导数中常见的不等式证明方法

不等式的证明方法由于不等式的种类繁多、覆盖面广、处理时技巧性较强,因而是高中数学的一个难点一导数为我们处理不等式问题提供了一个新的途径，利用导数处理不等式问题具有方法简捷、可操作性强的特点，但处理方式乂技为限活，需要掌握不同的证明方法以及扎实的数学功底L融犷交叉.创新性的思甦方式一本战，我们通过对一些试题的研究，提供一些利用导致证明不等式的方法一兵分两路对于一些较为复杂的函数.如果通过直接构造一个函数很难或根本就无法解决时，可嘤试通过等价错化，适当变形.转化为两个函数来处理，M地可能公得到极大的简化，从而达到顺利证明的目的我们称这种证明方法为兵分两路本节.我们从:种角度来说明这种方法的使用一一.一分为二1.和差拆分[例]】已知函数/(x)=Inx—仪I一，)(a€1<).x口)若当时，八十)二0%成仁.求实数百的职位范围；川)设代用=3-2二地1工)6=2.7⑻92,求证+当病=-1时，*(幻〈至二!e e1(20㈤年山东省济宇市府二期期末加Q检测尻题)【解析】口)由= —Ml—L)C*wR),得/'(#)二1一二二^(.¥>0).X X『 『①当日小时，由知，八工)=0./*)在(1,口)上为熠函数，所以》)111九/(.Y)>/{I}二。恒成立，所以4<i满足题意：②当口>1时十由Id〈口时，/'«)<0，所以/(X)在(1,口)上为减函数，此时f(x)<f[])=0,不符合题意，所以口>1不满足题意，标上所述，当》>1国,/«)>口恒成立时1实数E的取值冠围是1-8/1，TOC\o"1-5"\h\zJe1+1 2cJ+l川)当。=I时tF(x)<j—<=>2-2x-a1hx<： 日’.廿 e'令口(r)=2-2父一*ln,(工>。，p\x)=-3-Injf从而，w(0、e,)时r//(x)>0.pO)单调递增;x应(e1+x)时.小工)<0,p(x)单调递减.从而风工)« =2+-^-=〃而贝3)=2。｝y"(a>0)为增函数，所以g(x)>g(0)=瓦J1所以M工)<型二」二飙0)M/X).从而原不等式卷证. : 争较是用来研宽连续函数性态的强有力的工具.除在高中阶段所认识的一系列显本初等:函教外，商考导微的压轴试题常出现或甯要构造下列六种典型的函数模理来辅助解题；/(A)In/(H)；Q)J_M_.(3).*")：(4) ；(5)上以：9)—ln/(x)f(x) /灯f(x)\命地人经常立足于上述六个鬲鼓命邈一穴的题目.若在同一试题中出现了两种或两种以上的典型的敕，就此时往往人工不可能求其械(最)抵此时，就将要处用函数“分■拆”的手段,将原不等式分折成一些可求局部最值的两个系数或更多个函数,逋过分拆与二次替舍的相互配合.可将原不等式的证明问题转化为求局部函敬的最低问学，然后分别求两个函数的最ft!即可达到解决问题的目的. ।【倒2】已知函数/(x)=xln工一心一<1)当曰二一1时,求函数/(耳)在｛0,+史)上的最福；(口)求证；对一切工总(0,+g),都有l+】nH>=■-J-成立.t解析】(i)函数=然的定义域为(0,十工)一当日=-1时,/(A)=xlnx+Tv,f'(M)=111142由(耳)=。，得H=」r.节一¥£电!)时，/W4O./(犬)单调递加九三(5，+到时，/J(x)>0t〃x)单调递增一因此，在H="时取得最小设，即/(幻心=/(5)=-(,但无最大瓶"1工>0时，1mL+1>~—-—'生价Tx(lna+I)>~Xll—r-由□)知r=-1时,/(1)=］加工+，的最小林为一；，当且仅当.r=4时取等号.设5用二合$(x>0),G⑺=M*'*)=0，得Y=1当了匚(0/)，G\r)>0,。(幻单调递增；当一¥2(1,十年),学幻<0,仃⑴单调递减因此，仃口)在*=1处取得最大位，即二仃⑴二一上，当日仅当上二1时取等号一,从而从而可知,对一切#w(Oz),都有」(x)>G].rh即1口工+》击—高一■」■■・■—・一,从而在证明不哥式中，等价转化是美地，此处利用人眦胆成f(x)>GM，任此处八制与G(x)取到我值的条件不是同一个“工”的值一」方一一■「「一=1例31设函数/(x)=fdlnx+然，曲线y=/(可在点"/(1»处的切线方程为y=e(x-1)+2.(I)求(ID求证：f{x)>\.(2014年至国1卷理科试题)1解析】(I)函数/(公的定义域为(0,+8}.ff(x)=werIn^+-er-4<t_|+-ei-|XX X由题意可得/(1)=2,/rU)=j故口=1+b=2.(n)方法由U)知，/(x)=e'1口工+2(/”,因为M>0任x>0,从而1o-JtJnx>支匕-*_2设g(x)=WnH,h(x)=xc~--(j>0)从而g’(幻=1+lnt,令/(犬}=0,得牙=]当he(0「)时gV)<0.鼠工)单调递减；为工e(L+s)时，gV)>0-鼠幻单e e调递晦从而g")花R=g处取存最小值乳制”=g(-g=-g而"⑺=e-i-2=e_t(l-k).令相#=0,得工=1一当ne(。」)时*"#}>0,双刈单调递增：当/eQw)时，仪制>0，酬工)单调递减.从向封外在工=1处最得地大伍W=h[l}=--.U由于两个警号不可能同时取到,所以冢M)A双幻,即”制>1.工乘积拆分【例4】己知函数〃#=弛三必一c(I)求的数人幻的单调区间：2□I)证明二当万>0时，+!)<—+—.e'eL'(2O3S年安徽省安庆市重点中学联号试题)2(]—r-rln【解析】⑴八用=~———--令若。)=1—工―11n_r,则g⑴=0.xe当。cxcl时，1一4>。+—W口工>0,所以飘冷>0,尸(#)>0,〃动单间递增专当jc>1时.1一)弋0,-¥hi0,所以烈*)<0,ff(x)<0，/(/)单调递诚，所以函数〃制的楙区间为(0,1),臧区间为(1++«决g要证明/'U)ln(%+l)c§小击,即证(1—犬-外力由旧(#+])<(1+5立.令式幻=1-工-工111》(x>0则/(幻=-1-(1]1大+1)=-2-加工.当时tgr(x)>0,£(彳)单调递增；当1>1时,宫(x)vOtgU)单调递减.所以犀《，)—耳(-r)=1+^7>朋,以1—X--工]口H£IH.e考一 *从而“1如，要证(】一x-HlnA)】n(x+l)《(l+g)x.只需证】口(工+l)ux即可.令应W=]n(》十1)一#LhaO]，从而1(幻— 从而双灯前调递世，所以利工)<。(0)=01Jall0<in(x4-1)<x综上所述，当工>0时，都有八幻+时于同时皆有1】】工与tf的也越的数，解决时往在需要根据两类函敲的特点，挖部始构I挣拉.迪行灵志支影.t碉弓】已知的数/(，)=出?"为常数.€为自然对数的庭数》0)求/(工)的单调区间r(II)域式#)=(，+0门幻，其中尸⑴为〃幻的导函数,求总对任意无、0,总行烈明式之W.1解析】(Df\x)=]~X~^]nX.当X31时1日1-3<:0.-x\nx<(h知/铝)《。.〃幻隼调垄增；一。<了<1时，b*H1-1>0,-jrhijc>0j知//贯)单调递减一从而,可知了(幻的单调递增区间为(0.1),递减区同为(Lgh(II)由题意如*g(A)=(x~-I-x)--j_"="(1-xInx-jf).令网xj=土?[工>0),则V⑺=-三<0.则能幻单调递减.从向以力cM0)=l,再令闭x)=I-Hite-二(JT>0)1则户'(x)=一加二一2,令"(x)=O,从而得x=c~\当0啜工</£忖，d>o,双幻单隔递增】当时，/“¥)<0,p(上｝单调递减.从而户口)<p(e")='”।.从……广【例6】已知函致/(力=十一口Inx-en其中常数口>己(1)当仃=e时，求函数了(克)的极值；un若函数『二/，)有两个零点，“马£0式主]《马)，求ill：：—<x]<]<x2<al川门求证：/Li—©ehiT一k占0.【解析】U)当以=白时，/(x)=ex-elnx-e»则/'(耳)=--士，易知单调递增，HJ"U)=O.则当口CHC1时，/'(工)<0,/(幻利驹递减；当二二1时，f\x)>0,/(x)单调递增，所也)有极小值/(1)=0,没有极大植.UJ)先证明了(二)圭0恒成立时，有。<鼻二日成立一若0〈工则/(工)一。(柏工+1)之口恒成立，着二:>[，由，(x)±0,^a£-——e lnx+1i u”*(In/+1——)个例工)二e,则柄(#=——: K'一.InJt+I (lnx+I)-g(x)=lnx+1--,且'(幻=工+4>0,虱幻单调递增，且g(l)二口一x Jtx~—<.r<I111tg(jr)<0. <0，妣，)单调通藏；当i#》i时，g(x)>0,-)>0,甲3)单调递增一所以双X)用=#(1)二已所以/(I)=e-t7<0,f(a)=e</-a]T]a-a'/"(£?)=efJ-hit?-2,从而/ff^)=c,J-->c-->0t忻以/,S)二u"—In白—2在(工+工)上单调避增，ae因为/'(a)=efl-Ina-2>eJ-3>0,所以『(4)=£”一以Ins—4在(1”)上单调递埔从而/⑷〉/⑹=c"—2d!|]/(幻/(1)<。，所以1M三<2Hda>c.^4/(—)=cd-tiln--t7=ca+alna-a>c,^1/(—)/(!)<0f所以a a '我'—<x,<1.综上所述，-<xl<l<x2<a(Ill)由<D知,当h=e时,一之。恒成立jHP-elnA>e.设封用二［(x>0),则"⑺二二^一朽0M工<1忖，〃⑴>0,凡一单调递增：当.>1时,*(工)《0,一行单调递减一即从而U一名匕所以e*—eln.H之七之,即e”T—亡t1口，一》之0.二、隔离直线在处理不等式的证明问超时,我们以常会逼到两外函数的图象被某条立线隔离的情形一如果我们能够找到这条11绒，然后再构造两个差函数，问题往往能迎刃而解.【例7】若存在实常数/和乩使得函数〃幻和以行对其定义域I：的任意实数工分别满足：/0)，取+〃和爪”依+人则称/僦门y=fcr4廿为/<#)和g瓢)的“隔离直线已知应劝=力-^x)=2elnr(其中c为自然对数的底数1⑴求F(x)=h(x)-^(x)的极值;(H)函数可幻和双幻她否存在隔离直践？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，清说明理由，【解析】(1)'/F(x)-力(由一中(工)=一一2cIn*(.r>0)TaF\x)=2x--=2^~^^+>/e)当工二小时，F")=0.X X,「当Ovxvje时.F\x)<0>此时函数/(幻递减；当，〉W时，Fr(x)>0.此时函数Hx)递增；二当*=&时，F{x}取极小值，其极小值为0.(IIX解法-。由(I)可知函数出》)和则jr)的图象在支二a处有公共点.因此若存在网幻和直幻的隔离直线,则该直线过这个公其点.设隔离百戊的斜率为4,则贪戊方程为y—匕=此(犬—忑)+即y;米+由竹(讣之匕十亡一4G(xwJi).nJ得/-kx-弋*k&20当*eR时恒成立vA=(A-2-Te)2+-由AWO,=2Ve.F面证明双行<2、怎-c当x》0时恒成立.令G(,)=中(力一 +c=2cInx—2\[cx+eT则G(r>在-2心2捉(捉一»当二工人时,<?(工)=0,x x7当0弋册〈4时,Gr(x)>0,此时函数C(x)递增：为二>、忖.G\jcj<().此时函数行(幻递减事，当二=及时，GQ)取极大值，其极大值为0.从而G")=2eln.r-2厩x+e<0-即2心-巾田0)恒成立.J函数网幻和妣X)存在唯一的隔离直线了二2限一£.睇法一)由⑴可知当月*0时，川乃之则二｝(当且当父=石时取等号).若存在〃(力和例由的隔离直线.则存在实常数左和/?•使得人㈠)之h+不和讨(t)M区+”工>0)恒成立，令x=&$则d“小十力Re<k4i+b十匕=€,即人后面解题步骤同解法一一・■■■・：!■一■>■■■■■■・・・・!■■・■!寻求隔离直线的关键是r首先找出两个函教的公共点，可以采用构造函数，利用西数的|I II单调性寻求南数的零点，得出公共点：其忒将过公共点的直线设成点斜式，代人已知条件，::能同时使两个不等式恒成立的直线，即为所未隔离直线一叨占■』!■上4占二占占国上口也■ 4国占占4 国E例S1已知函数人刈三为-ln(x+fl0.当.名2时,求证：/(x)>0.分析二本例的常规思路是转化为证明的数/(x)的最小值丸于口,但在求辱函薮fM=e——L的零点时遇到了困难.转而现就函数丁二巳'与丁=1出了+四)的图象之间x+用的关系(当m=2时如图1所示，当5m2时如图2所示)，从中获取解题思路.【证明】因为y=/在(0J)处的切级方程为y=x+l,.=ln(x+2)L(-LO)处的切线方程为y=h+1-即『=*+1是函数9二/与函数y=InCr+2)的公切线一电烈灯二小一了一！.则L当一：>0时,g'⑴>0,仪用单调递增:当一，(1时p贯X)<。，一力单调递。一因为g(0)=0,所以F2x+l,当4仅当工=0时取等%所以，除切点(0J)之外，M线y=(/在直线¥=*十1的上方.同理可证：除切点(―1⑼之外，曲线y=ln«十2)在直找+fjt+I的下方一故e'>!n(x+2).而当?n，2,工目(一厘2)时，1M工十峭，ln(x+2)恒成史.故当臂V2时,ex>ln(x+m)，即/(幻>0一本例实屏上是不断放缩，利用不等式F之x*l2ln(r+2)之In(f+阳)证明/(x)>D.j要熟恚不等式d2五十1及其变科e""/x、cx>cxv1iix<jc-1,hx>l一"-.|ln(H+1)M#FIn(x-1-1)>—]nx<—,Inx>--匚的适用范围及等号成立的条件，这x4-1c ex;名不等式都是指、对教函数放绵时常用的不等式.u1■■! man aidii■■ivKaaaa^a口0》■. -Mia・ 1Mtaaaaaia ■■■・ ._*■aa■.【例9】口知函数/⑺(i)求曲段八x)在工=i处的切线方程：口1》求证:当了>0时，R'0~->Inx+i(20IS年我徽省太和中学二模试题》【解析】U)对/箕)求导.得/'(犬)=/-2上一由题意设，得/”}=e-2,/U)=e=l,所以曲线/(#)在工=1处的切线方程为y=(匕一分(发一1)十匕一1,即化一2忧—y才1二0一<n)令第£)=/r(i),则算’(、)二u—2肖》《In2时，g\x)<0>g]一单调递减;当xnIi12时，gf(x)>0,黑灯单调递增，=g(ln2)=/f(ln2)=2-2ln2>0，所以f口)=---在电+砌上酒调递嘴由于曲线/(#)在*=1的切线方程为y=(c—2H+1.〃l)=c—I,可猜测函数/(，)的图象恒在切缝尸=伯一2比十1的」汾.先证明芍时./(x)>(c-2>+l.^h(x)=/(x)-(e-2)x-l(x>OX则T(x)=/—2#-(e—2)，h^x)=e-2当，fln2时,胪(工)<0,成用单谑递减：x>In2fN,,Aff(x)>0,A'(x)单调递增.由/“0}=3—e>0,h\]]=^ti0<ln2<l,从而林E2)y0,所以存在^e(0Jn2)t使得矶/)=--从而当时，htx)>0,MR单调通赠：当为£(通」)时,Af(x)<0,一一单调递减工当*£(],+%)时，内灯>口，仪H)单调说姻.因为抑0)=〃(])=0,所以双工)爸0,即/(幻之(U—2)，41,当工仅当耳厂1时取等号,所映当工>0时，F—V之2―2卜+1,变形可得以港出，乂由于Xx>inrY+L当H仅7K=¥时取等以1证明喀)，所以.十(2：-二二一1三】nK4l.'iJi仅当X=1时取"等号.切域法值得认真探究，若第题是求曲线的M线方程,就需要注意是否运利比筑放嫡法进行故缩解决问题一【例10】对下函数图象I.的不同两点川芭/J,理工心)，如果在函数图象上存在点时(%/口)(职中/电(孙巧))使得点M处的切线”MB,则称宜能以修存在“相依切线”,特别地，”.=n；/时,又称直线月日存在血中值相依切线”.己虬函数

f(x)=\nx--ax^bx(.订H导数/贝)=0,（I）试用含有口的式•表示8.并求/（幻的单谒区间;HI）试问；在函数/（月上是否存在两点E,使得直线存在“中值相依切线'，？若存在，请求出4、8的坐标；着不存在，请说明理由一E解析】（1》/（行的定义域为（0,+立），\^f,{x}=--ax+b,f,（l）=]-a+b=（）,x群b=n-l.代入，f\x）=一-ax+a-\=-- -.x x当广⑪）下。时，—9三一巾‘二"＞（）,由工％0,^（aY+lj（x-l）＜0.X父得Oct＜1,即〃制在（0,1）上单调递墙当广（乃＜:0时，_3+lMD＜：0,由K＞0,得+ —l）A0.X星贝＞0,得X＞1,即在（L+功上单调递减.所以〃力在（02k单调递增，在口,十兀）匕单调递减.0D在函数/*）上不存在的点.4、使得宜线月月存在“中信相依母线"，假设存在两点*修/[）.8（三,以），不妨设0＜，|Vx「则F