2021届高考数学全真模拟卷02（解析版）

2021年新高考数学一模模拟试卷（二）

一、单选题（共40分）

1.（本题5分）复数z满足（z—2，＞（l+i）=2（i为虚数单位），则复数I在复平面内对

应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.体题5分)设集合A={xeZ,-4%+3V()},B={x|log2(x-2)41},则AD8=

()

A.(x|2<x<3}B.{3}C.{2,3}D.{2,3,4)

3.（本题5分）已知非零向量I、否满足同=2忖，且R-山石,则3与坂的夹角为

（）

71冗n54

A.B.D.—

6yC后6

3(3兀

4.（本题5分）已知a是三角形的一个内角,tan(7=—,贝ijcosa+)

4I

A7夜R及V2D70

A.--------------D.--------Lc♦-----\-J•------------

10101010

5.(本题5分)设等比数列{4}的公比为“，首项q>0,则“q〉l”是“对

GN*,%,+1->0”的()

A.充要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

6.（本题5分）2020是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年.

复旦大学团委发起了“跟着驻村第一书记去扶贫”的实践活动，其中学生小明与另外3名

学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个贫困村参与扶贫工作，若每个村至少分配1名学

生，则小明恰好分配到甲村的方法数是（）

A.3B.8C.12D.6

x+l,O<x<1

7.（本题5分）己知函数/（x）=4l.乃》1,,，若不等式

-sin——+—,1<%<4

1242

./⑴―4（x）+2<0在无目0,4]上恒成立，则实数。的取值范围为（）

“r-l9

A.a>3B.y/2<a<3C.a>2y2D.4/>—

8.（本题5分）已知函数一机与函数g（x）=ln'-x,xe；,2的图象上恰

有两对关于x轴对称的点，则实数机的取值范围是（）

A.（0,2—In2]B.^0,——+In2

C.[--+ln2,2-ln2）D.|In2,--+ln2

4I4

二、多选题（共20分）

9.（本题5分）已知｛6,｝为等比数列，下列结论正确的是（）

A.若〃3=-2,则B.

>a

C.若%=%，则%=。2D.若。5>。3，则%5

10.（本题5分）已知曲线C:/m：2+〃y2=],下列说法正确的是（）

A.若机=〃>0,则C是圆，其半径为正

n

B.若加〉0,〃=0,则。是两条直线.

C.若“〉加>0,则。是椭圆，其焦点在）'轴上.

D.若加“<0,则c是双曲线，其渐近线方程为y=±J_'x.

vn

11.体题5分）设函数/（%）=苧…婀COX+—>0）,已知/（X）在

[0,司有且仅有3个零点，则（）

A.在（0,»）上存在玉、满足/（%）一/（9）=2

B.7（x）在（0,不）有且仅有1个最小值点

C.“X）在上单调递增

■1723、

D./的取值范围是—

一66）

12.（本题5分）已知四边形ABCO是等腰梯形（如图1）,AB=3,DC=1,ZBAD=45°,

DELAB.将DAOE沿。E折起，使得AEJ.E3（如图2）,连结AC,AB,设M

是A6的中点.下列结论中正确的是（）

C.EM〃平面ACOD.四面体A8CE的外接球表面积为5万

三、填空题（共20分）

13.（本题5分展开式中常数项为.（用数字作答）

%12

14.（本题5分）过点。（一1,1）作圆f+y2—办―2y+/—2=0的切线有两条，则。的

取值范围是

15.（本题5分）算盘是中国传统的计算工具，其形为长方形，周为木框，内贯直柱，俗

称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，运算时定位后

拨珠计算.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.如图，若拨珠的三档从左至右依次定

位：百位档、十位档、个位档，则表示数字518.若在千、百、十、个位档中随机选择

一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字能被5整除的概率为

--......

16.（本题5分）在三角形ABC中，角A,8,C所对的边分别为a”,c,NACB=90°,

NACB的角平分线交43于点。，且CZ）=2,则a+4。的最小值为

四、解答题（共70分）

17.（本题10分）已知函数/（x）=sin（万一x）cosx—cos2（x+?

（1）求/（求的单调递增区间;

A兀B兀C兀,恒有/⑴+；〉0成立,且

(2)若对Vxe--1--,--1--.--1--,求^ABC

242424

面积的最大值.

在下列四个条件中，任选2个补充到上面问题中，并完成求解.其中a,"c为AABC的

三个内角A,8,C所对的边.①AABC的外接圆直径为4；②a是直线0x+y+3=0截

圆O：x2+y2=4所得的弦长;③asinA+Asin5=csinC；④GsinA+cosA=G.

18.体题12分）设S“是数列｛a,,｝的前〃项和，S“=2a“-2（〃wN*）.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）记数列也｝的前”项和为，，求T..

19.（本题12分）如图，已知四边形ABCD^WBCEG均为直角梯形，AD//BC,CE//BG,

71

且ZBCD=ZBCE=—,NECD=120°.BC=CD=CE=2AD=25G.

2

（1）求证：4G〃平面BOE；

（2）求二面角E—3。一。的余弦值.

20.（本题12分）天气寒冷，加热手套比较畅销，某商家为了解某种加热手套如何定价可

以获得最大利润，现对这种加热手套进行试销售，统计后得到其单价武单位;元）与销量

y（单位:副）的相关数据如下表：

单价X（元）80859095100

销量y（副）1401301109080

（1）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；

（2）若每副该加热手套的成本为65元，试销售结束后，请利用（1）中所求的线性回

归方程确定单价为多少元时，销售利润最大?（结果保留到整数）

附:对于一组数据（X”yi）,（m，”），…，（x,„yn）,其回归直线$=去+6的斜率和截距

.一呵,

的最小二乘估计分别为2=上^---------，方=歹一位，

42-n—x~,

E；=1

55

参考数据:»/=48700•»：=40750

/=!/=!

21.(本题12分)已知椭圆，+左=1(。>0>0)过点6(血』)，且离心率为孝.

(1)求椭圆的方程；

(3、

(2)设经过椭圆右焦点尸的直线/交椭圆于C,。两点，判断点P二四,0与以线段

(2)

CD为直径的圆的位置关系，并说明理由.

22.(本题12分)已知函数/(x)=e*-2ox,g(x)=cosx+fiLx2-(2<2-l)x.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

⑵设〃(x)=,f(x)—g(x),若x=0为/7(x)的极大值点，求实数。的取值范围.

参考答案

1.D

【分析】

先计算复数z=j+2i,再求其共轨复数，即可求出共甑复数对应的点，进而可得在复平

面内对应的点所在的象限.

【详解】

由（z_2i＞（l+i）=2得:

2（l-z）2（l-f）

z-2i=-

1+/（1+00-02'

♦・z=l+i,z=1—i,

所以复数，在复平面内对应的点为，位于第四象限，

故选：D.

2.B

【分析】

解出集合A、B,利用交集的定义可求得集合Ap|8.

【详解】

•/A={X6Z|X2-4X+3<0}={XGZ|1<X<3}={1,2,3},

B-|x|log,(x-2)<1|=|x|0<x-2<2|=|x|2<x<41,

则AcB={3},

故选：B.

3.B

【分析】

设非零向量2、坂的夹角为。，利用3-万）工行可得出3-可4=0,求出cos。的值，结

合。的取值范围可求得。的值，即为所求.

【详解】

设非零向量Z、B的夹角为。，

'：［a-b^Lb,：.（a-b^-b-a-b—lf=问・忸卜。$夕一忖~=2|^|2cos0-|S|"=0,

所以，cos<9=-,

2

7T

Q0<^</r,因此，0=-.

故选：B.

4.A

【分析】

先由同角的三角函数的关系式求出cosa,sina,结合已知，再利用两角和的余弦公式可求

cos（a+弓）的值.

【详解】

371

由a是三角形的一个内角，tandf=-,则0<a<

472r

……sina3.3

所以tana=------=一,即sina=—cosa

cosa44

925

由sin2a+cos2a=1，即—cos2a+cos2a=—cos2a=1,

1616

4.3

所以cosa,则sina=g

4a+M=cos3-cos<z_sin3£sina=_^x4_V2x3=_7^

L4J44252510

故选：A

5.B

【分析】

由于4q2"—aa2"T=q"2"T(q—D>o,可得其正负由4,q决定，从而可得结论.

【详解】

由。2”+1—a2n>0，得qq~"_qg~"=a""1(<7—1)>0,

因为4>o,即为i)>o,

即q(q-l)〉0,得q<0或4>1,

所以“q>1”是“q<0或4>1”的充分不必要条件.

故选：B.

【点睛】

结论点睛：考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

(1)若。是。的必要不充分条件，则q对应集合是。对应集合的真子集；

(2)。是q的充分不必要条件，则，对应集合是〃对应集合的真子集；

(3)P是。的充分必要条件，则P对应集合与q对应集合相等；

(4)。是4的既不充分又不必要条件，a对的集合与〃对应集合互不包含.

6.C

【分析】

对甲村分配的学生人数进行分类讨论，结合分类加法计数原理可求得结果.

【详解】

若甲村只分配到1名学生，则该学生必为小明，此时分配方法数为G其=6种；

若甲村分配到2名学生，则甲村除了分配到小明外，还应从其余3名学生中挑选1名学生分

配到该村，此时分配方法数为C；&=6种.

综上所述，不同的分配方法种数为6+6=12种.

故选：C.

【点睛】

方法点睛：不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：①不

均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法.

7.D

【分析】

这是一个复合函数的问题，通过换元，=/(x),可知新元的范围，然后分离参数，转为求

函数的最大值问题，进而计算可得结果.

【详解】

由题可知当x时，有/(x)=x+le[l,2],

当xw(l,4J时，OKsin卫K1,即/(x)=^sin卫+'e—,1

4242[2_

所以当xe[0,4]时，/(x)eg,2,令r=/(x),贝ijfeg,2,

从而问题转化为不等式/一3+2<0在fe1,2上恒成立，

*+22「1一

即a>*在，e-,2上恒成立，

ttL2J

2「1:

由y=/H—，tG--,2,

t12J

设\〈fl<12<亚■，/(4)一/,2)=/-，2+H«-J'7J〉0,

Lr\l2lV2

21_.

所以>=，+：在-,V2是单调递减函数，

设<2,)-/(，2)=4—，2+；—：=(4<0，

*1’2环2

所以y=r+3在fe［夜,2］是单调递增函数，

"।-121Q9

在—,2上先减后增，而f+-在1=工时有最大值为；，所以。>二.

|_2」t222

【点睛】

本题考查含参数的恒成立问题，运用到分离参数法求参数范围，还结合双勾函数的单调性求

出最值，同时考查学生的综合分析能力和数据处理能力.

8.B

【分析】

由题意可得/(x)=-g(x)对于g,2恰有两个不等式的实根，等价于方程

f一机+ln，-x=0对于XG—,2恰有两个不等式的实根，令〃(x)=f+in,-x,可

X/

转化为y与〃(x)=/+lng-x两个函数图象在xe1,2有两个不同的交点，对

力(外求导判断单调性，作出其函数图象，数形结合即可求解.

【详解】

若函数〃力=£一加与函数g(x)=ln‘—I，2的图象上恰有两对关于x轴对称

的点，则./■(£)=-g(x)对于XC；,2恰有两个不等式的实根，

,1r1

即V—m+ln——x=0对于xe-,2恰有两个不等式的实根，

x12」

,1F1

可得加=x-+ln-—x对于xe-,2恰有两个不等式的实根，

x|_2」

令〃(x)-x2+In---x,

则、=加与/?(乃=/+1!1：—x两个函数图象在xe1,2有两个不同的交点，

“(X)=2x」—1=2"、1=.(2廿1)(”),

XXX

由〃'(x)>0可得1cx<2,由〃'(x)<0可得;<x<l,

所以〃(力=/+1114一》在(3，1)单调递减，在(1,2)单调递增，

所以人(力图象如图所示:

当x=l时，A(l)=l+lnl-1=0,

,1门1111

当不=一时,h—=—FIn2—=---Fin2

2424

若丁=%与/?（x）=x2+ln[—x两个函数图象在xe1,2有两个不同的交点,

由图知0＜加W-1+ln2,

4

所以实数”的取值范围是（o,—；+ln2,

故选：B

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围;

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

9.ABD

【分析】

根据等比数列下标和性质结合基本不等式的变形式判断出AB是否正确；根据条件分析公比

q的取值情况，由此判断出C是否正确；根据等比数列的通项公式的变形式4,=4“结

合不等式性质判断D是否正确.

【详解】

A.因为=2，［=8,取等号时g=%，故正确；

B.因为=加：，取等号时生=%，故正确；

C.设等比数列的公比为4,因为q=%，所以d=%=1,所以q=±l,当夕=一1时,

%

4=一%,故错误；

D.设等比数列的公比为4,因为%>的且/>0,所以%>4•/,所以外>%,

故正确；

故选：ABD.

【点睛】

结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若m+n=p+q=2t（m,n,p,q,t€N*）,

（1）当｛4｝为等差数列，则有%,+%=玛+为=2《；

（2）当｛4｝为等比数列，则有%,•%=%,♦%=a：.

10.ABD

【分析】

选项A.当m=72〉。时，曲线。：%2+)，=一可判断；选项B.当m>0,〃=0时，曲线

n

C：—二,可判断；选项C.当〃>〃2>()时，曲线C："a2+〃y2=1,则表示焦点在X轴上

m

的椭圆；选项D.若加〃<0,则。是双曲线，由如2+犯2=0,可得y=±—'X可判断.

Vn

【详解】

选项A.当根=〃>0时，曲线+)3=■1■表示半径为正的圆，故A正确

nn

—,即*=±，=,表示两条直线，故B正确

选项B.当加>0,〃=0时，曲线

mVm

当〃>心0时，曲线。:次+畋2=1,可化为C：十+十=1

选项C.

mn

由〃〉根>0,则,>，>(),则表示焦点在x轴上的椭圆，故C不正确.

mn

选项D.若m71<0,则。是双曲线，由"优2+〃y2=0,可得y=±/一'X

Vn

所以渐近线方程为y=±故D正确

故选：ABD

11.AD

【分析】

化简函数/(x)的解析式为/(x)=sin"+令r=(yx+J,由xw[(),/]可求得

6

1711IJi

te一，①九+一，作出函数y=sin/一《，二公r+—,0>O的图象，可判断AB选项的

66\66/

71

正误；由图象得出3万〈。乃+一<4%可判断D选项的正误；取。=3,利用正弦型函数的

6

单调性可判断C选项的正误.

【详解】

=^sin⑺+L却5+3=^sin⑺+\os^=sin(8+q

•・•/(力

22I2；22I6)

当xc［O,句时，69X+-e—,(071+—,令，=3》+一，贝!,(071+—

66666

（兀JI\

作出函数丁=5m（1〈/〈啰乃+%,0>0）的图象如下图所示：

对于A选项，由图象可知，=1,ymin=-1,

所以，在（0,4）上存在国、毛，满足/（%）一/（9）=2,A选项正确;

对于B选项，/（X）在（0,4）上有1个或2个最小值点，B选项错误;

对于D选项，由于函数“X）在［0,同有且仅有3个零点，则3乃43?■+£<47，解得

--<69<--,D选项正确;

66

对于C选项，由于——,取啰=3,当二■］时，一<3犬4—<—,

66I2J663

此时，函数/(x)在区间上不单调，C选项错误.

故选：AD.

【点睛】

关键点点睛：本题考查利用正弦型函数在区间上的零点个数判断正弦型函数的基本性质，解

717171

本题的关键在于换元f=<yx+二，将问题转化为函数y=sinr在区间+-上的零

61_66_

点个数问题，数形结合来求解.

12.BD

【分析】

过C做交AB于F,根据题意，可求得各个边长，根据线面垂直的判定定理，

可证平面BCQE,即至，假设BC_LAD,根据线面垂直的判定及性质定理，

可得BCJ.OE,与已知矛盾，可得A错误，利用等体积法，可求得点E到平面AWC1的距

离,即可判断B的正误；由题意可证EB〃平面AOC,假设EM〃平面ACO,则平面AC。

〃平面4EB,与已知矛盾，可得C错误；根据四棱锥的几何性质，可确定球心的位置，代

入公式，即可判断D的正误，即可得答案.

【详解】

因为£>£_!_AS，NBA。=45°,

所以DADE为等腰直角三角形，过C做CT_LAB,交AB于尸，如图所示：

所以□人£>£丝□BCE,BPAE=BF,又AB=3,DC=1,

所以AE=EF=FB=DE=CF=1,则AD=3C=0，

对于A：因为AE_LEB,AEIDE,BE,DEu平面BCDE,

所以AEJ_平面BCDE,6Cu平面BC£)E,

所以AELBC,

若3CLA。，且AE,A0u平面AOE,

则BC-L平面ADE,

所以8CJ.DE

与已知矛盾，所以8c与A。不垂直，故A错误；

对于B：连接MC,如图所示，

在Rt/^DEC中，DE=DC=1,所以£C=0,又6C=0，EB=2,

所以£。2+3。2=磴2,所以ECL5C,

又因为AEL3C,AE,ECu平面AEC,

所以8CJ.平面AEC,ACu平面AEC,

所以8CJ.AC,即口43。为直角三角形，

在Rf口AEC中，AE=1,EC=叵,所以AC=G，

因为M是A3的中点,

所以DAMC的面积为R/OABC面积的一半，所以S=-x-xy/3xy/2=—^

AMC224

因为DE_LAE,DE±EB,

所以OE即为两平行线CD,E8间的距离，

因为％-A”C=Z-AEM，设点E到平面AMC的距离为h,

则《xSAMEXDE=^-XSAMCxh,即，x，xlxlxl=，x@x〃,

333234

所以〃=在，所以点E到平面AMC的距离为巫，故B正确；

33

对于C：因为EBHDC,破^平面人。。，OCu平面AQC,

所以〃平面AOC,

若EMU平面ACO，且EBcEM=E,EB,EMu平面AEB,

所以平面AC。〃平面AEB,与已知矛盾，故C错误.

对于D：因为ECL8C,所以口8。七的外接圆圆心为EB的中点，

又因为AEJ.E8,所以AABE的外接圆圆心为AB的中点M,

根据球的几何性质可得：四面体ABCE的外接球心为M,

又E为球上一点，在△4BE中，EM=-AB=—

22

所以外接球半径H=ME=或，

2

所以四面体A8CE的外接球表面积S=^R2=W?3印，故D正确.

故选：BD

【点睛】

解题的关键是熟练掌握线面平行的判定定理，线面垂直的判定和性质定理等知识，并灵活应

用，求点到平面距离时，常用等体积法将点到面的距离转化为椎体的高，再求解，考查逻辑

推理，分析理解的能力，综合性较强，属中档题.

13.-4

【分析】

利用(犬—1)4中的通项公式求解.

【详解】

(丁一if中的通项公式为J=C>4(j)(-I)'=(-1)-C；X，6-4r,

令16-4r=12,

解得r=1,

所以常数项为6=C(-l)=-4.

故答案为：-4

14.(1,2)

【分析】

由过点p(—1,1)作圆f+y2-4V—2y+£—2=0的切线有两条，得：P在圆外，列不等

式可解.

【详解】

".,X2+y—ax—2y+cr—2=0表示一个圆,

(—a)?+(—2)2—4(a~-2)>0,—2<a<2>

又由过点p(—1,1)作圆d+y2—依—2)+6—2=0的切线有两条，得：P在圆外，

所以(一1)2+1?-ax(-l)-2xl+a2-2>0,解得：。<一2或a>l.

综上所述：

所以以的取值范围是(1,2).

故答案为：(1,2).

【点睛】

点P(x0,%)与圆(x—a)2+。一与2=/的位置关系的代数判断方法：

(1)点P与圆外=>(玉；一。)~+(%—。)一>「2;

(2)点P与圆上。(玉)一。)2+(%—。)2=产；

(3)点P与圆内0(而一af+Oo-bf〈产；

1

15.一

2

【分析】

所拨数字共有C：戏=24种可能，若所拨数字能被5整除，则个位数字只能是5或0,然后

分个位数字为5和个位数字为0两种情况求出所需要的种数，再利用古典概型的概率公式求

解即可

【详解】

解：所拨数字共有C；C：=24种可能，若所拨数字能被5整除，则个位数字只能是5或0,

当个位数字为5时，则个位档拨一颗上珠，其他三档选择两个档位各拨一颗下珠，有C；=3

种；

当个位数字为0时，则个位档不拨珠，其他三档选择一档位拨一颗上珠，再选择两个档位各

拨一颗下珠，有&仁=9种，

所以所拨数字能被5整除的概率为—

242

故答案为：—

2

【点睛】

此题考查古典概型的概率的求法，考查分类思想和计算能力，属于中档题

16.972

【分析】

先根据三角形面积相等得到ab=向a+b），把求a+4b的最小值转化为基本不等式中“1

的代换”.

【详解】

在三角形ABC中，•••/ACB=90°,...三角形面积S='ab；

2

而三角形ABC的面积等于三角形ADC与三角形BDC面积之和,

即S=^-xnx2xsin45°+^x/?x2xsin45°,

所以"=&（Q+人）,（Q>0,方>0）,

即也+也=].

ab

即a+48的最小值为9夜.

故答案为：972.

【点睛】

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”

(1)“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则

必须把构成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定

值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

兀

17.(1)——+ku,—7C+k?!(AeZ)；(2)2+-\/3

【分析】

(1)利用三角函数的倍角公式和诱导公式化简函数的解析表达式，然后根据三角函数的性

质，利用整体代换法求得其单调递增区间；

(2)由已知不等式，判定该三角形为锐角三角形，分析其余四个条件，发现只有①®③是

可能的，做出一定选择后，利用正余弦定理和三角形的面积公式，结合基本不等式求得三角

形的面积的最大值.

【详解】

1+cos2x+—\

⑴，，、.I1,

f(x)—sinxcosx--------------------=sin29x——

22

7TTTJT7T

令——+2/ai<2x<—+2E,ZwZ，解得---FE<X<—+E,ZT£Z,

2244

jrTT

；・/(x)的单调递增区间为----kku,—Fku(kG；

447

EIA71B7CC7V\(乃3兀)|“、1八，,

(2)因f为+++I卜所以2xw—~，由/(x)+不>。得sin2x>0,

7T71TCTC

■-2xAH—<7r,.'.A<—，同理B<一,C<一，即△ABC为锐角三角形，

2222

③中asinA+8sinB=csinC,利用正弦定理角化边得到a?+〃=。2,故。为直角，与条

件矛盾；

3

②中圆心到直线的距离d=-==73，故弦长a=2j==2,

71

④中由5/3sin/I+cosA=>/3得sinA+，又・・・A为锐角，・・.A="

6

选择①②，2/?=4,a=2,2/?sinA=a,得4sinA=2,sinA=',

2

TT

选择①③，2R=4,A=-，得a=2RsinA=2,

6

IT

选择②③，即Q=2,A=—,

6

c,)JLo

由余弦定理得+c~-2Z?ccos—=Q~=4,

6

b2+c2-43bc=4＞（2-y]3）bc

所以尻最大值为匚耳=4(2+6),当且仅当b=c时取等号，

，三角形ABC的面积为：S=g"csinA=；Oc,最大值为2+J5.

【点睛】

本题关键是要逆用正余弦的二倍角公式化简，综合使用正余弦定理进行分析，利用三角形的

面积公式，基本不等式，余弦定理综合使用求三角形面积最大值问题时常用的方法，应当熟

练掌握.

18.(1)an=X；(2)4=2—(〃+2)x(g).

【分析】

(1)首先根据E=2q-2="，得到q=2,根据a,,=Sn-得到—=2,从而得

an-\

到4=2。

(2)首先根据(1)得到,再利用错位相减法求T“即可.

【详解】

(1)当〃=1时，S]=2q-2=囚，得q=2；

当〃22时，S"=2a"-2①,S,i=2q,_i-2②，

①-②得，——=2.

a,i

所以数列｛q｝是以4=2为首项，以2为公比的等比数列，即4=2”；

n门丫

(2)由题，得b“=—=n-\—,

"2"⑶

所以T+2x[J+3x,)'+…呜「+(“-呜

/=(£|+2]{)+3>(£|+.一+("-叫)+("-呜)+"出②

①@，吗看弓+O+出+…+出+出"{|，

1-3

12

/一

]_

所以,7；,=2-(n+2)x

27

【点睛】

方法点睛:

本题主要考查数列的求和，常见的数列求和方法如下:

1.公式法：直接利用等差、等比数列的求和公式计算即可;

2.分组求和法:把需要求和的数列分成熟悉的数列，再求和即可;

3.裂项求和法:通过把数列的通项公式拆成两项之差，再求和即可;

4.错位相减法:当数列的通项公式由一个等差数列和一个等比数列的乘积构成时，可使用此

方法求和.

19.(1)证明见解析；(2)叵

5

【分析】

(1)可证AG与平面内一条直线。M平行，再得出线面平行

(2)以C为原点建立空间直角坐标系，求出平面E5。、8C。的法向量，利用公式

cos=尸旧求出二面角E—8。—C的余弦值.

m

【详解】

(1)证明：在平面8CEG中，过G作GNLCE于N,交BE于M,连。M,

由题意知，MG=MN,MNIIBCIIDA且MN=AD=、BC,

2

VMGHAD,MG=AD,

故四边形ADMG为平行四边形，...AG//DM,

又DMu平面BDE,AG仁平面BDE,

故AG〃平面

(2)由题意知BCJ■平面ECO,在平面EC。内过。点作CFJ.CO交OE于尸，

以。为原点，CD，CB，丽的方向为％,z轴的正方向建立空间直角坐标系,

不妨设AD=\,则BC=CD=CE=2BG=2.

且C((),(),0),0(2,0,0),3(0,2,0),E(-l,0,^),

设平面的法向量7=(x,y,z),

DEn=0,-3x+>/3z-0,

则由，

BDn=0,2x-2y=0,

取y=i,得〃=

易知平面BCO的一个法向量为而=(0,0,1)

所以二面角E-的余弦值为巫.

5

【点睛】

本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：

(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方

程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算.

⑵设质3分别为平面a,夕的法向量，则二面角6与〈诟,3＞互补或相等.求解时一定要注

意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.

20.(1)y=-3.2%+398；(2)单价应该定为95元，销售利润最大.

【分析】

(1)先求元歹，再利用参考数据求6,a,代入求回归直线方程；(2)由(1)可知销售利

润/(》)=(-3.2x+398)(x-65),利用二次函数的性质求利润的最大值.

【详解】

(1)由表中数据，计算得i=〈x(80+85+90+95+100)=90,

y=-x(140+130+110+90+80)=110,

48700-5x90x110

40750—5x9()2

Z=1

6=$—^=110+3.2x90=398，

所以y关于％的线性回归方程为y=-3.2X+398.

(2)设定价为X元，利润为Ax),则

/(X)=(-3.2%+398)(%-65)=-3.2x2+606%-25870

*/x>65

・〃小=94.6875h95(元)时，最大,

"=-2x("-I3.2)

所以为使得销售的利润最大，单价应该定为95元.

22

21.(1)二+匕=1；(2)答案见解析.

42

【分析】

(1)解由点的坐标代入椭圆方程、离心率和/、b\0?之间的关系组成的方程组可得答案;

(2)讨论直线的斜率，求出圆心坐标和圆的半径，利用户点到圆心的距离和圆的半径比较

大小可得答案.

【详解】

(1)由已知，点8(、反,1)在椭圆上.

21,

靛+*1

因此</一沙2=°.2,解得。=2,b=近.

c_A/2

,«=T

2

所以椭圆的方程为f三+v乙=1.

42

(2)设点C(%,y),£>(%,,y2),CQ中点为。(%),％)•

椭圆的右焦点为(&,0),当直线8斜率为零时，点尸显然在圆外;

当直线CO斜率不为零时，设直线CD的方程为％，+亚，

x=ky+72

由<f>2,得伙Z+2）/+2V2^y-2=0,

---F——=1