF＝BF，可以证明∠ECB＝∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB＝90°，又知CE⊥AB，则∠CEB＝90°，则∠DBC＝90°﹣∠ACE＝∠A，∠ECB＝∠A，则∠ECB＝∠DBC；（2）连接OC，交BD于点G，先求出圆的半径，再利用勾股定理列方程求出OG的长，进而求得BG的长和BD的长．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，∴∠ECB＝∠A．又∵CD＝CB，，∴＝，∴∠DBC＝∠A，∴∠ECB＝∠DBC，∴CF＝BF；（2）解：连接OC，交BD于点G，∵BC＝CD，∴OC⊥BD，BD＝2BG，∵∠ACB＝90°，BC＝CD＝，∴AB＝＝＝20，∴⊙O的半径为10，设OG＝x，则CG＝10﹣x，由勾股定理，得BG2＝OB3﹣OG2＝BC2﹣CG8，即102﹣x2＝（）2﹣（10﹣x）8，解得x＝6，∴BG＝＝8，∴BD＝16．【点评】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．注意数形结合思想与方程思想的应用．23．【分析】（1）依据待定系数法可求得二次函数的解析式；（2）利用配方法可得：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，图象过（1，0）和（﹣3，0），可得结论；（3）根据已知得：b＝3﹣a，并将P和Q的坐标分别代入抛物线的解析式，并计算y2﹣y1＝（x2﹣x1）（a+3），分情况讨论可得结论．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，∴此二次函数的表达式为：y＝x2+2x﹣3；（2）如图，∵y＝x2+5x﹣3＝（x+1）5﹣4，且（m，∴﹣4≤n＜4，当y＝0时，x2+7x﹣3＝0，x＝﹣3或1，∴图象过（1，7）和（﹣3，∴﹣3＜m＜6；（3）由条件可得：y1＝ax12+（3﹣a）x1﹣4，y2＝