第03讲 极值与最值（七大题型）（讲义）-2024年高考数学复习讲练测（新教材新高考）（解析版）

第第页第03讲极值与最值目录考点要求考题统计考情分析（1）借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件．（2）会用导数求函数的极大值、极小值．（3）会求闭区间上函数的最大值、最小值．2022年乙卷第16题，5分2022年I卷第10题，5分2022年甲卷第6题，5分2021年I卷第15题，5分2021年乙卷第10题，5分高考对最值、极值的考查相对稳定，属于重点考查的内容．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性、极值、最值等本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．最终的落脚点一定是函数的单调性与最值，因为它们是导数永恒的主题．知识点一：极值与最值1、函数的极值函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．求可导函数极值的一般步骤（1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根；（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．2、函数的最值函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．导函数为（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求在内的极值（极大值或极小值）；（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．【解题方法总结】（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立．不等式在区间D上恒成立．（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解（5）对于任意的，总存在，使得；（6）对于任意的，总存在，使得；（7）若存在，对于任意的，使得；（8）若存在，对于任意的，使得；（9）对于任意的，使得；（10）对于任意的，使得；（11）若存在，总存在，使得（12）若存在，总存在，使得．题型一：求函数的极值与极值点【例1】（2023·全国·高三专题练习）若函数存在一个极大值与一个极小值满足，则至少有（

）个单调区间.A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】若函数存在一个极大值与一个极小值，则至少有3个单调区间，若有3个单调区间，不妨设的定义域为，若，其中可以为，可以为，则在上单调递增，在上单调递减，（若定义域为内不连续不影响总体单调性），故，不合题意，若，则在上单调递减，在上单调递增，有，不合题意；若有4个单调区间，例如的定义域为，则，令，解得或，则在上单调递增，在上单调递减，故函数存在一个极大值与一个极小值，且，满足题意，此时有4个单调区间，综上所述：至少有4个单调区间.故选：B.【对点训练1】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（

）A．B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值D．函数的最小值为【答案】C【解析】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增，又a<b<c，所以，故A不正确．因为，，且当时，；当c<x<e时，；当x>e时，．所以函数在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确．由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确．故选：C．【对点训练2】（2023·全国·模拟预测）已知函数的导函数为，则“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】只有当在上有两个变号零点时，在上才有两个极值点，故充分性不成立；若在上有两个极值点，则在上有两个变号零点，则在上至少有两个零点，故必要性不成立.综上，“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的既不充分也不必要条件，故选：D.【对点训练3】（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）设函数，，为的导函数．(1)当时，过点作曲线的切线，求切点坐标；(2)若，，且和的零点均在集合中，求的极小值．【解析】（1）当时，，求导得，设过点作曲线的切线的切点为，则，于是切线方程为，即，因为切线过点，即有，解得或，所以切点坐标为，.（2）当，时，，求导得，令，得或，依题意，，都在集合中，且，，当时，，且，则，，，当时，，且，则，，不符合题意，因此，，，，当或时，，当时，，于是函数在，上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数取得极小值为.【对点训练4】（2023·河北·统考模拟预测）已知函数．(1)证明：当时，有唯一的极值点为，并求取最大值时的值；(2)当时，讨论极值点的个数．【解析】（1）证明：当，时，，可得的定义域为，且，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，有唯一的极小值，即有唯一的极值点为，由，令，设，可得，由，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当，即时，有唯一的极大值，即取得最大值，所以当的最大值时，.（2）当时，的定义域为，且，①当时，时恒成立，此时单调递增，所以极值点的个数为个；②当时，设，即（i）当，即时，可得，即对恒成立，即在上无变号零点，所以此时极值点的个数为个；（ii）当，即时，设的两零点为，且，，，可得即在上有个变号零点，所以此时极值点的个数为个；综上所述，当时，的极值点的个数为；当时，的极值点的个数为.【对点训练5】（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数.求的极值；【解析】因为函数，所以，设，，所以在上单调递增.又，所以当时，；当时，.又因为对恒成立，所以当时，；当时，.即在区间上单调递增，在区间上单调递减，故，没有极小值.【解题方法总结】1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．题型二：根据极值、极值点求参数【例2】（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数在处取得极大值4，则（

）A．8 B． C．2 D．【答案】B【解析】因为，所以，所以，解得，经检验，符合题意，所以.故选：B【对点训练6】（2023·陕西商洛·统考三模）若函数无极值，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以，因为无极值，所以，解得，所以a的取值范围为．故选：A.【对点训练7】（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）函数在区间上存在极值，则的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】函数的定义域为，，令，，所以当时，，当时，，所以在单调递增，单调递减，所以，又因为当时，则，，所以存在唯一，使得，所以函数在时，时，所以函数在单调递增，单调递减，所以要使函数在区间上存在极值，所以的最大值为3，故选:B.【对点训练8】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数，则，要使函数在处取得极小值，则，故选：B.【对点训练9】（2023·广东梅州·梅州市梅江区梅州中学校考模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】的定义域是，，令，所以在区间递减；在区间递增.要使有两个极值点，则，此时，构造函数，所以在上递增，所以，所以，所以实数a的取值范围.故选：D【对点训练10】（2023·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）若x＝a是函数的极大值点，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，令，得：当，即此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，符合x＝a是函数的极大值点，反之，当，即，此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，x＝a是函数的极小值点，不符合题意；当，即，恒成立，函数在上单调递增，无极值点.综上得：.故选：A.【解题方法总结】根据函数的极值（点）求参数的两个要领（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；（2）验证：求解后验证根的合理性．题型三：求函数的最值（不含参）【例3】（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求在区间上的最大值；【解析】（1）因为，所以，则，又，所以曲线在点处的切线方程为.（2）令，则，当时，，在上单调递增.因为，，所以，使得.所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，又，，所以.【对点训练11】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知函数在区间上最大值为M，最小值为m，则的值是_______.【答案】【解析】由题意，，，在上，故函数单调递增，所以，，，故的值是.故答案为：【对点训练12】（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数，则的最大值是________．【答案】【解析】因为，所以.当时，，所以在单调递增；当时，，所以在单调递减；所以.故答案为：.【对点训练13】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数，，则函数的最小值为______.【答案】/0.5【解析】因为，所以，记，，则，因为，所以，所以在上单调递增，所以，所以在上恒成立，所以在上单调递增，故当时，函数有最小值为，故答案为：【对点训练14】（2023·山西·高三校联考阶段练习）已知，且，则的最小值为__________.【答案】1【解析】因为，，所以，所以，且，所以，设，，则，因为，所以，在上为增函数，因为，所以，则，所以，所以，令，则，令，则，则在上为增函数，令得，即，则存在唯一实数，使得，即，所以当时，，，当时，，，所以在上为减函数，在上为增函数，所以.所以的最小值为.故答案为：.【对点训练15】（2023·海南海口·统考模拟预测）已知正实数，满足：，则的最小值为______.【答案】【解析】由可得：,所以，，设，，所以在上单调递增，所以，则，所以，所以，所以，令，令，解得：；令，解得：；所以在上单调递减，在上单调递增，所以.故的最小值为.故答案为：.【解题方法总结】求函数在闭区间上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较得到函数的最值．题型四：求函数的最值（含参）【例4】（2023·天津和平·统考三模）已知函数，，其中.(1)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值；(2)若时，求函数的最小值；(3)若的最小值为，证明：当时，.【解析】（1）因为，，所以，，所以，，因为两条切线平行，所以，解得（2）由（1）可知，令，即，即，即，又，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以时，函数的最小值为.（3）证明：因为，，，令，则，即，所以当时解得，所以在上单调递增，令，解得，所以在上单调递减，所以在处取得极小值即最小值，所以，即的最小值为的解析式为，，则，令，解得，所以当时，即在上单调递增，当时，即在上单调递增，所以在处取得极大值即最大值，即，所以，即当时，总有.【对点训练16】（2023·全国·模拟预测）已知函数，．讨论函数的最值；【解析】函数的定义域为，，当时，，在上单调递增，无最值；当时，令，得，所以在上单调递减；令，得，所以在单调递增，所以的最小值为，无最大值．综上，当时，无最值；当时，的最小值为，无最大值．【对点训练17】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知函数，其中．(1)若a=2，求的单调区间；(2)已知，求的最小值．（参考数据：）【解析】（1）由题设，则，且，所以，当时，当时，所以的减区间为，增区间为.（2）由题意，所以，即，又，且，当或时，或时，所以、上递减，、上递增，又极小值，故最小值为.【对点训练18】（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，讨论函数在上的单调性；(2)当时，求在内的最大值；【解析】（1）当时，，，且．当时，，，则，即，故函数在上单调递增．（2），令，则，由且，可得，，则，在内单调递增，所以，又当时，，所以，在内单调递增，故．【对点训练19】（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）已知函数．(1)若存在最大值M，证明：；(2)在（1）的条件下，设函数，求的最小值（用含M，k的代数式表示）．【解析】（1）的定义域为，，

记，易知单调递增，又因为，所以存在，使得，①当时，在上单调递减，在上单调递增，所以无最大值，即不符题意；②当时，在上单调递增，在上单调递减，所以，因为，所以，所以，所以，即．（2）由（1）可知，且，所以，，令，则，令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．

当时，，又，所以存在，使得，可知，

因为，所以，所以，由（1）可知，，即，因为，所以，所以．设，易知单调递增，且，所以，所以，即的最小值为．【解题方法总结】若所给的闭区间含参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．题型五：根据最值求参数【例5】（2023·四川宜宾·统考三模）已知函数.(1)讨论函数的极值点个数；(2)若，的最小值是，求实数m的所有可能值.【解析】（1）函数的定义域是，求导得，令，求导得，递减，递增，，①当时，，递减，递增，有1个极小值点；②当时，，令，则，函数在上递增，，即，当时，，此时，使得，令，有，令，，即有在上递增，，函数在上递增，，则，当时，，此时，使得，因此递减，递增，递减，递增，有3个极值点，所以当时，恰有一个极值点；当时，恰有三个极值点.（2）由（1）知，①当时，在上单调递减，在上单调递增，，即，令，，函数在上单调递增，，则；②当时，，使得，，使得，递减，递增，递减，递增，其中，则，显然符合要求，即有，综上提，所以m的所有可能值是上的实数.【对点训练20】（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是______．【答案】（答案不唯一，、均可）【解析】因为，则.由可得，由可得或，所以，函数的减区间为，增区间为、，所以，函数的极大值为，极小值为，令，其中，则，解得，因为函数在区间上存在最小值，则，解得，所以，整数的取值集合为.故答案为：（答案不唯一，、均可）.【对点训练21】（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为________.【答案】【解析】，所以在和上，，函数单调递减；在上，，函数单调递增；且当时，，即，所以在区间上有最小值，则：解得.故答案为：【对点训练22】（2023·福建泉州·高三统考阶段练习）已知函数的最小值为0，则a的取值范围为______________．【答案】【解析】函数定义域为，，显然，当时，，当时，函数在上单调递减，，因此，当时，函数在上单调递减，其取值集合为，函数在上单调递增，函数值集合为，因此存在，使得，而，于是，不符合题意，当时，，令，，当时，，即在上单调递增，，，即有，当时，，即，当且仅当时取等号，因此，当时，，显然当时，，函数在上单调递减，，不符合题意，综上得，，所以则a的取值范围为.故答案为：【对点训练23】（2023·江苏南通·高三校考开学考试）若函数的最小值为，则______．【答案】【解析】当时，，，当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，所以解得，与矛盾；当时，，(i)若，即，则有在单调递减，单调递增，所以解得，与矛盾；(ii)若，即，则有在单调递减，单调递增，所以解得，满足题意；综上，，故答案为:.【对点训练24】（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为_______【答案】【解析】因为，且函数在区间上存在最大值，故只需满足，所以，解得．故答案为：【对点训练25】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数在上存在最小值.则实数的取值范围是________.【答案】【解析】，，当时，，单调递减；当或时，，单调递增，∴在处取得极小值，在处取得极大值.令，解得或，又∵函数在上存在最小值，且为开区间，所以，解得.即的取值范围是.故答案为：.题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用【例6】（2023·天津河北·统考二模）已知，函数，其中e是自然对数的底数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求函数的单调区间；(3)求证：函数存在极值点，并求极值点的最小值.【解析】（1）当时，,,,,曲线在点处的切线方程,切线方程.（2）当时，，则令，得；令，得；所以，函数的单调增区间为，单调减区间为．（3）令，因为，所以方程，有两个不相等的实根，又因为，所以，令，列表如下:-0+减极小值增所以存在极值点.所以存在使得成立，所以存在使得，所以存在使得对任意的有解，因此需要讨论等式左边的关于的函数，记，所以，当时，单调递减；当时，单调递增．所以当时，的最小值为．所以需要，即需要，即需要，即需要因为在上单调递增，且，所以需要，故的最小值是e．【对点训练26】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中．(1)当时，求函数在内的极值；(2)若函数在上的最小值为5，求实数的取值范围．【解析】（1）由题意得，当时，，则，令，得，，，在内随x变化而变化的情况如下表所示：x1+0单调递增极大值9单调递减故在内的极大值为9，无极小值；（2），①当时，，且不恒为0，所以函数在区间上单调递增，所以在上，，由题意，则，解得，与矛盾，②当时，，且不恒为0，所以函数在区间上单调递减，所以在上，，符合题意，③当时，当时，，函数在区间上单调递减，当时，，函数在区间上单调递增，所以在上，，由题意，则，即，即，即，解得或，与矛盾，综上，实数a的取值范围为．【对点训练27】（2023·全国·高三专题练习）已知．(1)求函数在内的极值点；(2)求函数在上的最值．【解析】（1）由得．令，解得，，即，．又，所以，．，随x变化而变化的情况如下表所示：x+0-0+↑极大值↓极小值↑所以函数在内的极大值点为，极小值点为．（2）由题知．，记，则．因为，所以，又，所以，所以函数单调递增，，所以当时，，即，函数单调递减；当时，，即，函数单调递增．，，，显然，所以函数在上的最小值为，最大值为．【对点训练28】（2023·全国·高三专题练习）设函数，已知是函数的极值点．(1)若函数在内单调递减，求实数m的取值范围；(2)讨论函数的零点个数；(3)求在内的最值．【解析】（1）由已知可得，.因为是函数的极值点，所以当时，，即，所以.此时有，.令，，则在上恒成立，所以，即在上单调递减.又当时，，所以时，，所以函数在上单调递增；时，，所以函数在上单调递减.所以，当时，函数取得极小值，所以，所以．则，所以，．因为，所以.设，要使在内单调递减，则应有在内恒成立，只需在内恒成立，只需在上的最小值即可．当时，满足条件；当时，，此时，函数在处有最小值，所以，解得，所以；当时，，此时，要使在上恒成立，所以只需，解得，所以.综上可知，实数m的取值范围为．（2）由已知可得，，则.因为，所以，.当时，有.当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减.故的极大值为.又，由零点存在性定理知，可知在内存在一个零点.又，故函数有2个零点．（3）由题可得（且），则.设，则，令，解得，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在内单调递增.所以，故恒成立.又因为当且时，，所以恒成立，所以在上单调递减，故在内的最大值为，最小值为．题型七：不等式恒成立与存在性问题【例7】（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）若存在实数（），使得关于x的不等式对恒成立，则b的最大值是_________.【答案】【解析】当，且时，由，得.设，则.当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减.所以，得，等价于，而，当且仅当时等号成立.所以，则，所以，解得，所以b的最大值是.故答案为：【对点训练29】（2023·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）若不等式对恒成立，则a的取值范围是______.【答案】【解析】令，则，令，，则,当时，；当时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以,当x趋近于0时，趋近于，所以，令，，，则，当时，；当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，若恒成立，即恒成立，所以，所以；故答案为：.【对点训练30】（2023·全国·高三专题练习）若存在，使得不等式成立，则m的取值范围为______【答案】【解析】存在，要使成立，即，，令，，即，又，设，，则，则在内单调递增，，则，在内单调递增，，故m的取值范围为．故答案为：.【对点训练31】（2023·浙江金华·统考模拟预测）对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】原题等价于，.令，，则.当时，.当时，，所以函数在上单调递增；当时，，所以函数在上单调递减.所以