采样控制系统的稳定性分析

§8.6采样控制系统的稳定性分析8.6.1采样系统的稳定条件在线性连续系统中，判别系统的稳定性是根据特征方程的根在s平面的位置。若系统特征方程的所有根都在s平面左半平面，则系统稳定。对线性离散系统进行了Z变换以后，对系统的分析要采用Z平面，因此需要弄清这两个复平面的相互关系。s域到z域的映射复变量s和z的相互关系为

z=esT

，式中T为采样周期则为s域中的任意点可表示为s=σ+jω，映射到z域z

=

e（σ+

jω）T

=

eσT

e

jωT于是，s域到z域的基本映射关系式为z

=

eσT，∠z

=

ωT若设复变量s在S平面上沿虚轴移动，这时s＝jω，对应的复变量z=e

jωT。后者是Z平面上的一个向量，其模等于1，与频率ω无关；其相角为ωT，随频率ω而改变。可见，S平面上的虚轴映射到Z平面上，为以原点为圆心的单位圆。当s位于S平面虚轴的左边时，σ为负数，z=eσT小于1。反之，当s位于s平面虚轴的右半平面时，为正数，z=eσT

大于1。s平面的左、右半平面在z平面上的映像为单位圆的内、外部区域。图8-21：线性采样系统结构图线性采样系统稳定的充要条件线性采样系统如图8-21所示。其特征方程为D（z）=1

+GH（z）=

0显然，闭环系统特征方程的根λ1、λ2、⋯λn即是闭环脉冲传递函数的极点。在z域中，离散系统稳定充要条件是：当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在z平面上的单位圆内，或者所有特征根的模均小于1，相应的线性定常系统是稳定的。应当指出，如同分析连续系统的稳定性一样，用解特征方程根的方法来判别高阶采样系统的稳定性是很不方便的。因此，需要采用一些比较实用的判别系统稳定的方法。其中比较常用的代数判据就是劳斯判据。8.6.2

劳斯稳定判据对于线性连续系统，可以应用劳斯判据分析系统的稳定性。但是，对于线性采样系统，直接应用劳斯判据是不行的，因为劳斯判据只能判别特征方程的根是否在复变量s平面虚轴的左半部。因此，必须采用一种新的变换，使z平面上的单位圆，在新的坐标系中的映象为虚轴。这种新的坐标变换，称为双线性变换，又称为W变换。根据复变函数双线性变换公式，令w藝1z

=

w

+1z藝1w

=

z

+1或式中z和w均为复数，分别把它们表示成实部和虚部相加的形式，即z

=

x

+

jy

w

=u

+

jv2222

y(x藝1)+y2

藝j(x藝1)+yx2

+y2

藝1=x+jy藝1x

+

jy

+1w

=当动点z在Z平面的单位圆上和单位圆之内时，应满足：x2

+

y2

≤1x2

+y2

藝1u

=

≤0(x藝1)2

+y2左半W平面对应Z平面单位圆内的部分，W平面的虚轴对应Z平面的单位圆上，可见图8-22。因此经过双线性变换后，可以使用劳斯判据了。图8-22：Z平面和W平面的对应关系离散系统稳定的充要条件，由特征方程1+GH（z）=0的所有根严格位于z平面上的单位圆内，转换为特征方程1+GH（w）=0的所有根严格位于左半

W平面。例8-16设闭环离散系统如图8-23所示，其中采样周期T=0.1(s)，试求系统稳定时k的变化范围。图8-23：例8-16闭环系统图s

(1

+

0.1s)

s

s

+1解：求出G(s)的z变换G(s)

=

k

=

k

藝

kkz

0.632kzz

藝1

z

藝0.368G(z)

=

kz

藝

=z2

藝1.368

z+0.368Φ(z)

=

G(z)1

+G(z)闭环系统脉冲传递函数为故闭环系统特征方程为1+G(z)=z2

+(0.632k藝1.368)z+0.368=0令z=w+1代入上式，得+(0.632k藝1.368)(w+1)+0.368=0w藝1w藝1(

w

+1)2w藝1化简后，得W域特征方程0.632kw2

+1.264w+(2.736藝0.632k)=0列出劳斯表w2w1w00.632k1.2642.736藝0.632k2.736藝0.632k00从劳斯表第一列系数可以看出，为保证系统稳定，必须使k>0，2.736-0.632k>0，即k<4.33。8.6.3

朱利稳定判据朱利判据是直接在Z域内应用的稳定判据，类似于连续系统中的赫尔维茨判据，朱利判据是根据离散系统的闭环特征方程D(z)=1+GH(z)=0的系数，判别其根是否位于Z平面上的单位圆内，从而判断该离散系统的稳定性。设离散系统的闭环特征方程可写为D(z)=a

nzn+⋯+a

2z2+a

1z+a

0=0 an

>0特征方程的系数，按照下述方法构造(2n－3)行、(n+1)列朱利阵列，见表8-2：表8-2朱利阵列在朱利阵列中，第2k+2行各元，是2k+1行各元的反序排列。从第三行起，阵列中各元的定义如下：n

kka

aba

a=

0

n藝kkkb

bbn藝k藝1n藝1b0c

=kc

ccn藝k藝2n藝2

kc0d

=0p0

p3q

=p3

p01301p

p2p

pq

=232p1p pp0q

=k=0,1,⋯,n－1k=0,1,⋯,n－2k=0,1,⋯,n－3⋯⋯⋯⋯⋯朱利稳定判据

特征方程D(z)=0的根，全部位于z平面上单位圆内的充分必要条件是D(1)>0，D(－1)>0，当n为偶数时；

D(－1)<0，当n为奇数时；以及下列(n－1)个约束条件成立|a

0|<

an，

|b0|>|bn－1|，

|c0|>|cn－2||d0|>|dn－3|，▲▲▲▲▲▲，

|q0|>|q2|只有当上述诸条件均满足时，离散系统才是稳定的，否则系统不稳定。例8-17：已知离散系统闭环特征方程为D（z）=z4

藝1.368

z3

+0.4

z2

+0.08

z+0.002试用朱利判据判断系统的稳定性。解由于n=4,2n－3=5,故朱利阵列有5行5列。根据给定的D(z)知：a

0=0.002,

a

1=0.08,

a

2=0.4,

a

3=－1.368,

a

4=1计算朱利阵列中的元素bk和ck：4

00a

aa

0

a

4b=

=藝11401=

1.368b

=242=藝0.399a

aa

0

a

2b

=3403=藝0.082a

a

3a

aa

a1a

ab

=1201=藝1.401b

b2b

bc

=232=

0.511b0

b1c

=b

b030=

0.993b0

b3c

=b

b作出如下朱利阵列：因为D(1)=0.114>0,D(－1)=2.69>0|a

0|=0.002,a

4=1,

满足|a

0|<a

4|b0|=1,|b3|=0.082,满足|b0|>|b3||c0|=0.993,|c2|=0.511,满足|c0|>|c2|故由朱利