2025版高考数学一轮总复习考点突破第8章平面解析几何第5讲椭圆第1课时考点1椭圆的定义及应用

椭圆的定义及应用1.过点A(2,0)且与圆x2＋y2＋4x－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1.[解析]将圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝36，圆心B(－2,0)，r＝6，设动圆圆心M的坐标为(x，y)，动圆与已知圆的切点为C.则|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6，∴|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝6>4＝|AB|，∴点M的轨迹是以点B(－2,0)，A(2,0)为焦点、线段AB中点O为中心的椭圆，且a＝3，c＝2，∴b2＝a2－c2＝5，∴所求轨迹方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1.2．已知F1、F2分别是椭圆5x2＋9y2＝45的左、右焦点，P是椭圆上的动点，则|PF1|·|PF2|的最大值为9，若A(1,1)，则|PA|＋|PF1|的取值范围为[6－eq\r(2)，6＋eq\r(2)].[解析]由椭圆的方程eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1知，a＝3，c＝2，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝9，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝3时取等号，∴|PF1|·|PF2|的最大值为9.∴|PA|＋|PF1|＝|PA|－|PF2|＋6.由椭圆方程eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1知c＝eq\r(9－5)＝2，∴F2(2,0)，∴|AF2|＝eq\r(2).利用－|AF2|≤|PA|－|PF2|≤|AF2|(当P、A、F1共线时等号成立)．∴|PA|＋|PF1|≤6＋eq\r(2)，|PA|＋|PF1|≥6－eq\r(2).故|PA|＋|PF1|的最大值为6＋eq\r(2)，最小值为6－eq\r(2).3．已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°.若△PF1F2的面积为3eq\r(3)，则b＝3.[解析]|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2，即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，所以|PF1||PF2|＝eq\f(4,3)b2，又因为S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin60°＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)b2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)b2＝3eq\r(3)，所以b＝3.故填3.[引申]本例2中，若将“A(1,1)”改为“A(2,2)”，则|PF1|－|PA|的最大值为4，|PF1|＋|PA|的最大值为8.[解析]∵|PF2|＋|PA|≥|AF2|＝2(P在线段AF2上时取等号)，∴|PF1|－|PA|＝6－(|PF2|＋|PA|)≤4，∵|PA|－|PF2|≤|AF2|＝2，(当P在AF2延长线上时取等号)，∴|PF1|＋|PA|＝6＋|PA|－|PF2|≤8.名师点拨：1．椭圆定义的应用范围(1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．(2)解决与焦点有关的距离问题．2．焦点三角形的应用椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|；通过整体代入可求其面积等．注：S△PF1F2＝b2taneq\f(∠F1PF2,2).【变式训练】(2024·江苏淮安淮阴中学期中)已知F为椭圆C：eq\f(x2,4)＋y2＝1的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：x2＋(y－3)2＝1上一点，则|PQ|＋|PF|的最大值为(D)A．3 B．6C．4＋2eq\r(3) D．5＋2eq\r(3)[解析]圆M：x2＋(y－3)2＝1的圆心为M(0,3)，r＝1，设椭圆的左焦点为F1，如图，由椭圆的定义知，|PF|＋|PF1|＝2a＝4，所以|PF|＝4－|PF1|，所以|PQ|＋|PF|≤|PM|＋1＋|PF|＝|PM|＋1＋4－|PF1|＝5＋|PM|－|PF1|≤5＋|MF