工程力学：第十章强度理论与组合变形

110.1应力状态10.2强度理论10.3组合变形第十章强度理论与组合变形返回主目录2拉压扭转弯曲FNymaxs=sCymaxtToMymaxs压maxs拉Csmaxtmaxsmax截面应力危险点应力状态强度判据][maxtt£][][maxmax压压拉拉ssss££][][maxmax压压拉拉ssss££概述10.1

应力状态返回主目录3组合变形：问题：危险点应力状态？强度判据？承受组合变形的构件eFBA(a)钻床立柱弯扭组合压弯组合MACFT2(b)带传动轴BDFT1返回主目录4思路：研究力的平衡。设单元体厚度为1，有osxtxysytyxsntnaanxba最一般状态：有s

、s

、t=t

。xyxyyx问题:任意斜横截面上的应力s

、t

?nnsx一般情况xysxsysytyxtxy10.1.1

平面应力状态返回主目录SFx=snabcosa+tnabsina-sxabcosa+tyxabsina=0SFy=snabsina-tnabcosa-syabsina+txyabcosa=05注意到txy=tyx，解得：s

=s

cos2a+s

sin2a-2t

sinacosat

=(s

-s

)sinacosa+t

(cos2a-sin2a)xyxyxyxynn利用cos2a=(1+cos2a)/2，sin2a=(1-cos2a)/2，sin2a=2sinacosa，得到平面应力状态下的一般公式：

s

、t

是a角的函数，a角是x轴与斜截面正法向n的夹角，从x轴到n轴逆时针转动时，a为正。nnosxtxysytyxsntnaanxbaatasssss2sin2cos22xyyxyxn--++=---(10-1)---(10-2)atasst2cos2sin2xyyxn+-=返回主目录6

s

是a的函数，极值？n令ds/da=0，有：n

在a=a

的斜截面上，s

取得极值；且t=0。n0nosxtxysytyxsntnaanxbaatasssss2sin2cos22xyyxyxn--++=atasst2cos2sin2xyyxn+-=任一截面应力02cos2sin2=+-atassxyyx---（10-3）---（10-4）yxxy

tgss2ta--=2010.1.2

极值应力与主应力返回主目录710.1.2极值应力与主应力（10-1）式记tg2a

=x,有sin2a=

x/(1+x)cos2a=

1/(1+x)221/21/20代入(10-1)式：atasssss2sin2cos22xyyxyxn--++=sn取极值的条件：yxxy

tgss2ta--=201ax)1(2x+=x}4)(22/)({2222xyyxxyyxyxntsstsssss+-+-±+=(10-5)式极值应力22minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=þýü8主平面:切应力为零的平面。

a=a

时，t=0，故对应的平面是主平面。主应力:

主平面上的正应力。故极值应力是主应力。0n10.1.2极值应力与主应力注意到：tg2a0=tg(p+2a0)正应力取得极值的角a

有两个，二者相差90

。即s

和s

分别作用在两相互垂直的截面上。0maxmin(10-5)式极值应力22minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=þýü极值应力截面方位：yxxy

tgss2ta--=20(10-4)式9切应力的极值？代入(10-2)式：

令dtn/da=0，有(sx-sy)cos2a-2txysin2a=0

同样有sin2a=

x/(1+x)；cos2a=

1/(1+x)221/21/2---(10-2)atasst2cos2sin2xyyxn+-=t取得极值的条件：（10-6）xyyx

tgtssa221-==x极值切应力(10-7)式22minmax]2/)[(xyyxtsstt+-±=þýü1021201aa

tg

tg-=极值切应力作用平面？切应力取得极值的平面与主平面间的夹角为45

。

(10-6)切应力取得极值的角a

有两个，二者相差90

。即t

和t

分别作用在两相互垂直的截面上。1maxmina

和a

的关系？01即有：a1=a0

p/4

xyyx

tgtssa221-=主平面方位(10-4)yxxy

tgss2ta--=20)22(0pam

tg=)22(0ap

tg±-=20actg-=11求任一截面应力—(10-1)、(10-2)式求主应力大小和方位—(10-5)、(10-4)式主应力作用面上t=0，是主平面；主平面相互垂直。一点的应力状态可由三个主应力描述，对于平面应力状态，第三个主应力s

=0。zsxxysxsysytyxtxysntnanyxxy

tgss2ta--=20atasssss2sin2cos22xyyxyxn--++=atasst2cos2sin2xyyxn+-=22minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=þýü平面应力状态12求极值切应力--(10-7)式，作用面与主平面相差45

。22minmax]2/)[(xyyxtsstt+-±=þýü返回主目录13例1已知某点的应力状态为:

s

=30MPa，

s

=10MPa，t

=20MPa。求1)主应力及主平面方向；2)最大、最小切应力。xxyy解：1）主应力与主方向主应力：由（10-5）式有：主方向角：由（10-4）式有：xytyxtxysxsysxsya0a=58.28

n主平面方位:a01=58.28

，a02=148.28

îíì-=+-±+=þýüMPaMPa36.236.4220)21030(2103022minmaxss

2a=-63.43

，a

=-31.72

002103020220-=-

-=a

tg14xytyxtxysxsysxsya0a=58.28

na=58.28

时，由(10-1)式有:a=148.28

时有:sn=smax=42.36MPa

在平行xy的前后面上，无应力作用，s、t均为零。故此面上还有第三个主应力sz=0。各主平面上的应力？(t=0)三个主应力按大小排列。

-++=116.56-20sin116.56cos2103021030ns=-2.36MPa=smin3s1s用主应力表示应力状态，简洁、清晰。s1s2=0xyzs1s3s32sxys1s3s3s1a0=58.28

平面应力状态153)最大、最小切应力由（10-7）式有：作用平面方向角：a

=a+p/4=13.28

0a

=-31.72

01a=13.28

时，由（10-2）式有:注意还有22minmax]2/)[(xyyxtsstt+-±=þýüMPa36.2220]2)1030([22±=+-±=MPaxyyx36.2256.26cos56.26sin2=+-=ootsstMPa2056.26sin20

56.26cos2103021030=°-°-++=s

tmaxxys

s

s

s

-tmaxtmaxa1=13.28

-tmaxa=103.28

时:t=-22.36MPas

=20MPa16求任一截面应力---（10-1）、（10-2）式分析结果汇总与讨论(已知s

、s

、t

)xyxy求主应力及其方位---（10-5）、（10-4）式主应力作用面上t=0，是主平面；主平面相互垂直。求极值切应力---(10-7)式，作用面与主平面相差45。。极值切应力作用面相互垂直，切应力互等（大小相等、符号相反，使单元体顺时针转者为正）。注意：极值切应力作用面上一般s

0。一点的应力状态可由三个主应力描述，对于平面应力状态，第三个主应力s

=0。z17讨论一、应力状态的第一不变量由(10-5)式显然有：s+s=s+s

maxminxy即过某点任意两相互垂直平面上正应力之和不变。在三向应力状态下，同样可以得到：J---称为表示一点应力状态的第一不变量，即过某点任意三个相互垂直平面上的正应力之和是不变的。122minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=þýü.3211constJzyx=++=++=ssssss18讨论二、主应力与极值切应力由(10-5)式s

、s

平面内，t

之值等于二主应力之差的1/2。13maxs

、s

平面内，t

之值等于(s-s

)/2。12max12s

、s

平面内，t

之值等于(s-s

)/2。23max23还有：二主应力之差的一半即该平面内的最大切应力22minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=þýü假定smin<0平面应力状态sz=0有：2231]2/)[(2xyyxtssss+-=-(10-7)式为22minmax]2/)[(xyyxtsstt+-±=þýü显然可知有：231minmaxsstt-±=þýü平面应力状态sz=0若smin<0:t

max=(s1-s3)/2若smin

0:t

max=(s1-0)/2=s1/219讨论三、极值切应力作用面上s是否为零？若极限剪应力作用面上s均为零，纯剪由(10-7)式知，此时应有：若s

x

0或sy

0，则xy平面上的txy不是极值切应力。若s

x

0且s

y

0，则极值切应力面上必有。s=s

xyxytxys=s=0xytyxtxytxy22minmax]2/)[(xyyxtsstt+-±=þýü±=xytxytxys=0xtyxsytyxtxysy除纯剪情况外，极值切应力平面上正应力不为零，且必有sx=sy。20思考题1：图中表示的纯切应力状态是否正确？如果正确，单元体应力状态用主应力如何表示？ttt(a)(b)(c)切应力互等？t是极限切应力，主平面？与极限剪应力面成45。二主应力之和？s+s=s+s

=0。s=-s

13xy13s

在哪个面上？多大？1s1s1(s-s)/2=t

s

=t

13121求任一截面应力—(10-1)、(10-2)式求主应力大小和方位—(10-5)、(10-4)式主应力作用面上t=0，是主平面；主平面相互垂直。一点的应力状态可由三个主应力描述，对于平面应力状态，第三个主应力s

=0。zsxxysxsysytyxtxysntnanyxxy

tgss2ta--=20atasssss2sin2cos22xyyxyxn--++=atasst2cos2sin2xyyxn+-=22minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=þýü平面应力状态小结22求极值切应力--(10-7)式，作用面与主平面相差45

。极值切应力与主应力关系：t=(s-s)/213max22minmax]2/)[(xyyxtsstt+-±=þýü第一不变量：.3211constJzyx=++=++=ssssss除纯剪情况外，极值切应力平面上正应力不为零，且必有sx=sy。过某点任意三个相互垂直平面上的正应力之和不变。返回主目录23习题:10.1(b)、(c)、(e);10.2(a)、(b)。

返回主目录作业:P26524sxxysxsysytyxtxy前节回顾:平面应力状态s1s2=0xyzs1s3s3主应力

;主平面sxsz=0xyzsxsysytxyxys1s3s3s1tmaxxys

s

s

s

-tmaxtmax-tmaxtmax=(s1-s3)/2s

+s

=s1+s3

s1s2xyzs3s1s3s2相差45

的平面三维三维一般情况返回主目录25线弹性应力-应变关系：s=Ee

对于用主应力表示的微元，沿主方向的应变（主应变）e1

是沿x1方向的伸长。有：s1x1x2x3s3s2s2s3s1EEE///3211msmsse--=s

引起的伸长1s

引起的缩短2s

引起的缩短3广义胡克定理---(10-10)ïþïýü+-=+-=+-=)]([)]([)]([213131321232111ssmsessmsessmseEEE10.1.3

广义胡克定理与应变能返回主目录2610.1.3广义胡克定理与应变能s1x1x2x3s3s2s2s3s1广义胡克定理：ïþïýü+-=+-=+-=)]([)]([)]([213131321232111ssmsessmsessmseEEEe1=[s1+ms1-m(s1+s2+s3)]/E=[(1+m)s1-m(s1+s2+s3)]/E

s1>s2>s3

e1>e2>e3

最大主应变那个应变大？故有：e1=[(1+m)s1-m(s1+s2+s3)]/Ee2=[(1+m)s2-m(s1+s2+s3)]/Ee3=[(1+m)s3-m(s1+s2+s3)]/E27应变能（讨论线弹性情况）在三向应力状态下，弹性变形能仍等于外力的功，且只取决于外力和变形的最终值，与中间过程无关。应变能密度v：单位体积的应变能在单向拉伸情况下，力从0F，变形由0DL，变形能(外力所做的功)：V=FDL/2。

若变形过程1V；变形过程2V<V

；反证121按过程1加载，再按过程2卸载，多余的能量？se212=D==ALLFALVvF-DL曲线DLFFDL/228可假定三个主应力按比例同时从零增加到最终值，则应变能密度v可写为：利用广义胡克定理，有：332211212121eseses++=v)]([21)]([2121312121321111ssssmsssmsses+-=+-=EE类似有：)]([212132122222ssssmses+-=E)]([212123132333ssssmses+-=E得到应变能密度：)](2[21133221232221ssssssmsss++-++=Ev--(10-11)29体积改变能密度和畸变能密度

ve=

v+v

Vd应变能密度体积改变能密度畸变能密度三向等拉的情况(s=s=s=s)：只有体积改变123m一般情况：smsmsmtxytxztyzs—体积改变t

—形状改变mijvd=?令s=(s+s+s)/3，有：123m由(10-11)式有：2222)21(3)63(21mmmVEEvvesmmss-=-==s1s3s2s1s2s3(10-12)30畸变能密度：vd=ve-vV一般情况：smsmsmtxytxztyzs—体积改变t

—形状改变mijvd=?令s=(s+s+s)/3，有：123ms1s3s2s1s2s3三向等拉(10-11)式给出)](2[21133221232221ssssssmsss++-++=Eve2321)(6)21(sssm++-=E=23219)(2)21(3sssm++·-E=2)21(3m-EvVsm?231最后得到用主应力表示的畸变能密度为：])()()[(61213232221ssssssm-+-+-+=-=EvvevVd(10-13)[21232221sss)](2133221ssssssm++-++=-=EvvevVd)](2[6)21(133221232221sssssssssm+++++--E)](3)21([)](6)21(21[133221232221ssssssmmsssm++-+-++--=EEEE)(3)1()(6)1(2133221232221ssssssmsssm+++-+++=EE)222222[6)1(133221232221sssssssssm---+++=E32(a)：思考题：写出图示二应力状态沿x方向的正应变

e

、最大正应变e

及应变能v

和v

。1xVdEEEyxx/)1(//smmsse-=-=EEE/)1(//211smmsse-=-=体积改变能密度：223213)21(2)(6)21(smsssm-=++-=EvV畸变能密度：mm++221323222131])()()[(61sssssssEEvd=-+-+-=(a)Assxy(b)xtssyBs1=s2=s33设0<t<s；则s1=s+t；s2=s-t；s3=0有：(b)xtssyB(b)：tstssssss±=+-±+=þýü22minmax]2/)[(2xyyxyxs1s212EEEyxx/)1(//smmsse-=-=EEEE/)1(/)1(//211tmsmmsse++-=-=体积改变能密度：223213)21(2)(6)21(smsssm-=++-=EvV畸变能密度：)2(31])()()[(6122213232221tsmssssssm++=-+-+-+=EEvd返回主目录34sxxysxsysytyxtxy前节回顾:平面应力状态s1s2=0xyzs1s3s3主应力

;主平面sxsz=0xyzsxsysytxyxys1s3s3s1tmaxxys

s

s

s

-tmaxtmax-tmaxtmax=(s1-s3)/2s

+s

=s1+s3

s1s2xyzs3s1s3s2相差45

的平面三维三维一般情况返回主目录35问题：复杂应力状态下的强度？研究：危险点应力状态强度判据？MxFT1ACFT2BDyz危险点10.2强度理论sxxysxtyxtxys1s23610.2强度理论单向应力状态：单向拉压试验强度理论:

复杂应力状态下材料破坏或屈服规律的假说。破坏延性破坏s

脆性破坏s

bys复杂应力状态？破坏判据s

=s

ors强度条件：s

[s]

11bs要设计不同s:s

的实验。12ys1xs1s2s2返回主目录37一、最大拉应力理论（第一强度理论）破坏判据s

=s

1b

不论材料处于何种应力状态，脆性材料的破坏只取决于其最大拉应力s

。1假说实验验证：正确性条件：考虑安全储备，给出：强度条件：s

[s]=s/n

1b10.2.1

脆性材料的破坏强度理论返回主目录38二、最大拉应变理论（第二强度理论）

脆性材料破坏取决于其最大拉应变e

。1假说考虑安全储备，给出：破坏判据e

=e

1u单向拉伸破坏应变胡克定理破坏判据s

-m(s+s)=s

(应力形式)123b实验验证：

或时，更好一些。强度条件：s-m(s+s)[s]=s/n

1b23返回主目录39一、最大切应力理论（第三强度理论）屈服判据t

=t

maxs单向拉伸屈服时的t屈服判据s-s

=s

(Tresca条件,1864,法)1s3实验验证：很好地预测了塑性材料屈服。思考：材料滑移切应力的贡献延性材料屈服假说：延性材料屈服取决于其最大切应力t

。max；；设计：强度条件：s-s

[s]=s

/n

1s310.2.2

延性材料的屈服强度理论返回主目录40二、形状改变比能理论（第四强度理论）假说：延性材料屈服取决于其畸变能密度v

。

d滑移改变形状思考：Tresca条件与s

无关2？能量？屈服判据v

=v

ddcr单向拉伸屈服时的vd；屈服判据(s

-s)+(s-s)+(s-s)

=2s1ys322132222Mises条件,1913,德41实验验证：对延性金属屈服，预测比最大切应力理论的预测更好，但二者相差不大。10.2.2延性材料的屈服强度理论二、畸变能密度理论（第四强度理论）屈服判据(s

-s)+(s-s)+(s-s)

=2s1s322132222即Mises条件:ssssssss=-+-+-213232221)()()(21设计：强度条件ns/][)()()(21213232221ssssssss=£-+-+-42强度理论汇总：s

=s

1r1s

理论1s=s-m

(s+s)

1r232e

理论1s=s-s

1r33t

理论maxs={[(s

-s)+(s

-s)+(s

-s)]/2}1r4331222221/2v

理论d破坏屈服

常用

s>s,s<0311

常用相当应力s

[s]

r强度条件的一般形式：工作应力

许用应力脆性破坏[s]=s/nb

塑性屈服[s]=s

/ns43例2低碳工字钢梁截面尺寸H=200mm，h=180mm，

B=100mm，a=92mm，[s]=200MPa。若截面受

M=30kN·m，FS=100kN作用，试校核其强度。解：1)截面弯曲正应力：s=M

y/IzI=(BH–ah)/12=2.19510mz33-54y=0处：s=0y=h/2处：s

=30000

0.09/2.195

10=123(MPa)h/2-5y=H/2处：

s=s

=M

y/I

=30000

0.1/2.195

10=137(MPa)max-5H/2maxzzya/2Ha/2Bh44例2低碳工字钢截面尺寸H=200mm，h=180mm，

B=100mm，a=92mm，[s]=200MPa。若截面M=30kN·m，FS=100kN，试校核其强度。y=H/2处：Sz=0；tH/2=0解：2)截面切应力：t=FS

Sz/IzbI=2.19510m;S

见例9-13z-54zy=0处：Sz=12.7410-5m3；b=0.008

t0=tmax=FS

Sz/Iz(B-a)

=10010312.74/(2.1950.008)=72.5(MPa)y=h/2处：Sz=9.510-5m3；b=0.1；

th/2+=4.3(MPa)翼缘y=h/2处：Sz=9.510-5m3;b=0.008;

th/2-=54(MPa)腹板zya/2Ha/2Bh45解：3)强度校核截面各可能危险点应力状态：zyABCD低碳钢延性屈服第三强度理论xysmaxAxsBtyxCtmaxyxys1A用主应力表示s=s1maxs=s

=023xCys1s3s=-s=t1max3s=02xsBsy13s-s

[s]13D?s=02)4(212231tssss+±=þýü46解：3)强度校核第三强度理论:s=s-s

[s]

13r3B点：

=s-s

=(s+4t

)=164<[s]=2001r33221/2=123t=54A点：s=137MPas=s-s

=137<[s]=2001r33maxC点：t=72.5MPas=s-s

=145<[s]=2001r33maxxys1As=s1maxs=s

=023xCys1s3s=-s=t1max3s=02xsBsy13s=02)4(212231tssss+±=þýüzyABC讨论：

A处；与梁弯曲正应力强度条件一致；

C处：与梁弯曲切应力强度条件一致；

B处：正、切应力同时存在，也可能是危险点。47前节回顾：s1

理论:sr1=s1

e1

理论:sr2=s1–m(s2+s3)tmax理论:

sr3=s1-s3

vd

理论:sr4={[(s1-s3)2+(s1-s3)2+(s1-s3)2]/2}1/2强度条件:sr[s]sxxysxsysytyxtxy复杂应力状态用主应力表达的强度条件

主应力xys1s3s3s1讨论组合变形问题返回主目录48讨论一：某脆性材料应力状态如图，如何选用适当的强度理论？3060405060402010403040601221s=s-s

=1001r33t

理论maxr4={[(s1-s2)2+(s2-s3)2+(s3-s1)2]/2}1/2={[(s1-s2)2+s22+s12]/2}1/2vd

理论讨论二：s1=100MPa，

s3=0，若s2=20，50，

80MPa，问sr3与sr4相差多大？

s2

sr4

20

91.65

50

86.6

80

91.654910.3组合变形研究思路基本变形组合变形内力应力应变位移组合变形构件，危险点应力状态线弹性小变形叠加法强度计算、设计选择适当的强度理论10.3.1拉(压)弯组合变形xyzoABMyFNMz剪切、扭转暂不考虑。内力FN

沿x轴的拉或压；弯矩M

xy面内的弯曲；z弯矩M

xz面内的弯曲。y50xyzABMyFNMzCD截面正应力：s=s

+s

+s

=FN/A+Mzy/Iz+Myz/Iy

s是截面坐标(y,z)的函数，何处应力最大？FN作用下，各处应力相同；Mz作用下，AC受拉，BD受压；My作用下，AD受拉，BC受压；

A处：s

=FN/A+M

y/I+M

z/I

zzyymax拉maxmaxB处：s

=FN/A-My/I

-M

z/I

zzyymax压maxmax应力轴力FN

s

=FN/A弯矩Mz

s

=Mz

y/Iz′′弯矩My

s

=Myz/Iy10.3.1

拉(压)弯组合变形返回主目录截面上只有沿x方向的正应力，是单向应力状态。强度条件为：

s

[s];s

[s]max拉max压拉压51例3：正方形截面立柱，边长为2a，开槽截面为边长a

2a的矩形。求开与未开槽截面最大应力值之比。aF2aa/2FFNMA2)开槽部分横截面应力:截取研究对象，求截面内力。

解：1)未开槽部分横截面应力:

s=FN/A=F/4a2

(压应力)FN=F；M=Fa/2压弯组合变形且A处压应力最大。由叠加法有：222max26/22/2aFaa

FaaF=+=+=弯压开槽sss3)最大应力值之比为：84//222==aFaFl52例4：矩形截面梁宽b=40mm，高h=60mm，

L=0.5m。已知[s]=120MPa，试校核其强度。

2)作梁的内力图a=30

LABF=10kNLCFCFAyFAx解：1）求约束力。平衡方程：

SFx=FAx-FCcos30

=0

SMA=FC

2Lsin30

-FL=0

SMB=FL-FAy

2L=0

3)危险截面点在距A为L处，上端危险点压应力最大，且切应力为零。解得：FC=10kN；

FAx=8.66kN；FAy=5kN-FN-8.66kN-+FS5kN-5kN2.5kN·m+M53矩形截面梁宽b=40mm高h=60mm[s]=120MPa梁轴线上剪应力最大：且

tmax=3FS/2bh=35103/(24060)=3.12MPa该处：s弯=0；

s压=8660/2400=3.6MPa。应力小一个量级，强度足够。应力状态危险点压应力：MPaWMAFzN120][8.1076040105.266040

1066

.8263maxmax=<=

+=+=ss强度足够a=30

LABF=10kNLCFCFAyFAx2.5kN·m+M-FN-8.66kN-+FS5kN-5kN54例5立柱在A(y，z)处受力F作用，求柱中最大应力。解：截面法求内力：

最大压应力：最大拉应力：蓝点处绿点处最大应力在何处？

FN=F

轴向压缩；

My=Fz

在xz平面内弯曲；

Mz=Fy

在xy平面内弯曲。FxyzcAhbFN=FMy=FzMz=Fy22max66hbFzbhFybhFWMWMAFyyzzN++=++=压s22max66hbFzbhFybhFWMWMAFyyzzN++-=++-=拉s55这是yz平面内的直线方程：y=0时，z=h/6；z=0时，y=b/6；截面核心：偏心压缩载荷作用在截面核心内，则截面上无拉应力。FxyzcAhbyzh/6b/6若不允许受拉(混凝土立柱)，A的极限位置？截面最大拉应力应为零，即：06622max=++-=hbFzbhFybhF拉s得到：6F

yb+6F

zh-F

bh=0

by+hz=bh/656讨论一：矩型截面柱的核心是菱形，圆形柱的核心？zy设压缩载荷如图：FN=F；

M=F

rrF截面核心：

圆截面柱的截面核心是直径为d/4的圆。

由s=0，有：

32Fr/d=4F

r=d/8

max拉z

d/4最大拉应力：32max324dFdFWMAFzNprps+-=+-=¢拉返回主目录57扭矩T=Mx弯矩Mz弯矩My弯曲剪应力通常较小，暂不考虑；拉/压弯组合已讨论。内力MxxyzMzoMy应力

合成弯矩MxyMzoMyz扭转：t=T/WTmax弯曲：s=M/Wz

max危险点：A、B处。s=-s=s;t=t=t

maxmaxBAABAB22zyMMM+=zABMxyoz

10.3.2

圆轴的弯扭组合变形返回主目录5810.3.2圆轴的弯扭组合变形强度条件对于圆轴，有：WT=2Wz

=2W=pd3/16;W=pd3/32Bsstt应力状态危险点应力：s=M/Wz

；t=T/WT

；

T=Mx22zyMMM+=)4(21221tsss++=02=s)4(21223tsss+-=主应力：][122s£+TMW][422313stssss£+=-=r第三强度理论][3224stss£+=r第四强度理论][75.0122s£+TMW59弯、扭方法归纳——圆轴的弯扭组合变形研究思路基本变形组合变形内力应力组合变形构件，危险点应力状态线弹性小变形叠加法MxxyzMzoMy圆轴合成弯矩MzABMxyo强度理论相当应力

s/s

r3r4s=M/Wt=T/WTBsstt主应力？s

、s

、s

123强度条件:][122s£+TMW][0.75T122s£+MW60例6传动轴AB直径d=40mm，AC=CD=DB=200mm，C轮直径d=160mm，D轮直径d=80mm，

=20

，已知力F1=2kN，[s]=120MPa，试校核轴的强度。12解：1)受力分析,SFx=FAx

=0SMx=F2cosa

d2/2-F1cosa

d1/2=0

F2=4kNSMy=F1sina

AC-F2cosa

AD-FBz

AB=0

FBz=-2.28kNSMz=F1cosa

AC-F2sina

AD+FBy

AB=0

FBy=0.286kNSFZ=FAz-F1sina+F2cosa+FBz=0

FAz=-0.8kNSFy=FAy+F1cosa-F2sina+FBy=0

FAy=-0.8kNaAF1F2xyzBCDaFByFBzFAyFAxFAz

有平衡方程：61TMyMz0.150.160.05720.160.456ABCD2)求轴的内力，3)危险截面：可能是C

或者D

。再考查合成弯矩。绕x轴的扭转：CD段扭矩为：

T=F1cosa

d1/2=0.15kN·mxy面内弯曲：无分布载荷，弯矩是各段线性的，且：

MyC=FAy

AC=-0.16kN·m

MyD=FBy

DB=0.0572kN·mxz面内弯曲：有：

MzC=FAz

AC=-0.16kN·m

MzD=FBz

DB=-0.456kN·m画内力图aAF1F2xyzBCDaFByFBzFAyFAxFAz623)危险截面：可能是C

或者D

。再考查合成弯矩。由D

处是危险截面，且

T=0.15kN·m;M=0.46kN·m4)强度校核：强度足够！22zyMMM+=有mkNMC·226.016.016.022=+=mkNMD·46.0456.0057.022=+=][7715.046.004.0103212233223sps£=+

=+=MPaTMWr][7615.075.046.004.0103275.012233224sps£=

+

=+=MPaTMWrTMyMz0.150.160.05720.160.456ABCD63例7：斜齿轮直径D=400mm，空心轴外径d=40mm，a=0.5。齿面上受Fy=1kN、Fz=2.4kN及平行于轴线的力Fx=0.8kN作用。[s]=120MPa。试校核轴的强度。解：1）求支反力：SFx=FAx=-Fx=-0.8kNSMy=-0.4FAz-0.2Fz=0

FAz=-1.2kNSMz=0.4FAy-0.2Fx-0.2Fy=0

FAy=0.9kN还有：FBy=0.1kN;FBz=-1.2kN

SMx=FzD/2-M=0

M=0.48kN·m2）画内力图：200Myx200zFyCFxFzFAyFAxFAzFByFBzFN0.8T0.48My0.24kN·m及FByFyBAFxFAy0.18kN·mMz0.02及FBzFzBAFxFAz643）危险点应力：(压弯扭)危险点：轴C截面外圆周上。3）强度校核：强度足够！合成弯矩：3.024.018.022=+=MFN0.8T0.48MZ0.24kN·m0.18kN·mMy0.02