第15讲圆锥曲线中的最值及范围问题（学生版）

圆锥曲线中的最值及范围问题（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2023年新I卷，第22题,12分周长最值问题求平面轨迹方程由导数求函数的最值(不含参)基本(均值)不等式的应用求直线与抛物线相交所得弦的弦长2020年新Ⅱ卷，第21题,12分求椭圆中的最值问题根据椭圆过的点求标准方程求椭圆的切线方程椭圆中三角形(四边形)的面积2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为512分【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的最值问题及其相关计算2.理解、掌握圆锥曲线的范围问题及其相关计算【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会运算，需强化训练复习考点一、弦长及周长最值1．（2023·全国·统考高考真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．(1)求的方程；(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．2．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；(2)求的最小值．3．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知椭圆E：的焦距为，且经过点．(1)求椭圆E的标准方程：(2)过椭圆E的左焦点作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求的最大值．1．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）在椭圆）中，，过点与的直线的斜率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设为椭圆的右焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于两点，求的最大值.2．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知椭圆长轴长为4，C的短轴的两个顶点与左焦点构成等边三角形．(1)求C的标准方程；(2)直线l与椭圆相交于A、B两点，且，点P满足，O为坐标原点，求的最大值．3．（2023·山东滨州·校考模拟预测）已知双曲线（，）的左､右焦点分别为､，双曲线的右顶点在圆上，且.(1)求双曲线的标准方程；(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点､，设为坐标原点.①求证：点与点的横坐标的积为定值；②求△周长的最小值.考点二、面积最值1．（海南·高考真题）已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知双曲线的离心率为，点，分别是其左右焦点，过点的直线交双曲线的右支于P，A两点，点PPA的斜率不存在时，.(1)求双曲线的标准方程.(2)线段交圆于点B，记，，的面积分别为S1，S2，S，求的最小值.3．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知曲线在轴上方，它上面的每一点到点的距离减去到分别在该曲线上，且点在轴右侧，点在轴左侧，的重心在轴上，直线交轴于点且满足，直线交轴于点.记的面积分别为(1)求曲线方程；(2)求的取值范围.1．（2023·河北·校联考模拟预测）已知椭圆，椭圆上的点到两焦点的距离和为，点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作直线交椭圆于两点，点为点关于轴的对称点，求面积的最大值.2．（2023·湖北·校联考三模）已知分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆C上一点．(1)求椭圆C的方程；(2)设是椭圆C上且处于第一象限的动点，直线与椭圆C分别相交于两点，直线，相交于点N，试求的最大值．3．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.(1)求轨迹的方程；(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.考点三、斜率最值1．（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.2．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知点在抛物线E：（）的准线上，过点M作直线与抛物线E交于A，B两点，斜率为2的直线与抛物线E交于A，C两点.(1)求抛物线E的标准方程；(2)（ⅰ）求证：直线过定点；（ⅱ）记（ⅰ）中的定点为H，设的面积为S，且满足，求直线的斜率的取值范围.1．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线交C于点P，垂足为Q，，，M、N为双曲线左右顶点．(1)求双曲线C的方程；(2)设过点的动直线l交双曲线C右支于A，B两点（A在第一象限），若直线AM，BN的斜率分别为，．（i）试探究与的比值是否为定值．若是定值，求出这个定值：若不是定值，请说明理由；（ii）求的取值范围．考点四、角度及三角函数最值1．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．(1)求C的方程；(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．2．（2023·福建三明·统考三模）已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，的最大值为.当时，的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)、为椭圆的左、右顶点，点满足，当与、不重合时，射线交椭圆于点，直线、交于点，求的最大值.1．（2023·河北·模拟预测）已知椭圆经过点，过原点的直线与椭圆交于，两点，点在椭圆上（异于，），且．(1)求椭圆的标准方程；(2)若点为直线上的动点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，求的最大值．考点五、参数最值1．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）设椭圆长轴的左，右顶点分别为A，B．（1）若P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线的斜率分别为，求的最小值；（2）已知过点的直线l交椭圆C于M、N两个不同的点，直线分别交y轴于点S、T，记（O为坐标原点），当直线1的倾斜角为锐角时，求的取值范围．1．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知是椭圆的右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点（点在轴的上方），直线分别与直线相交于两点．当点为椭圆的上顶点时，．(1)求椭圆的方程；(2)若，且，求实数的取值范围．考点六、向量最值1．（2023·浙江台州·统考模拟预测）已知点是双曲线与椭圆的公共点，直线与双曲线交于不同的两点，，设直线与的倾斜角分别为，，且满足.(1)求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；(2)记（1）中直线恒过定点为，若直线与椭圆交于不同两点，，求的取值范围.2．（2023·江苏南京·校考一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别、焦距为2，且与双曲线共顶点．P为椭圆C上一点，直线交椭圆C于另一点Q．(1)求椭圆C的方程；(2)若点P的坐标为，求过P、Q、三点的圆的方程；(3)若，且，求的最大值．1．（2023·辽宁沈阳·校联考二模）从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的轴，根据光路的可逆性，平行于抛物线的轴射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处，这一性质被广泛应用在生产生活中．如图，已知抛物线，从点发出的平行于y轴的光线照射到抛物线上的D点，经过抛物线两次反射后，反射光线由G点射出，经过点．(1)求抛物线C的方程；(2)已知圆，在抛物线C上任取一点E，过点E向圆M作两条切线EA和EB，切点分别为A、B，求的取值范围．考点七、点到直线距离最值1．（2023·河北石家庄·统考三模）已知为抛物线上不同两点，为坐标原点，，过作于，且点.(1)求直线的方程及抛物线的方程；(2)若直线与直线关于原点对称，为抛物线上一动点，求到直线的距离最短时，点的坐标.1．（2023·广东佛山·统考二模）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形．(1)求双曲线的方程；(2)、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围．考点八、点坐标及截距最值1．（2021·浙江·统考高考真题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.1．（2023·安徽宣城·安徽省宣城中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，当A，B两点的纵坐标相同时，．(1)求抛物线C的方程；(2)若P，Q为抛物线C上两个动点，，E为PQ的中点，求点E纵坐标的最小值．【能力提升】1．（2023·湖北十堰·统考二模）已知是椭圆C：的右顶点，过点且斜率为的直线l与椭圆C相交于A，B两点（A点在x轴的上方），直线PA，PB分别与直线相交于M，N两点．当A为椭圆C的上顶点时，．(1)求椭圆C的方程；(2)若，且，求k的取值范围．2．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点（异于的左、右顶点）的周长为6，且面积的最大值为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若为直线与椭圆的另一个交点，求内切圆面积的最大值．3．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上，且，的面积为．(1)求的方程；(2)为坐标原点，若直线与相切与点，垂直，垂足为点，求的最大值．4．（2023·浙江杭州·统考模拟预测）已知椭圆的离心率为，上顶点为M，下顶点为N，，设点在直线上，过点T的直线分别交椭圆C于点E和点F．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求证：直线恒过定点，并求出该定点；(3)若的面积为的面积的k倍，则当t为何值时，k取得最大值？5．（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆，点，斜率不为0的直线与椭圆交于点，与圆相切且切点为为中点.(1)求圆的半径的取值范围；(2)求的取值范围.6．（2023·江苏南通·二模）已知椭圆的离心率为，焦距为，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点．(1)若，求证：；(2)过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点．求的最大值．7．（2023·山东日照·统考二模）如图，已知抛物线在点处的切线与椭圆相交，过点作的垂线交抛物线于另一点，直线（为直角坐标原点）与相交于点，记、，且．（1）求的最小值；（2）求的取值范围．8．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知双曲线实轴的一个端点是，虚轴的一个端点是，直线与双曲线的一条渐近线的交点为.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与曲线有两个不同的交点是坐标原点，求的面积最小值.9．（2023·湖南怀化·统考二模）如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点.的最大值是，的最小值是，满足.(1)求该椭圆的离心率；(2)设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，的面积为，的面积为，求的取值范围.10．（2023·湖南永州·统考三模）已知椭圆：，其右焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，与轴交于点，，.(1)求证：为定值.(2)若点不在椭圆的内部，点是点关于原点的对称点，试求面积的最小值.11．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知椭圆经过点，其右焦点为.(1)求椭圆的标准方程；(2)椭圆的右顶点为，若点在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，求面积的最大值.12．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，椭圆的中心关于直线的对称点落在直线上，且椭圆过点.(1)求椭圆的方程；(2)为椭圆上两个动点，且直线与的斜率之积为为垂足，求的最大值.13．（2023·湖南岳阳·统考模拟预测）已知、分别为椭圆的左、右焦点，M为上的一点.(1)若点M的坐标为，求的面积；(2)若点M的坐标为，且直线与交于不同的两点A、B，求证：为定值，并求出该定值；(3)如图，设点M的坐标为，过坐标原点O作圆（其中r为定值，且）的两条切线，分别交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为，.如果为定值，求的取值范围，以及取得最大值时圆M的方程.【真题感知】1．（山东·高考真题）在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E,F,求EDF的最小值.2．（安徽·高考真题）设是抛物线的焦点．（Ⅰ）过点作抛物线的切线，求切线方程；（Ⅱ）设为抛物线上异于原点的两点，且满足，延长分别交抛物线于点，求四边形面积的最小值．3．（浙江·高考真题）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴的长为4，左准线l与x轴的交点为M，．(1)求椭圆的方程；(2)若直线，P为上的动点，使最大的点P记为Q，求点Q的坐标．(用m表示)4．（北京·高考真题）.已知点，，动点满足条件.记动点的轨迹为.（1）求的方程；（2）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.5．（四川·高考真题）如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为4，设动点的轨迹为．(1)求轨迹的方程；(2)设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围．6．（全国·高考真题）已知点A(0，－2)，椭圆E：(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q△OPQ的面积最大时，求l的方程.7．（天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为c，.（Ⅰ）求直线的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围.8．（四川·高考真题）设分别是椭圆的左、右焦点．(1)若P是该椭圆在第一象限上的一个动点，若，求点P的坐标；(2)设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．9．（全国·高考真题）已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k>0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（Ⅰ）当t=4，时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当时，求k的取值范围.10．（山东·高考真题）已知椭圆的长轴长为4，焦距为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过动点的直线交轴与点，交于点(在第一象限)，且是线段的中点.过点作轴的垂线交于另一点，延长交于点.（ⅰ）设直线的斜率分别为，证明为定值；（ⅱ）求直线的斜率的最小值.11．（山东·高考真题）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为,直线被椭圆截得的线段长为.（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴轴分别交于两点.①设直线斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；②求面积的最大值.12．（上海·高考真题）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值.13．（山东·高考真题）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．(1)求椭圆的标准方程；(2)设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．是上异于椭圆中心的点．（i）若（为坐