平面与平面垂直 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面与平面垂直（第一课时）年级：一年级学科：高中数学（人教版）情境引入线面角的定义→线面垂直定义→线面垂直的判定→线面垂直的性质线面垂直研究思路面面垂直研究思路面面角的定义→面面垂直定义→面面垂直的判定→面面垂直的性质新知探究回顾：空间中平面与平面的位置关系？二面角及其平面角平行相交思考：类比之前对异面直线所成角，直线与平面所成角的研究，思考如何去刻画平面与平面相交的不同位置关系？二面角：如图，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.αβlABQP表示：二面角α-l-β二面角α-AB-β面—线—面点—线—点二面角的棱二面角的面二面角P-l-Q二面角P-AB-Q新知探究二面角你能举出生活中二面角的例子吗？新知探究新知探究

在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.OAB结论：二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角.二面角的范围：[0o,180o]．①二面角的两个半平面重合：

0o；②二面角的两个半平面合成一个平面：180o；特别：平面角是直角的二面角叫直二面角．二面角的平面角的大小，与角的顶点在棱上的位置有关吗，为什么？

二面角的平面角定义把门开大些！新知探究

观察：教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AB-C的大小是(

)A.30° B.45° C.60° D.90°ABCOB新知探究

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.βααβ图形表示记作α⊥β如何判定平面与平面垂直？

平面与平面垂直的定义新知探究

观察如图，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直.如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面.这种方法说明了什么道理？

墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直.

平面与平面垂直的判定定理

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.符号语言：图形语言：作用：线面垂直(2)

面面垂直(1)新知探究例1已知：如右图,正方体ABCD-A'B'C'D'.求证：平面A'BD⊥平面ACC'A'.BDCA′B′C′D′A∵ABCD-A'B'C'D'是正方体，∴AA'⊥平面ABCD.又BD

平面ABCD，∴BD⊥AA'.

又BD⊥AC，AC∩AA'=A，∴BD⊥平面ACC'A'，又BD

平面A'BD，∴平面A'BD⊥平ACC'A'.证明：面⊥面线⊥交线线⊥面分析：新知探究例2

如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证:平面PAC⊥平面PBC∴BC⊥平面PAC证明：∵PA⊥面ABC，BC

面ABC，∵

C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB为⊙O的直径，又PA∩AC=A，PA、AC

平面PAC，∴BC⊥PA，∴∠BCA＝90°，即BC⊥CA.∴平面PAC⊥平面PBC.又BC

平面PBC，3、面⊥面1、线⊥交线2、线⊥面分析：小结1.二面角的平面角的定义、范围及求法；3.证明面面垂直的两种方法：①定义法

②判定定理法.2.平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.；4.转化思想：二面角转化成直线所成角再

见平面与平面垂直（第二课时）年级：一年级学科：高中数学（人教版）复习引入

在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.OAB1.二面角的平面角2.平面与平面垂直的定义

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.复习引入3.平面与平面垂直的判定定理

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.符号语言：baOa图形语言：面面垂直研究思路1.面面角的定义2.面面垂直的定义3.面面垂直的判定4.面面垂直的性质复习引入新知探究探究

如图，设平面α⊥平面β，

α∩β=a，则β内任意一条直线b与a是什么位置关系？相应地，b与α是什么位置关系？为什么？αβabb与a平行或相交当b//a时，b//α.当b与a相交时，b与α也相交过点A在α内作直线c⊥a．特别，当b⊥a时，如图.设b∩a＝A，αβabcA则b，c所成的角就是二面角α-a-β的平面角．又∵b⊥a,a∩c＝A，由α⊥β知,b⊥c．∴b⊥α．平面与平面垂直的性质定理

定理：

两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.

AB作用:面面垂直(4)

线面垂直(1)新知探究符号语

言图形语言生活实际新知探究新知探究例1

求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个的平面内.aPPbbacc新知探究思考

对于两个平面互相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系.如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论?b//αbabbγ⊥βac新知探究例2如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAB．

证明

过点A作AE⊥PB，垂足为E因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB所以AE⊥平面PBC因为BC⊂平面PBC，所以AE⊥BC又因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC所以PA⊥BC又PA∩AE＝A，所以BC⊥平面PAB．EPABCE线⊥交线线⊥面分析：新知探究变式

如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上异于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC，AF⊥PC于F.求证：AF⊥平面PBC.ACBOPF.∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC∴PA⊥BC∴BC⊥平面PAC∴AF⊥平面PBC∵AF⊂平面PAC∵AF⊥PC，PC∩BC=B，PC⊂面PBC，BC⊂面PBC∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC∵PA∩AC=A线⊥交线线⊥面分析：∴AF⊥BC证明（法1）新知探究变式

如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上异于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC，AF⊥PC于F.求证：AF⊥平面PBC.ACBOPF.∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC∴PA⊥BC∴BC⊥平面PAC∴平面PBC⊥平面PAC∴AF⊥平面PBC∵BC⊂平面PBC又∵AF⊥PC，AF⊂面PAC，面PBC∩面PAC=PC∵PA⊥平面ABC，