2020-2021学年亳州市蒙城县九年级（上）期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年亳州市蒙城县九年级(上)期末数学试卷

一、选择题(本大题共10小题，共40.0分)

1.8.函数y=2/一％+3经过的象限是

A.一、二、三象限B.一、二象限

C.三、四象限D.一、二、四象限

2.若将抛物线y=/一3向上平移5个单位长度，则得到的新抛物线的顶点坐标为()

A.(0,2)B.(0,-8)C.(5,-3)D.(-5,-3)

3.二次函数y=—/+8x+m：

①点Oi，yo)和点(%2，、0+2)在函数图象上，若X1>3,尤2>3,则尤1>尤2；

②若当―3<x<9时，—/+8x+m>0；当时，-%2+8%+巾<0,则m=33；

③若％是大于4的正整数，当+y的整数值的个数与m无关.

其中正确的有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

4.将矩形纸片4BCD按如图所示的方式折叠，得到菱形4EC凡若48=3,则BC的长为()

A.1B.2C.V2D.V3

5.如图，在平面直角坐标系中，以原点。为似中心，将△ABC扩大到原来

的2倍,得到对应的△A'B'C'.若点4的坐标是(一1,2),则点A的坐标是()

A.(4,-2)

B.(-4,2)

C.(2,-4)

D.(-2,4)

6.反比例函数y=：的图象经过点(3,-2),下列各点在图象上的是()

A.(-3,-2)B.(3,2)C.(-2,-3)D.(-2,3)

7.下列各组线段的长度成比例的是()

A.3cm,6cm,7cm,9cmB.1.1cm,1.2cm,1.3cm,1.4cm

C.20m,40m,60m,80mD.0.3cm,0.6cm,0.9cm,1.8cm

8.如图：矩形4BCD的对角线4C=

A.275cm

B.2cm

C.4如cm

D.4cm

9.二次函数y=a%2+b%+C(QH0)的部分图象如图所示，图象过点(一1,0),对称轴为直线x=2,

下列结论：(l)2a+b=0；(2)9a+c>3b；(3)5a+7b+2c>0；(4)若点4(-3,yI)、点B(-3/2)、

点C(1,y3)在该函数图象上，则yi<y2<丫3；(5)若方程a(x+l)(x-5)=c的两根为均和均，

且与<%2，则%1<-1<5<上，其中正确的结论有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.如图，G,E分别是正方形/BCD的边AB,BC上的点，且4G=CE,AE1EF,AE=EF,现有

如下结论：①BE=DH；@^AGE=^ECF-,③/FCD=45。；④△ECH.其中，正确

的结论有()

A.4个D.1个

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

11.如果抛物线旷=/-6%+。一2的顶点到刀轴的距离是4,贝k的值等于

12.用四舍五入法将数3.1415926精确至IJ0.001是.

13.如图,菱形4BCD中，对角线4c=8,BD=6,点E是4B边上的中点,

连接CE,则tan4力CE的值为.

14.如图，矩形ABCD中，AB=4,40=3,M是边C0上一点，将△ADM沿直线4M对折，得到△4NM.

当射线BN交线段CD于点F时，DF的最大值为

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分）

15.计算：V16+（7T-V3）°-（I）-1+|-2|-2cos60°.

16.如图，抛物线y=a/+.+3与x轴交于4（一1,0）,B（3,0）两点，与y轴交于点C,过点C作CD〃x

轴，交抛物线于另一点D,连接BC,BD.将ABOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右运

动到△B'0'C'的位置，当点。'与点B重合时，停止运动.设△8'0'C'与△8。。重叠的面积记为5,

运动的时间为t秒.

⑴a=,b=.

（2）直线BC的函数解析式为,直线BD的函数解析式为.

（3）求S与t之间的函数关系式.

17.如图，在直角坐标系中，直线%=ax+b与双曲线丫2=3(卜中。)分别相交于第二、四象限内的

2

A(jn,4),B(6,n)两点,与工轴相交于C点.已知0C=3,tanzXCO=

(1)求为对应的函数表达式;

(2)求A40B的面积；

(3)直接写出当x<0时，不等式ax+b>5的解集.

18.A/IBC在边长为1的正方形网格中如图所示:

(1)以点C为位似中心，作出AABC的位似图形A&BiC,使其相似比为1：2.且C位于点C的异

侧，并表示出乙的坐标;

(2)作出△4BC绕点C顺时针旋转90。后的图形AA2B2C,并表示出&的坐标;

(3)在(2)的条件下求出点B经过的路径长(结果保留兀).

19.如图，海中有一个小岛B,它的周围14海里内有暗礁，在小岛正西方有一点4测得在北偏东60。,

方向上有一灯塔C,灯塔C在小岛B北偏东15。方向上20海里处，渔船跟踪鱼群沿AC方向航行，

每小时航行10位海里.

(1)如果渔船不改变航向继续航行，有没有触礁危险？请说明理由.

(2)求渔船从A点处航行到灯塔C,需要多少小时？(结果保留根号)

20.在平面直角坐标系xOy中，A、B为平面内不重合的两个点，若Q到4B两点的距离相等，则称

点Q是线段的“似中点”.

5

4

3

2

5-4-3-2-1O1234sx

(1)已知4(1,0),8(3,2),在点(；(1,3)、。(2,1)、以4,一2)、尸(3,0)中，线段48的“似中点”是点；

(2)直线y=+b与不轴交于点M,与y轴交于点N.

①若点H是线段MN的“似中点”，且在坐标轴上，求〃点的坐标；

②若OP的半径为2,圆心P为S0),若OP上存在线段MN的“似中点”，请直接写出t的取值范围.

21.如图，4B为。。的直径，弦BC,DE相交于点F,且DE1于点G,

过点C作。。的切线交DE的延长线于点H.

B

(1)求证：HC=HF；

(2)若。。的半径为5,点尸是BC的中点，tanN”CF=m,写出求线段BC长的

思路.

22.如图，40平分NB4C,且NB+NC=180°

(1)在图1中，当NB=90。时，求证：BD=CD；

(2)在图2中，当NB=60。时，求证：AB-AC=BD；

A匚

1

图1图2

23.如图，AABC是等边三角形，4E〃BC,点D在线段AC的延长线上,连接DE、DB,S.DB=DE；

(1)求证：^BDE=60°；

(2)点F在线段AB上，连接DF,且BD=DF,求证：AF=CD；

(3)在(2)的条件下，作EMd.BC,垂足为点M,连接DM,若4尸：BF=3：2,CM=1,求线段DM的

长度.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：••・y=ax2+bx+c的顶点坐标公式为士联)，

y=2x2-x+3的顶点坐标为弓,口),

4o

而Q=2>0,且△VO,所以抛物线过第一，二象限。

故选3。

2.答案：A

解析：解：将抛物线y=——3向上平移5个单位长度，则所得到抛物线为：y=/+2.

则平移后的抛物线的顶点坐标为：(0,2).

故选：A.

直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，即可得出顶点坐标.

本题考查了二次函数图形与几何变换，是基础题，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的

关键.

3.答案：C

解析：解：y——x2+8x4-m=—(%—4)2+16+m,

・,・当％=3时，y=154-m,当％=4时，y=16+m,

v16+m-(15+m)=1,y0+2-y0=2,

・•・>冷，故①符合题意；

•・・当一3V%V4时，y随％增大而增大，4Vx时，y随式增大而减小，且4一(-3)>9-4,

・•・当一3V%V9时，ymin=一(-3)2+8x(-3)+m=-33+m,

2

当11<%<17时，ymax——II+8x11+m=-33+m,

•・,当-3<%V9时，一/+8%+m>0；当11<xV17时，—x2+8%+m<0,

(—33+>0

***t-33+m<0，

••・加无解，故②不符合题意；

T当％=k时,y——k2+8k+m,x=k+1时,y=—(fc+I)2+8(fc+1)+m=—k2+6k+7+m,

•••y的整数值的个数为：+6k+7+小一(-fc2+8/c+m)+l=8-2fc,

・••当AWxWk+1时，y的整数值的个数与m无关，故③符合题意.

故选：C.

①求％=3时的y值和x=4时的y值，判断与和冷的大小；②结合函数的对称性与增减性列出不等式,

求m；③求x=々和芯=k+1时的y值，再求y的整数值个数.

本题考查了二次函数的性质，准确求出对应的y值，进而结合对称性判断y值之间的大小关系是解题

的关键.

4.答案：D

解析：解：由题意可知：AC=2BC,LB=90°,

：.AC2=AB2+BC2,

(2BC)2=32+BC2,

■•BC=y/3-

故选：D.

根据题意可知，AC=2BC,Z.B=90°,所以根据勾股定理可知4c2=AB2+BC2,即(2BC)2=32+

BC2,从而可求得BC的长.

此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用.

5.答案：C

解析:解：••・以原点。为似中心,将^A8C扩大到原来的2倍，得到对应的△A'B'C,点4的坐标是(一1,2),

•••点4的坐标为(一1x(-2),2X(-2)),即(2,—4),

故选：C.

根据位似变换的性质计算，得到答案.

本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比

为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

6.答案：。

解析：解：•••反比例函数y=：的图象经过点(3,-2),

・•.xy=k=­6,

4、(-3,-2),此时xy=-3x(-2)=6,不合题意；

B、(3,2),此时=3x2=6,不合题意；

C、(-2,-3),此时%y=-2x(-3)=6,不合题意;

D、(—2,3),此时xy=-2x3=-6,符合题意；

故选：D.

直接利用反比例函数图象上点的坐标特点进而得出答案.

此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出k的值是解题关键.

7.答案：D

解析：

根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对每一项进行

分析即可.

解：4、3x9H6x7,故本选项错误；

B、1.1x1,4*1,2X1.3,故本选项错误；

C、20x80040x60,故选项错误；

D、0.3X1.8=0.6X0.9,故选项正确.

故选D.

8.答案：C

解析：解：•••四边形力BCD是矩形，

/.BAD=90°,AC=2AO,BD=2OB,AC=BD,

•••AO—BO,

v/.AOB=180°-120°=60°,

是等边三角形，

•••Z.ABD=60°,

•••sin60°=—,

BD

••.AD=8cznx与=4Wcm,

故选：C.

根据矩形性质得出/BAD=90。,4。=BO,得出等边三角形40B,求出N4BD=60°,在Rt△BAD中，

解直角三角形即可求出4D,

本题考查了矩形性质，等边三角形的性质和判定，解直角三角形的应用，注意：矩形的对角线相等

且互相平分.

9.答案：B

解析：解：（1）一/=2,

4a+b=0,

所以此选项不正确；

(2)由图象可知：当％=—3时，y<0,

即9。—3b+c<0,

9Q+cV3b,

所以此选项不正确；

(3)・・・抛物线开口向下，

QV0,

•・,4Q+b=0,

・•・b=-4a,

2

把(-1,0)代入y=ax+bx+c得：Q-b+c=0,

a+4Q+c=0,

c=—5a,

Set+7b+2c=5a—7x(-4a)4-2x(—5a)=—33Q>0,

・•・所以此选项正确；

(4)由对称性得：点eg,y3)与(0.5,、3)对称，

•・,当％<2时，y随汇的增大而增大，

且-3<—|<0.5,

7

•1•5yl<丫2<为；

所以此选项正确；

(5)a<0,c>0,

・.•方程a(x+l)(x-5)=c的两根为与和全，

故>一1或犯<5,

所以此选项不正确；

••・正确的有2个，

故选：B.

(1)根据抛物线的对称轴为直线x=-/=2,则有4a+b=0；

(2)观察函数图象得到当％=—3时,函数值小于0,则9a—3b+cV0,即9Q4-c<3b；

(3)由⑴得b=-4a,由图象过点(一1,0)得：c=-5a,代入5a+7b+2c中，根据a的大小可判断结

果是正数还是负数，

(4)根据当x<2时，y随x的增大而增大，进行判断；

(5)由方程a(x+1)(*-5)=c的两根为Xi和外，由图象可知：x>-1或x<5可得结论.

本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数、=。/+版+(:(£1力0),二次项系数a决定抛物

线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；常数项c决定抛

物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线是轴对称图形，明确抛物线的增减性与对称轴有关，

并利用数形结合的思想综合解决问题.

10.答案:C

解析：解：••・四边形4BCD是正方形，

:.AB=BC—CD,

vAG=GE,

.・.BG—BE,

・・・乙BEG=45°,

:.Z-BEA>45°,

vZ-AEF=90°,

・・・乙HEC<45°,

则HCVEC,

:,CD-CH>BC-CE,即故①错误；

•・•BG=BE,LB=90°,

・・・乙BGE=乙BEG=45°,

・・・Z.AGE=135°,

・•.Z.GAE+Z.AEG=45°,

vAE1EF,

・•.Z.AEF=90°,

v乙BEG=45°,

・・・Z,AEG+乙FEC=45°,

・•・Z-GAE=乙FEC,

在aG/E和△£***中，

AG=CE

•・•Z.GAE=Z.CEF

AE=EF

；.△G4E三△CEF(SAS),.•.②正确;

•••^AGE=乙ECF=135°,

•••Z.FCD=135°-90°=45°,③正确；

•••乙BGE=乙BEG=45°,4AEG+乙FEC=45°,

乙FEC<45°,

和AEC〃不相似，.•.④错误：

故选：C.

由4BEG=45。知4BE4>45°,结合乙4EF=90°得4HEC<45°,据此知HC<EC,即可判断①；求

出NG2E+44EG=45。，推出4G4E=4FEC,根据$4S推出△GAE三△CEF,即可判断②；求出

^AGE=AECF=135。，即可判断③；求出/FEC<45°,根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH

不相似，即可判断④.

本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾

股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大.

11.答案:7或15

解析：解：•••抛物线y=/-6x+c-2的顶点至反轴的距离是4,

4xix（c-2）-（-6）z=4,

14x11

解得q=7,c2=15,

故答案为：7或15.

根据抛物线丫=/-6%+。-2的顶点到刀轴的距离是4,可知顶点的纵坐标的绝对值是4,然后计算

即可.

本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次

函数的性质解答.

12.答案：3.142

解析：

本题考查了近似数和有效数字有关知识，把万分位上的数字5进行四舍五入即可.

解：3.1415926«3.142（精确到0.001）.

故答案为3.142.

13.答案：；

4

解析：解：作EF1AC于F,设AC、BD交于点0,如图所示:

•••四边形4BCD是菱形，

11

：•OA=OC=-AC=4,OB=OD=-BD=3,AC1BD,

22

・・・EF//BD,

・・•点E是48边上的中点，

,-.0F=AF=^0A=2,EF是△408的中位线,

13

••.EF'OB"，

•・・CF=OC+OF=4+2=6,

3

:，tanZ-ACE=-=—=-»

CF64

故答案为：

4

作EF14c于F,设4C、BD交于点。，由菱形的性质得出。4=OC=^AC=4,OB=0D=^BD=3,

AC1BD,贝IJE尸〃BD,证出EF是AAOB的中位线，得出E尸=10B=|,则CF=OC+OF=6,由

三角函数定义即可得出答案.

本题考查了菱形的性质、平行线的性质、三角形中位线定理以及三角函数定义等知识；熟练掌握菱

形的性质和三角形中位线定理是解题的关键.

14.答案：4—V7

解析：解：过点A作AH_LBF于点”，如图1所示:

・・,四边形48CD是矩形，

:・AB"DC,

・・・乙HBA=(BFC,

•・•(AHB=Z-BCF=90°,

•••△48Hs△BFC,

・B•H・一=CF一,

AHBC

・・•AH<AN=3,AB=4,

・•・可以看到点N是在以4为圆心3为半径的圆上运动，所以当射线BN与圆相切时，。尸最大，此时8、N、

M三点共线，如图3所示：

由折叠性质得：AD=AH,

-AD=BC,

・•・AH=BC,

在△48”和△8FC中,

(Z.HBA=乙BFC

=乙BCF,

(AH=BC

三△8FC(44S),

.・・CF=BH,

由勾股定理得：BH=7AB2-4H2=上

:・CF=V7,

・•・DF的最大值=DC-CF=4-6

故答案为：4—A/7.

过点4作4H_LBF于点H,证明△ABHyB”,可得警=名可以看到点N是在以4为圆心3为半径

AHBC

的圆上运动，所以当射线BN与圆相切时，DF最大，此时8、N、M三点共线，由折叠性质得：4D=4H,

由44S证明△力BH三ABFC,得出CF=BH,由勾股定理求出BH,得出CF,即可得出结果.

本题考查了翻折变换，矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定

理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，证明三角形相似和三角形全等

是解决问题的关键.

15.答案：解：V16+(7T-V3)°-(I)-1+|-2|-2cos60°

1

=4+1—3+2—2x-

2

=4—1

=3.

解析：先按照算术平方根、零次基、负整数指数基、绝对值、特殊角的余弦函数值运算的法则进行

化简，再合并同类项即可.

本题考查了算术平方根、零次塞、负整数指数塞、绝对值、特殊角的余弦函数值等实数运算，熟练

掌握相关运算法则是解题的关键.

16.答案：—12y=—x+3y=-3x+9

解析：解：⑴将点4(一1,0),8(3,0)代入'=败2+故+3得｛：M?；［)°,

解得a=-1,b=2,

故答案为-1,2；

(2)由y=ax2+b%+3可知C的坐标为(0,3),

把y=3代入y=—x2+2%+3得，3=—x2+2x+3,

解得=0,不=2,

・・・。(2,3),

设直线BC：y=kx+3,

代入点B的坐标得3k+3=0,

Ak=—1,

・,・直线BC：y=-x4-3,

设直线BD：y=mx4-n,

代入点B、D的坐标得｛器曹"，

解得｛建「

二直线BD：y=-3x+9,

故答案为y=-x+3,y=-3x+9；

(3)直线BC：y=-x+3,直线BD：y=-3x+9,

当OStW2时，如图2所示,

设直线B'C'：y=-(x-t)+3,

联立直线BD求得F(”,

S=ix2x3-i-t-t-|(2-t)(3-1)=-Jt2+3t.

当2<tW3时，如图3所示,

H(t,—3t+9),/(t,—t+3),

S=—(—3t+9+t—3)x(3—t)=亡2—6t+9,

#+3t(0<t<2)

综上所述S=

.t2-6t+9(2<t<3)

(1)将点4、B代入解析式即可求出a、b的值.

(2)根据已知条件求出点D的坐标，并且由线段OC、0B相等、CD〃x轴及等腰三角形性质证明△

CDB=^CGB,利用全等三角形求出点G的坐标，求出直线BP的解析式，联立二次函数解析式，求出

点P的坐标.

(3)分两种情况，第一种情况重叠面积为四边形，利用大三角形减去两个小三角形求得解析式，第二

种情况重叠部分为三角形，可利用三角形的面积公式求得.

此题考查了待定系数法求函数解析式，抛物线与x轴的交点，动态问题和二次函数的结合，注意(3)有

两种情况.

17.答案：解：(1)设直线%=ax+b与y轴交于点。,

2

在Rt/kOCD中，0C=3,tanz/lCO=

・•・0D=2,

即点D(0,2),

把点。(0,2),C(3,0)代入直线以=ax+b得，

2

b=2,3a+h=0,解得，a=

•••直线的关系式为y1=一|久+2；

把4(犯4),B(6,n)代入％=-|x+2得,

zzi——3,Tt—2,

・・・4(-3,4),8(6,-2),

:.k=-3x4=-12,

二反比例函数的关系式为九=一孩，

217

=—

因此yi=--X+2,y2

(2)由S—OB=S&AOC+S&BOC，

=^x3x4+-x3x2,

22

=9.

(3)由图象可知，当％<0时，不等式ax+b>(的解集为久<一3.

解析：本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入是常用的方法，线段与坐标

的相互转化是解决问题的关键.

(1)根据0C=3,tan乙4C0=|,可求直线与y轴的交点坐标，进而求出点4、B的坐标，确定两个函

数的关系式；

(2)由SAAOB=S&AOC+S&BOC，进行计算即可；

(3)由函数的图象直接可以得出，当x<0时，不等式ax+b>g的解集.

18.答案：解：⑴△4隹修为所作，点4的坐标为(0,0)；

②如图，2c为所作；

点出的坐标为(1,3)；

⑶BC="+42=V17

点B经过的路径长=3*=旦兀.

1802

解析：(1)延长47到&使41c=：4C,延长8C到&使B[C=：BC,则△人津他满足条件;

(2)利用网格特点和旋转的性质画出尔B的对应点/、B2,从而得到AAZB2c.

(3)先计算出CB的长，然后根据弧长公式计算点B经过的路径长.

本题考查了作图-位似变换：画位似图形的一般步骤为：确定位似中心：分别连接并延长位似中心

和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，

得到放大或缩小的图形.也考查了旋转变换.

19.答案：解：（1）渔船不改变航向继续航行，没有触礁危险.

作_LAC于"，

由题意得，/.CAB=30°,/.ABC=105。，

则乙=60°,Z.HBC=45°,

•••BH=BCxcos4HBe=10&,

v10V2>14,

二渔船不改变航向继续航行，没有触礁危险;

(2)HC=BH=10V2，

AH=一一=10>/6,

tanz.CAB

•••AC=AH+HC=10V2+10A/6.

则渔船从4点处航行到灯塔C,需要的时间为：（10e+10遍）+10V2=1+V3.

答：渔船从4点处航行到灯塔C,需要（1+遮）小时.

解析：（1）作BH1AC于H,根据余弦的概念求出BH,比较即可判断；

（2）根据正切的概念求出4”,求出4c的长，根据渔船的速度计算即可.

本题考查的是解直角三角形的应用一方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解

题的关键.

20.答案：解：⑴。、尸；

(2)①直线y=+V5，当y=0时，x=-1；当％=0时，y=V3,

•••M(-l,0),/V(0,V3).

•••OM=1,ON=V3.

22

:.MN=Jl+(V3)=2>ZM/VO=30°,

所求的点”为MN的垂直平分线l与坐标轴的交点,

当“似中点”匕在久轴上时，HtM=2,则为为（1,0）

当“似中点”，2在y轴上时，NH2=

贝IO%=ON—NH2=y.%为（0片），

•••久为(1,0)，“2为(0,日)：

②如图所示：

G、K分别为OP】、OP?与MN的垂直平分线相切的切点，连接RG、P2K,则P[G11、P2K11,则

P\G"MN、P2K//MN,

•••MQ=\MN=1,M%=2,OP的半径为2,

APH=4,P2Hl=4,

・•・OP】=3,0P2=5,

・，・-3<t<5.

解析：

本题是圆的综合题目，考查了直线与圆的位置关系、新定义“似中点”的判定与性质、勾股定理、

线段垂直平分线的性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握新定义和切线的性质是解

决问题的关键.

(1)由点的坐标和勾股定理求出各个点与百和B的距离，进行判断即可；

(2)①求出直线y=V3x+VT与坐标轴的交点坐标M(—1,0),N(0,V3).得出OM=1,ON=遍,由

勾股定理求出MN=2,AMNO=30°,由题意得出所求的点”为MN的垂直平分线与坐标轴的交点,

分两种情况求解即可；

②G、K分别为。Pi、0P2与"N的垂直平分线相切的切点，连接PiG、PzK，由切线的性质得出PiGJ./、

P2K11,则P"〃MN、P2K//MN,可得MQ=^MN=1,=2,0P的半径为2,由平行线分

线段成比例定理得出Pi%=4,P2Hl=4,得出。Pi=3,0P2=5,即可得出结果.

解：(1)v71(1,0),B(3,2),C(l,3),

.•"4=3,CB=5(1-3)2+(3-=V5,

・•・CA=#CB,

・••点C不是线段4B的“似中点”；

•••0(2,1)，

DA=7(2-I)2+I2=V2，DB=7(3-2)2+(2-I)2=&，

:.DA=DB,

•••点。是线段4B的“似中点”；

•••£(4,-2),

EA='(4-1J+22=V13,EB=，(4一3丁+(2+2尸=V17,

・••EA工EB,

・・•点E不是线段的“似中点”；

"(3,0),

・・・F/=3—1=2,FB=2,

・,・凡4=FB,

・••点F是线段48的“似中点”；

故答案为：D、F;

(2)①②见答案.

21.答案：(1)证明：连接0C,如图1.

•・・。〃是0。的切线,

・・・42+41=90°,

vDE1AB,

:.z3+Z.4=90°,

vOB=OC,

・•・z.1=Z.4,

・•・z2=43,

又•・•z5=Z.3,

・•・z2=z5,

•••HC=HF.

(2)求解思路如下:

思路一：连接0口如图2.

图2

①OF过圆心且点F是BC的中点，由垂径定理可得BC=2",4。〜=90。；

②由46与41互余，42与41互余可得46=42,从而可知tan46=m；

③在Rt/kOFC中，由tanN6=^=ni,可设OF=x,CF=mx,由勾股定

理，得/+(mx)2=52,可解得x的值；

④由BC=2CF=2mx,可求BC的长.

思路二：连接4C,如图3.

①由AB是。。的直径，可得△ACS是直角三角形，知46与44互余，

又。E_L48可知43与44互余，得46=43；

②由46=z_3,z3=z2,可得N6=42,从而可知tanz_6=m；

③在RtAACB中，[l]tan46=^=m,可设4C=x,BC—mx,

AC

由勾股定理，得/+(m乃2=1()2,可解得工的值；

④由BC=mx,可求BC的长.

解析：(1)连接0C,办法证明42=45即可；

(2)思路一：①。尸过圆心且点F是BC的中点，由垂径定理可得8c=2CF,/.OFC=90°；②由46与N1

互余，42与41互余可得46=42,从而可知tan46=zn；③在RtzsOFC中，由tan/6=*=m,可

设。尸=x,CF=mx,由勾股定理，得/+(6%)2=52,可解得工的值；④由8C=2CF=2?nx,

可求8C的长.

思路二：①由48是。。的直径，可得AACB是直角三角形，知乙6与N4互余，又DEJ_AB可知43与乙4

互余，得46=z3；②由46=z3,z3=Z2,可得46=42,从而可知tanz>6=m；③在Rt△4cB中，

由tan/6=i=zn,可设4C=x,BC=mx,由勾股定理，得久2+⑺无产=］。2,可解得x的值；④

由BC=mx,可求BC的长.

本题考查切线的性质、垂径定理、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常

用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

22.答案：(1)证明：•••B+NC=180。，NB=90。，

•••zC=90°,

•••4D平分NBAC,

••・BD=CD；

(2)证明：过。作DEJ.4B于E,。尸，力。于凡如图2所示：\\

则NOEB=乙DFC=90°,A

图2

v4B+Z.ACD=180°,Z.DCF+Z.ACD=180°,

・•・Z-B=乙DCF,

•••/D平分4BAC,

・・・DE=0尸，

2B=Z.DCF

在ABDE和△CDF中，1/.DEB=Z.DFC,

DE=DF

.*.△BDE^^CDF(AAS^

:.BD=CD,BE=CF,

^.Rtt^ADE^\Rti^ADF'V,怨=怨,

WE=DF

・・・Rt△ADE=Rt△力DF(HL),

:.AE=AFt

・・・AB-AC=AE+BE-(4尸-CF)=2BE,

在中，48=60。，

・・・Z.BDE=30°,

；.BE=^BD,即2BE=BO,

・•・AB=AC=BD.