集中趋势的度量

集中趋势的度量第三章集中趋势的度量导言：集中趋势和离中趋势是数据分布两个基本特征。集中趋势是指数据分布中大量数据向某方向集中的程度，离中趋势是指数据分布中彼此分散的程度，相应的统计量分别叫做集中量数和差异量数。集中量数和差异量数一起共同描述或反映一组数据的全貌及其各种统计特征。第2页,共17页，2024年2月25日，星期天第一节众数与中数一、众数

1、众数（Mode）的概念众数是在次数分布中出现次数最多的那个数的数值，常用来代表一组数据的集中趋势，一般用Mo表示。

2、众数的计算方法（1）直接观察（2）用公式估计第3页,共17页，2024年2月25日，星期天第一节众数与中数

3、众数的特点（1）较少受极端数值影响（2）不稳定，受分组和样本变动影响（3）反应不够灵敏（4）不能作进一步的代数运算因此，众数不是一个优良的集中量数，应用也不广泛。第4页,共17页，2024年2月25日，星期天第一节众数与中数

4、众数的应用（1）快速、粗略地寻求一组数据的代表值（2）次数分布中有极端数值时，有时用众数（3）粗略估计次数分布形态，一般将平均数与众数之差，当做分布是否偏态的指标第5页,共17页，2024年2月25日，星期天第一节众数与中数二、中数

1、中数（Median）的概念中数又叫中位数、中值，符号用Md表示。中数是按顺序排列在一起的一组数据中位于中间位置的那个数。它可能是数据中的一个数，也可能不是原有的数。中数能描述一组数据的典型情况。第6页,共17页，2024年2月25日，星期天第一节众数与中数

2、中数的计算首先，将数据按大小排序，然后找出居于中间位置的那个数。（1）当数据个数为奇数时，中数就是位于(N+1)/2位置的那个数（2）当数据个数为偶数时，中数为居于中间位置两个数的平均数注意：当中间位置有重复数值时，中数的计算过程比较复杂。第7页,共17页，2024年2月25日，星期天第一节众数与中数

3、中数的优缺点（1）优点：计算简单，容易理解，也能代表一组数据的典型情况（2）缺点：大小不受制于全体数据；反应不够灵敏，极端值不影响中数；受抽样影响大，不如平均数稳定；不能作进一步的代数运算。第8页,共17页，2024年2月25日，星期天第一节众数与中数

4、中数的用途（1）当一组观测数据中出现两个极端数目时，不能随意舍去极端数值，只能用中数作为代表值。（2）当次数分布的两端数据或个别数据不清楚时，只能用中数作为集中趋势代表值。第9页,共17页，2024年2月25日，星期天第二节算术平均数一、算术平均数（Mean）的概念算术平均数一般用M或X表示，其数值等于所有数据之和除以数据个数，计算公式为：

∑xiX=N第10页,共17页，2024年2月25日，星期天第二节算术平均数二、算术平均数的特点

1、∑xi=0，xi=X–X∑(Xi+C)

2、=X+CN

∑(XixC)3、=XxCN第11页,共17页，2024年2月25日，星期天第二节算术平均数三、算术平均数的优缺点优点：（1）反应灵敏（2）计算严密（3）计算简单（4）可以进行代数运算（5）较少受抽样变动的影响因此，它是最可靠的集中量数，是“真值”的最佳估计。第12页,共17页，2024年2月25日，星期天第二节算术平均数缺点：（1）易受极端数值影响（2）若出现模糊不清数据时，无法计算算术平均数第13页,共17页，2024年2月25日，星期天第三节算术平均数与中数、众数的关系一、正态分布中平均数与中数、众数的关系在正态分布中，平均数、中数、众数三者完全相等，三者在数轴上完全重合。第14页,共17页，2024年2月25日，星期天第三节算术平均数与中数、众数的关系二、正偏态分布中平均数与中数、众数的关系在正偏态分布中，三者关系如下：

MoMdMM>Md>Mo第15页,共17页，2024年2月25日，星期天第三节算术平均数与中数、众数的关系三、负偏态分布中平均数与中数、众数的关系在负偏态分布中，三者关系如下：

M<Md<Mo